l vuelve a dirigir aquí. Una matriz de Adjugate a veces se llama un la matriz de adjoint clásica . En las matemáticas, la conjugación del transporta, el hermitiano transporta, o la matriz de adjoint del de un m - por el A de la matriz n con las entradas complejas está el n - por el A ^* de la matriz del m obtenido del A tomando el transporta y después tomar la conjugación del complejo de cada entrada. La conjugación transporta es definida formalmente por = \ overline {A_ {j, i} del _ del $del\; (A^*)\; \{i,\; j\}\}$ donde los subíndices denotan el i, el j - entrada del th, para 1 ≤ &le del i ; n y 1 ≤ &le del j ; el m, y el overbar denota una conjugación escalar del complejo. (La conjugación compleja del $a\; +\; de\; bi$, donde está reals el un y el b, es el $a\; -\; bi$.)

Esta definición se puede también escribir como $A^*\; del\; =\; (\backslash \; overline\; \{A\})\; =\; \backslash \; overline\; \{A^\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; del\; ^\; \backslash \; del\; mathrm\; \{T\}\}$ ¡donde $A^\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash ,\; \backslash !\; de\; T¡$ denota la transposición y el $\backslash \; el\; overline\; A\; \backslash ,\; \backslash !$ denota la matriz con las entradas conjugadas complejas.

Otros nombres para el conyugal transportan de una matriz son la conjugación hermitiana, o el transjugate . El conyugal transportan de un A de la matriz se pueden denotar por ninguno de estos símbolos:
¡$A^*\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$ o $A^\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash ,\; \backslash !\; de\; H$, de uso general en la álgebra linear
¡$A^\; \backslash \; daga\; \backslash ,\; \backslash !$, usado universal en los mecánicos de Quantum
¡$A^+\; \backslash ,\; \backslash !$, aunque este símbolo se utilice más comunmente para el pseudoinverse de Moore-Penrose

¡Observar que en $A^*\; de\; algunos\; contextos\; \backslash ,\; \backslash !$ se puede utilizar para denotar la matriz con las entradas conjugadas complejas así que el cuidado se debe tomar para no confundir notaciones.

Ejemplo

Si

el

entonces

el

Observaciones básicas

Si las entradas del A son verdaderas, después el A ^* coincide con el A ^T de la transposición del A . Es a menudo útil pensar en matrices complejas del cuadrado como " numbers" complejo generalizado;, y de la conjugación transportar como generalización de la conjugación compleja .

Un A de la matriz cuadrada con el $a\_\; de\; las\; entradas\; \{ij\}$ se llama
hermitiano o uno mismo-adjoint si A = A ^*, es decir, =a_ del $a\_\; \{ij\}\; \{ji\}\; ^*$  ;
hermitiano o antihermitian oblicuo si A = − A ^*, es decir, ^ del =-a_ del $a\_\; \{ij\}\; \{ji\}\; \{*\}$  ;
normal si A^*A = AA^* .

Incluso si el A no es cuadrado, el A^*A de dos matrices y el AA^* son las matrices semi-definite positivas hermitianas y de hecho .

El A ^* de la matriz de adjoint no se debe confundir con el ajuste de Adjugate ( A ) (que también a veces se llama " adjoint").

Motivación

La conjugación transporta puede ser motivada observando que los números complejos se pueden representar provechosamente por 2× 2 matrices sesgar-simétricas, obedeciendo la adición de la matriz y la multiplicación: $a\; del$

l + ib \ (\ comenzar {matriz} a y - \ \ b y a \ extremo {matriz} \ grande) de b equivalente \ grande

Un m - por la matriz del n de números complejos podría por lo tanto manar igualmente sea representado por un los 2m - por la matriz del 2n de números verdaderos. Por lo tanto se presenta muy naturalmente que al transportar tal matriz que se componga de números complejos, uno puede en el proceso también tener que tomar la conjugación compleja de cada entrada.

Las características de la conjugación transportan

( A + B ) ^* = A ^* + B ^* para cualquie A de dos matrices y el B de las mismas dimensiones.
(rA del ) ^* = A ^* del r ^* para cualquie r del número complejo y cualquie A de la matriz. Aquí el r ^* refiere a la conjugación compleja del r .
( AB ) ^* = A ^* del B ^* para cualquie m - por el A de la matriz del n y cualquie n - por el B de la matriz del p . Observar que la orden de los factores está invertida.
( A ^*) ^* = A para cualquie A de la matriz.
Si el A es una matriz cuadrada, después un det ( A ^*) = (el det A)^* y el rastro ( A ^*) = (el rastro A)^*
El A es inversible si y solamente si el A ^* de es inversible, y en ese caso tenemos (el A ^*) ⁻¹ = (el A ⁻¹) ^*.
Los valores propios A ^* son las conjugaciones complejas de los valores propios del A .
< hacha, y y > = < del x, del A ^* > para cualquie m - por el A de la matriz del n, cualquie x del vector en el n del ^{del C y cualquie y del vector en el m} del ^{del C . Aquí <·,·> denota el producto interno complejo estándar en el m} del ^{del C y el n} del ^{del C .}

Generalizaciones

La característica pasada dada arriba demuestra eso si una ve el A como transformación linear euclidiano n del ^{del C del espacio de Hilbert a el m} del ^{del C, después el A * de la matriz corresponde al operador de adjoint del A . El concepto de operadores de adjoint entre los espacios de Hilbert puede ser considerado así mientras que una generalización de la conjugación transporta de matrices.}

Otra generalización está disponible: suponer que el A es un mapa linear de un complejo V del espacio de vector a otro W, después el mapa linear de la conjugación del complejo tan bien como se define el mapa linear transportado, y podemos tomar así la conjugación transportamos del A para ser la conjugación compleja de la transposición del A . Traza el conyugal dual del W a la conjugación dual del V .

Ver también

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