La óptica de Fourier del es uno de los tres puntos de vista principales para entender la óptica clásica, los otros que son las óptica geométricas integrales del punto de vista y de la difracción . El tema conocido como " Optics" de Fourier; también se conoce como la técnica del espectro de la onda plana del o técnica espectral del dominio del en el contexto más amplio de la teoría electromágnetica general. Este acercamiento proviene el hecho que en regiones fuente-libres (y virtualmente todas las óptica clásicas pertenece a las regiones fuente-libres), los campos electromagnéticos se puede expresar en términos de espectro de las ondas planas evanescente de la propagación y.

Propagación de la onda electromagnética

La ecuación de onda

La óptica de Fourier comienza con la ecuación de onda homogénea, escalar :

$\backslash \; u\; dejado\; (\backslash \; nabla^2-\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{c^2\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\}\; \{\backslash \; \{t\}\; ^2\; parcial\}\; \backslash \; correcto)\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)=0.$

donde está un el u ( r, t ) con valores reales, representación escalar de una onda electromagnética que propaga a través de espacio libre.

La ecuación de Helmholtz

Si asumimos después que la solución de esta ecuación toma a time- la forma armónica de, o es decir e^ del $u\; del$

l (\ mathbf {r}, t) = \ mathrm {con referencia al} \ dejado \ {\ PSI (\ mathbf {r}) {j \ Omega t} \ derecho \}

y substituir esta expresión en la ecuación de onda, nosotros derivan la forma independiente del tiempo de la ecuación de onda, también conocida como la ecuación de Helmholtz:

$\backslash \; ido\; (\backslash \; nabla^2+\; k^2\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; PSI\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =0.$

donde $k\; del\; =\; \{\backslash \; Omega\; \backslash \; sobre\; c\}\; =\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sobre\; \backslash \; lambda\}$

es el número de onda, el j es la unidad imaginaria, y el ψ ( r ) es el independiente del tiempo, amplitud complejo-valorada de la onda de la propagación.

La aproximación paraxial

Podemos simplificar la amplitud compleja de la onda más lejos por un cambio simple de la variable: $\backslash \; PSI\; del$

l (\ mathbf {r}) = e^ de A (\ mathbf {r}) {- j \ mathbf {} \ cdot \ mathbf {r} de k}

donde $del$

l \ mathbf {k} = k_x \ mathbf {x} + k_y \ mathbf {y} + k_z \ mathbf {z}

es el vector de onda, y del

l $k\; =\; \backslash |\backslash \; mathbf\; \{de\; k\}\; \backslash |\; =\; \backslash raíz\; cuadrada\{k\_x^2\; +\; k\_y^2\; +\; k\_z^2\}\; =\; \{\backslash \; Omega\; \backslash \; sobre\; c\}$

es el número de onda. Después, usar la aproximación paraxial, asumimos eso

l $k\_x^2\; +\; k\_y^2\; \backslash \; ll\; k\_z^2$

o equivalente, $\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; theta$ del

l

donde está el ángulo el θ entre el k del vector de onda y el z-axis.

Consecuentemente, $k\; del\; \backslash \; aproximadamente\; k\_z$ y

$\backslash \; PSI\; (\backslash )\; \backslash \; e^\; de\; aproximadamente\; del\; mathbf\; \{r\}\; A\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \{-\; jkz\}$

La ecuación de onda paraxial

Substituyendo esta expresión en la ecuación de Helmholtz, derivamos la ecuación de onda paraxial: $\backslash \; nabla\_T^2\; A\; -\; 2jk\; \{\backslash \; A\; parcial\; del\; \backslash \; sobre\; \backslash \; z\; parcial\}\; =\; 0$ donde $\backslash \; nabla\_T^2\; del\; =\; \{\backslash \; partial^2\; \backslash \; sobre\; \backslash \; x^2\; parcial\}\; +\; \{\backslash \; partial^2\; \backslash \; sobre\; \backslash \; y^2\; parcial\}$ es el operador transversal de Laplacian .

Función de transferencia de la propagación de onda

Origen de la representación del espectro de la onda plana del campo eléctrico

El concepto del espectro de la onda plana proviene la ecuación homogénea de la onda electromagnética (véase también la radiación electromágnetica, y la ecuación de onda ), que sí mismo es un subproducto de las regiones fuente-libres especificadas de las ecuaciones del maxwell básico. En el dominio de frecuencia, la ecuación homogénea de la onda electromagnética asume la forma: $\backslash \; nabla^2\; E\_u\; +\; k^2E\_u\; del$

l = 0

donde u = x, y, z y k = 2π/λ, el Wavenumber del medio. Podemos encontrar fácilmente soluciones a esta ecuación en los coordenadas rectangulares usando el principio de separación de las variables para las ecuaciones diferenciales parciales . Este principio dice que en los coordenadas ortogonales separable, podemos construir una solución elemental del producto del supuesto a esta ecuación de onda de la forma siguiente: $E\_u\; (x,\; y\; del$

l, z) = f_x (x) \ épocas f_y (y) \ f_z de las épocas (z)

es decir, una solución que se expresa como el producto de una función del x, mide el tiempo de una función del y, mide el tiempo de una función del z . Si ahora tapamos esta solución elemental del producto del en la ecuación de onda, usar el Laplacian escalar (aka, operador de Laplace) en los coordenadas rectangulares = \ frac del $\backslash \; nabla^2\; E\_u\; del$

l {\ partial^2 E_u} {\ x^2 parcial} + \ + \ frac {\ partial^2 E_u} {\ z^2 parcial} del frac {\ partial^2 E_u} {\ y^2 parcial}

obtenemos f_z f_y del _x del del $f\; del$

l (x) (y) (z) + f_z _y del f_x (x) f (y) (z) + _z f_y del del f_x (x) (y) f (z) + f_z f_y de k^2f_x (x) (y) (z)=0

cuál se puede cambiar en la forma: $del$

l \ frac {_x de f (x)} {+ \ frac { del f_x (x)} de f _y (y)} {(y)} + f_y \ frac {_z de f (z)} {f_z (z)} + k^2=0

Podemos ahora sostener que cada uno de los cocientes en la necesidad antedicha de la ecuación sea, por necesidad, constante. Para, decir que el primer cociente no es constante, y que es una función del x . Ningunos de los otros términos en la ecuación tienen cualquier dependencia del X. Por lo tanto, el primer término puede no tener ningún x - dependencia cualquiera; debe ser constante. Llamemos ese constante - ² del k _x. Razonando de una manera similar para los cocientes del y y del z, ahora obtenemos tres ecuaciones diferenciales ordinarias para el f _x, el f _y y el f _z, junto con una condición de la separación del : $del$

l \ f_x del frac {d^2} {dx^2} (x) + f_x k_x^2 (x)=0 $del$

l \ frac {d^2} {dy^2} f_y (y) + k_y^2 f_y (y)=0 $del$

l \ f_z del frac {d^2} {dz^2} (z) + f_z k_z^2 (z)=0

$k\_x^2+k\_y^2+k\_z^2=k^2$

Cada uno de estas 3 ecuaciones diferenciales tiene la misma solución, un exponencial complejo, de modo que sea la solución elemental del producto para el E _u: $E\_u\; del$

l (x, y, z)=e^ {e^ de j (k_x x + y) k_y} {\ P. j \ raíz cuadrada {k^2-k_x^2-k_y^2} z}

cuál representa una solución de propagación o exponencial de decaimiento de la onda plana a la ecuación de onda homogénea. - La muestra se utiliza para una propagación/que decae de la onda en la dirección de +z y + la muestra se utiliza para una propagación/que decae de la onda en - la dirección de z (esto sigue a convención del tiempo de inmovilización, que asume una función del tiempo de e^jωt). Este campo representa una onda plana de la propagación cuando la cantidad debajo del radical es positiva, y una onda exponencial del decaimiento cuando es negativo (en medios pasivos, elegimos siempre la raíz con una parte imaginaria negativa, para representar decaimiento, no la amplificación).

Una solución general a la ecuación homogénea de la onda electromagnética en coordenadas rectangulares se forma como superposición cargada de las soluciones elementales de la onda plana como: ¡$E\_u\; del$

l (x, y, z)= \ internacional \! ¡\! ¡\! \ internacional E_u (k_x, k_y) dk_x dk_y del ~ del e^ del ~ {e^ del ~ de j (k_x x + y) k_y} {\ P. j \ raíz cuadrada {k^2-k_x^2-k_y^2} z}

Esta representación del espectro de la onda plana del campo electromagnético es la fundación básica de la óptica de Fourier, porque vemos que cuando el z =0, la ecuación arriba se convierte en simplemente un Fourier transformar la relación de (pie) entre el campo (en un plano dado de un sistema óptico), y el contenido de la onda plana de ese campo. Esto es un aspecto importante del extremadamente a reconocer. Indicó otra manera, el patrón de radiación de cualquier distribución planar del campo es el pie de esa distribución (véase el principio de Huygens-Fresnel}. Además, podemos determinar la distribución del plano de imagen de una cierta distribución del plano del objeto remontando el progreso de los componentes individuales de la onda plana a través del sistema de la proyección de imagen, y después volviéndolos a montar en el plano de imagen, cada uno con su propia fase particular.

La condición de la separación,

$k\_x^2+k\_y^2+k\_z^2=k^2$

cuál se asemeja tan de cerca a la ecuación para la longitud de un vector en términos de sus componentes rectangulares, sugiere la noción del k-vector, o el vector de onda, definido (para propagar ondas planas) en coordenadas rectangulares como $del$

l \ en negrilla k = k_x \ sombrero \ en negrilla x + k_y \ sombrero \ en negrilla y + k_z \ sombrero \ z en negrilla

y en el sistema coordinado esférico como k_x del $del$

l = ~ de k \ pecado \ ~ \ lechuga romana \ phi de la theta $del$

l k_y = ~ de k \ pecado \ ~ \ pecado \ phi de la theta k_z del $del$

l = ~ de k \ lechuga romana \ ~ de la theta

Haremos uso de estas relaciones esféricas del sistema coordinado en la sección siguiente.

Característica de transformación de Fourier de lentes

Si un objeto transmisivo se pone una longitud focal delante de una lente, después su Fourier transforma será formado una longitud focal detrás de la lente. Podemos demostrar esto usar lo que ahora sabemos sobre la representación del espectro de la onda de plano de la función de la transmitencia en el plano focal delantero. Considerar la figura al derecho (el tecleo a agrandar)

En esta figura, asumimos un incidente de la onda plana de la izquierda y nos imaginamos la función delantera de la transmitencia del plano focal como siendo descompuesto en un espectro de ondas planas, cada uno propagando a un diverso ángulo con respecto al eje óptico de la lente ( i ., el eje horizontal). Consideraremos un componente de la onda plana, propagando en el θ del ángulo con respecto al eje óptico. Asumiremos que el θ es pequeño (la aproximación paraxial ), de modo que = \ pecado \ theta \ cong \ theta del $\backslash \; del\; frac\; del\; \{k\_x\}\; \{k\}\; y\; =\; \backslash \; lechuga\; romana\; del$ \backslash \; del\; frac\; del\; \{k\_z\}\; \{k\}\; \backslash \; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; theta^2\}\; \{2\}$de\; la\; theta\; \backslash \; del\; cong\; 1\; y$

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \}\; \backslash \; cong\; de\; la\; theta\; \backslash \; -\; \backslash \; frac\; del\; frac\; \{1\}\; \{1\; \{\backslash \; theta^2\}\; \{2\}\}\; \backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; theta^2\}\; \{2\}$ del cong 1

En figura, plano onda fase, moviéndose horizontalmente desde delantero focal plano a lente plano, es

$e^\; \{j\; k\; f\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \}\; \backslash ,\; de\; la\; theta$ y la fase de la onda esférica del de la lente al punto en el plano focal trasero es:

$e^\; \{/\backslash \; lechuga\; romana\; de\; j\; k\; f\; \backslash \}\; \backslash ,\; de\; la\; theta$ y la suma de las dos longitudes de trayectoria es el 2 f del f (1 + θ² + 1 - θ²) = para las ondas planas paraxiales. Cada componente paraxial de la onda plana del campo en el plano focal delantero aparece como punto en el plano focal trasero, con una intensidad y pone en fase el igual a la intensidad y a la fase del componente original de la onda plana en el plano focal delantero. Es decir el campo en el plano focal trasero es el Fourier transforma del campo en el plano focal delantero.

correlador 4F

Uno de los usos primarios de las óptica de Fourier está en las operaciones matemáticas de la correlación cruzada y de la circunvolución . Esto se ha hecho históricamente con un dispositivo conocido como correlador 4F, demostrado en la figura abajo (tecleo a agrandar).

El correlador 4F se basa en el teorema de la circunvolución Fourier transforma la teoría de, que indica que esa circunvolución en (el x, el y ) el dominio espacial es equivalente a la multiplicación directa en el dominio de la frecuencia espacial ( k _x, k _y). Una onda plana es incidente presunto de la izquierda y una transparencia que contiene una 2.a función, f ( x, y ), se coloca en el plano de la entrada del correlador, localizado una longitud focal delante de la primera lente. El pie de esa función entonces se forma una longitud focal detrás de la primera lente, como se muestra. Una máscara de la transmisión que contiene el pie de la segunda función, g ( x, y ), se pone en este mismo plano, una longitud focal detrás de la primera lente, haciendo la transmisión a través de la máscara ser igual al producto, el G ( k _x, k _y) del F ( k _x, k _y) x. Este producto ahora miente en el " plane" de la entrada; de la segunda lente, de modo que el pie de este producto (es decir, la circunvolución f ( x, y ) y del g ( x, y )), se forma en el plano focal trasero de la segunda lente.

Usos

La óptica de Fourier se utiliza en el campo de la tratamiento de la información óptica, la grapa cuyo es el procesador clásico 4F.

El Fourier transforma características de de una lente proporciona usos numerosos en el tratamiento de señales óptica tal como filtración espacial, correlación óptica y hologramas originados en ordenador .

La teoría óptica de Fourier se utiliza en los interferómetros, las pinzas ópticas, las trampas del átomo, y la computación de Quantum . Los conceptos de las óptica de Fourier se utilizan para reconstruir la fase de intensidad de luz en el plano de la frecuencia espacial (véase el algoritmo del Adaptante-añadido).

Ver también

Difracción de Fraunhofer
Difracción de Fresnel
algoritmo del Adaptante-añadido

.

Zenithic

Far Eastern Economic Review

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