En rama de matemática llamado funcional análisis, Laplace transforman, $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$, es operador linear en un f ( t ) ( original) de la función con un verdadero t (≥ 0 de la discusión del t ) que lo transforme a un F ( s ) (imagen de la función del ) con un complejo s de la discusión. Esta transformación es esencialmente el bijective para la mayoría de aplicaciones prácticas; los pares respectivos del f (t) y el F se emparejan en tablas. El Laplace transforma tiene la característica útil que muchas relaciones y operaciones sobre el f ( t ) de las originales corresponden a relaciones y a operaciones más simples sobre el F ( s ) de las imágenes. El Laplace transforma tiene muchos usos importantes en matemáticas, la física, las óptica, la ingeniería eléctrica, la ingeniería de control, el tratamiento de señales, y la teoría de las probabilidades . En matemáticas, se utiliza para solucionar ecuaciones diferenciadas e integrales. En la física, se utiliza para el análisis de los sistemas tiempo-invariantes lineares tal como dispositivos ópticos armónico de los osciladores de los circuitos eléctricos y sistemas mecánicos. En este análisis, el Laplace transforma se interpreta a menudo como transformación del Tiempo-dominio, en el cual las entradas y las salidas son funciones del tiempo, a la banda de frecuencias, donde están funciones las mismas entradas y salidas de la frecuencia angular complejo, o a los radianes por tiempo de unidad. Dado una descripción matemática o funcional simple de una entrada o de una salida a un sistema, el Laplace transforma proporciona una descripción funcional alternativa que simplifique a menudo el proceso de analizar el comportamiento del sistema, o en la sintetización de un nuevo sistema basado en un sistema de especificaciones.

El Laplace transforma se nombra en honor del matemático y Pedro-Simon Laplace del astrónomo, que utilizaron la transformación en su trabajo sobre la teoría de las probabilidades .

Definición formal

El Laplace transforma de un f ( t ) de la función, definido para todo el ≥ 0 del t de los números verdaderos, es el F ( s ) de la función, definido cerca:

l

El límite más bajo de 0⁻ es notación corta a significar $del$

l \ lim_ {\ varepsilon \ a 0+} \ ^ del int_ {- \ varepsilon} \ infty

y asegura la inclusión del δ entero de la función del delta de Dirac ( t ) en 0 si hay tal impulso en el f ( t ) en 0.

El s del parámetro es en general el complejo: = \ sigma + i \ Omega de los $s\; del$

l \,

Este integral transforma tiene un número de características que hagan útil para analizar los sistemas dinámicos linear que la ventaja más significativa es que la diferenciación y la integración se convierten en multiplicación y división, respectivamente, por el s . (Esto es similar a la manera que cambio de los logaritmos una operación de la multiplicación de números a la adición de sus logaritmos.) Esto cambia las ecuaciones integrales y las ecuaciones diferenciales a las ecuaciones polinómicas que son mucho más fáciles de solucionar. Una vez que está solucionado, el uso de lo contrario Laplace transforma invierte de nuevo al dominio de tiempo.

Laplace bilateral transforma

considera también: El Laplace bilateral transforma el

Cuando uno dice el " el transform" de Laplace; sin la calificación, el unilaterales o el unilaterales transforman se piensan normalmente. El Laplace transforma puede ser definido alternativo mientras que el Laplace bilateral transforma o el Laplace bilateral transforma ampliando los límites de integración para ser el eje verdadero entero. Si eso se hace el unilateral común transformar hace simplemente un caso especial del bilateral transforman donde la definición de la función que es transformada es multiplicada por la función de paso de Heaviside .

Se define el Laplace bilateral transforma como sigue:

l

Laplace inverso transforma

considera también: El Laplace inverso transforma el

El que Laplace inverso transforma es dado por el integral complejo siguiente, que es sabido por los varios nombres (el Bromwich integral, el Fourier-Mellin integral, y fórmula inversa de Mellin del ):

$f\; (t)\; =\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{L\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \{F\; \backslash \}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \backslash \; e^\; del\; ^\; del\; int\_\; \{\backslash \; gamma\; -\; i\; \backslash \; cdot\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; gamma\; +\; i\; \backslash \; cdot\; \backslash \; infty\}\; \{st\}\; F\; \backslash ,\; ds,$

donde está un número el $\backslash \; gamma$ verdadero de modo que la trayectoria del contorno de la integración esté en la región de la convergencia del F ( s ) que requiere normalmente el $\backslash \; gamma$ > con referencia a (el s _p) para cada s _p de la singularidad F ( s ) y del i ² = − 1. Si todas las singularidades están en el mitad-plano izquierdo, ésa está con referencia (el s _p) a < 0 para cada s _p, después el $\backslash \; gamma$ se puede fijar a cero y la fórmula integral inversa antedicha antedicha llega a ser idéntica al inverso Fourier transforma .

Una fórmula alternativa para lo contrario Laplace transforma es dada por la fórmula de la inversión del poste.

Región de convergencia

El Laplace transforma el F ( s ) existe típicamente para todos los números complejos tales que con referencia a {el s } > un, donde está un constante el un verdadero que depende del comportamiento del crecimiento del f ( t ), mientras que el bilaterales transforman se define en una gama < con referencia a { s } < b . El subconjunto de valores del s para los cuales el Laplace transforme existe se llama la región del de la convergencia (ROC) o el dominio del de la convergencia . En el caso bilateral, a veces se llama la tira del de convergencia.

El integral que define al Laplace transforma de una función puede no poder existir por varias razones. Por ejemplo, cuando la función tiene discontinuidades infinitas en el intervalo de la integración, o cuando aumenta tan rápido que el exp (- pinta) no puede humedecerla suficientemente para la convergencia en el intervalo para ocurrir. No hay condiciones del específico que uno puede comprobar una función contra para saber en todos los casos si converge su Laplace transforma puede ser tomado, con excepción de para decir el integral de definición. Está sin embargo fácil darlo a teoremas en casos donde los mayo o mayo no ser tomado.

Características y teoremas

Dado las funciones el f ( t ) y el g ( t ), y su Laplace respectivo transforma el F ( s ) y el G ( s ):

$f\; (t)\; =\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{L\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \{F\; \backslash \}$
$g\; (t)\; =\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{L\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \{G\; \backslash \}$

la tabla siguiente es una lista de características de Laplace unilateral transforma:

La prueba del Laplace transforma del derivado de una función

Es a menudo conveniente utilizar la característica de la diferenciación del Laplace transforma para encontrar la transformación del derivado de una función. Esto se puede derivar de la expresión básica para un Laplace transforma como sigue:

$\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash derecho\backslash \}\; =\; \backslash \; el\; e^\; del\; ^\; del\; int\_\; \{0^-\}\; \{+\; \backslash \; infty\}\; \{-\; st\}\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt$ = \ dejado del ~~ del $del$

l \ frac e^ {de f (t) {- st}} {- s} \ ^ del right_ {0^-} {+ \ infty} - \ int_ {0^-} ^ {+ \} infty \ frac {e^ {- st}} {- f'(t) dt de s} (por las piezas) el ~~ del $del$

l = \ se fue + \ el frac {1} {s} \ mathcal {L} \ se fue \ {el f'(t) \ derecho \},

rendimiento

$\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; ido\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{despegue\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \}\; =\; s\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}\; -\; f\; (0),$

y en el caso bilateral, tenemos

$\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; dejado\; \backslash \; \{\{df\; \backslash \; sobre\; despegue\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \}\; =\; s\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; e^\; \{-\; st\}\; f\; (t)\; \backslash ,\; despegue\; =\; s\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \}.$

La relación a otra transforma

Fourier transforma

El que Fourier continuo transforma es equivalente a evaluar al Laplace bilateral transforma con el complejo s de la discusión = ω del i :

$\backslash \; comenzar\; \{arsenal\}\; \{el\; rcl\}\; F\; (\backslash \; Omega)\; y\; =\; y\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{de\; f\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; y\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}|\_\; \{s\; =\; i\; \backslash \; Omega\}\; =\; F|del\; \_\; \{s\; =\; i\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; y\; \backslash \; e^\; del\; ^\; del\; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \{+\; \backslash \; infty\}\; \{-\; \backslash \; imath\; \backslash \; Omega\; t\}\; f\; (t)\; \backslash ,\; \backslash \; del\; mathrm\; \{d\}\; T.\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{arsenal\}$

Observar que esta expresión excluye el $\backslash \; el\; frac\; del\; factor\; de\; escala\; \{1\}\; \{\backslash raíz\; cuadrada\{2\; \backslash \; pi\}\}$, que se incluye a menudo en las definiciones del Fourier transforma.

Esta relación entre el Laplace y el Fourier transforma es de uso frecuente determinar el espectro de la frecuencia de una señal o del sistema dinámico .

Mellin transforma

El Mellin transforma y su lo contrario se relaciona con el Laplace bilateral transforma por un cambio simple de variables. Si en el Mellin transformar

l

fijamos el θ = e^-t que conseguimos a Laplace bilateral transformamos.

Z-transform

El Z-transform es el Laplace transforma simplemente de una señal ideal muestreada con la substitución de

$z\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; e^\; \{\}\; \backslash$ de s T el

l donde está el período del muestreo (en unidades de segundos del tiempo e.,) y los f_s el $T\; =\; 1/f\_s\; \backslash$ \ del $es\; la\; tarifa\; de\; muestreo\; (en\; muestras\; por\; segundo\; o\; el\; Hertz\; )$

Dejar

$\backslash \; Delta\_T\; (t)\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; delta\; (t\; -\; n\; T)$

es muestreo impulso tren (también llamado un peine de Dirac) y

$x\_q\; (t)\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; x\; (t)\; \backslash \; Delta\_T\; (t)\; =\; x\; (t)\; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; delta\; (t\; -$ del\; de\; n\; T)$=\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (n\; T)\; \backslash \; delta\; (t\; -\; n\; T)\; =\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \{\backslash \; infty\}\; x\; \backslash \; delta\; (t\; -\; n\; T)$

ser la representación del continuo-tiempo del $muestreado\; x\; (t)\; \backslash$.

$x\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; x\; ()\; \backslash$ del NT son las muestras discretas del $x\; (t)\; \backslash$.

El Laplace transforma del x_q muestreado del $de\; la\; señal\; (t)\; \backslash$ es } \, de t $del$
de despegue \ = \ e^ del ^ del sum_ {n=0} {\ infty} x {- n s T}.

Ésta es exacto la definición del Z-transform del $discreto\; X\; del\; del$ x\; \backslash $de\; la\; función\; (z)\; =\; \backslash \; el\; z^\; del\; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \{\backslash \; infty\}\; x\; \{-\; n\}$

con substitución de $z\; \backslash \; leftarrow\; e^\; \{\}\; \backslash$ de s T.

Comparando las dos ecuaciones pasadas, encontramos la relación entre el Z-transform y el Laplace para transformar de la señal muestreada: |_ {z=e^ {sT}}.

Borel transforma

La forma integral Borel transforma es idéntica al Laplace transforma; de hecho, éstos se asumen a veces equivocadamente para ser sinónimos. El Borel generalizado transforma generaliza a Laplace transforma para las funciones no del tipo exponencial .

Relaciones fundamentales

Puesto que un Laplace ordinario transforma puede ser escrito como caso especial de un bilateral transformar, y puesto que el bilaterales transforman puede ser escrito como la suma de dos unilaterales transforma, la teoría del Laplace-, Fourier-, Mellin-, y Z-transforma está en la parte inferior el mismo tema. Sin embargo, un diverso punto de vista y diferente los problemas característicos se asocian a cada uno de estos cuatro integrales importantes transforman.

La tabla de Laplace seleccionado transforma

La tabla siguiente proporciona a Laplace transforma para muchas funciones comunes de una sola variable. Para las definiciones y las explicaciones, ver las notas explicativas del en el extremo de la tabla.

Porque el Laplace transforma es operador linear:

que el Laplace transforma de una suma es la suma de Laplace transforma de cada término.

$\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{f\; (t)\; +\; g\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}\; =\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}\; +\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; \{g\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$

que el Laplace transforma de un múltiplo de una función, es que las épocas múltiples la transformación de Laplace de esa función.

$\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}\; =\; a\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; \{f\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$

El Laplace unilateral transforma es solamente válido cuando t es no negativo, que es porqué todas las funciones del dominio de tiempo en la tabla abajo son múltiplos de la función de paso de Heaviside, u ( t ).

Circuitos equivalentes e impedancias del s-Dominio

El Laplace transforma es de uso frecuente en análisis de circuito, y las conversiones simples al s-Dominio de los elementos de circuito pueden ser hechas. Los elementos de circuito se pueden transformar en las impedancias muy similares a las impedancias de Phasor .

Aquí está un resumen de equivalentes:
del

Observar que el resistor está exactamente igual en el dominio de tiempo y el s-Dominio. Se introducen las fuentes si hay condiciones iniciales en los elementos de circuito. Por ejemplo, si un condensador tiene un voltaje inicial a través de él, o si el inductor tiene una corriente inicial a través de él, las fuentes insertadas en el s-Dominio explican eso.

Los equivalentes para las fuentes de la corriente y del voltaje se derivan simplemente de las transformaciones en la tabla arriba.

Ejemplos: Cómo aplicar las características y los teoremas

El Laplace transforma se utiliza con frecuencia en la ingeniería y la física ; la salida de un sistema dinámico linear puede ser calculada convolving su respuesta de impulso de la unidad con la señal de entrada. La ejecución de este cálculo en el espacio de Laplace da vuelta a la circunvolución en una multiplicación ; estes 3ultimo que son más fáciles de solucionar debido a su forma algebraica. Para más información, ver la teoría de control .

El Laplace transforma puede también ser utilizado al soluciona las ecuaciones diferenciales y se utiliza extensivamente en la ingeniería eléctrica . El método de usar al Laplace transforma para solucionar ecuaciones diferenciales que fue desarrollado por el inglés Oliverio Heaviside del ingeniero eléctrico. el

l los ejemplos siguientes, derivados de usos en la física y la ingeniería, utilizará unidades del SI de medida. El SI se basa en los metros para la distancia, los kilogramos para la masa, los segundos por hora, y los amperios para la corriente eléctrica.

Ejemplo #1: Solucionar una ecuación diferencial

el

l el ejemplo siguiente se basa en conceptos de la física nuclear .

Considerar la ecuación diferencial de primer orden, linear siguiente: $del$

l \ frac {dN} {despegue} = - \ lambda N.

Está la relación esta ecuación fundamental que describe el decaimiento radiactivo, donde $N\; \backslash \; =\; \backslash \; N\; del$

l (t)

representa el número de átomos undecayed que permanecen en una muestra de un isótopo radiactivo en el t del tiempo (en segundos), y \ \ lambda del $es\; el\; constante\; de\; decaimiento\; .$

Podemos utilizar al Laplace transformamos para solucionar esta ecuación.

Cambiando la ecuación a un lado, tenemos + \ lambda del $\backslash \; del\; frac\; del$

l {dN} {despegue} N = 0.

Después, tomamos a Laplace transformamos de ambos lados de la ecuación: $del$

l \ (s \ tilde {N} (s) - N_o \ derecho) + dejado \ lambda \ tilde {N} (s) \ = \ 0

donde

$\backslash \; tilde\; \{N\}\; (s)\; =\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; \{N\; (t)\; \backslash \}$

y $N\_o\; del$

l \ = \ N (0).

El solucionar, encontramos $del$

l \ tilde {N} (s) = {N_o \ sobre s + \ lambda}.

Finalmente, tomamos a Laplace inverso transformamos para encontrar la solución general

$N\; (t)\; \backslash \; =\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{L\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \{\backslash \; tilde\; \{N\}\; (s)\; \backslash \}\; =\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{L\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; dejado\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{N\_o\}\; \{s\; +\; \backslash \; lambda\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$ $del$

l del
del
= \ e^ de N_o {- \ lambda t},

cuál es de hecho la forma correcta para el decaimiento radiactivo.

Ejemplo #2: Derivación de la impedancia compleja para un condensador

el

l este ejemplo se basa en los principios de teoría del circuito eléctrico .

La relación constitutiva que gobierna el comportamiento dinámico de un condensador es la ecuación diferencial siguiente: $i\; del$

l = C {dv \ sobre despegue}

donde está la capacitancia el C (en los faradios ) del condensador, el i = el i ( t ) es la corriente eléctrica (en los amperios ) que atraviesa el condensador en función de tiempo, y el v = el v ( t ) es el voltaje (en voltios ) a través de los terminales del condensador, también en función de tiempo.

Tomando al Laplace transformar de esta ecuación, nosotros obtienen el $del$

l I = C \ salió (s V - V_o \ derecho) de

donde

$I\; =\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; \{i\; (t)\; \backslash \},$

$V\; =\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; \{v\; (t)\; \backslash \},$ y $del$

l V_o \ = \ v (t)|_ {t=0}.

El solucionar para el V ( s ) tenemos $del$

l V = {I \ sobre el sC} + {V_o \ sobre s}.

La definición del complejo Z de la impedancia (en los ohmios ) es el cociente del complejo V del voltaje dividido por el actual complejo I mientras que lleva a cabo el V _o del estado inicial en cero:

l |_ {V_o = 0}.

Usar esta definición y la ecuación anterior, encontramos:

l

cuál es la expresión correcta para la impedancia compleja de un condensador.

Ejemplo #3: Encontrar la función de transferencia de la respuesta de impulso

el

l este ejemplo se basa en conceptos del tratamiento de señales, y describe el comportamiento dinámico de un oscilador armónico humedecido . Ver también el circuito RLC.

Considerar un sistema tiempo-invariante linear con la respuesta de impulso

$h\; (t)\; =\; A\; e^\; \{-\; \backslash \; alfa\; t\}\; \backslash \; lechuga\; romano\; (\backslash \; omega\_d\; t\; -\; \backslash )\; \backslash ,\; del\; phi\_d$

tales que - \ phi_d \ GE 0 \, del $\backslash \; del\; omega\_d\; t\; del$

l

donde está el tiempo el t (en segundos), y $0\; \backslash \; le\; \backslash \; phi\_d\; \backslash \; le\; 2\; \backslash \; pi$ del

l

es el retardo de la fase (en los radianes ).

Suponer que queremos encontrar la función de transferencia del sistema. Comenzamos observando eso

$h\; (t)\; =\; A\; e^\; \{-\; \backslash \; alfa\; t\}\; \backslash \; lechuga\; romano\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; omega\_d\; (t\; -\; t\_d)\; \backslash \; derecho\; \backslash \; cdot\; u\; (t\; -)\; \backslash ,\; del\; t\_d$

donde $t\_d\; del$

l = {\ phi_d \ sobre \ omega_d}

es el de retraso de tiempo del sistema (en segundos), y el $\backslash \; u\; (t)\; \backslash$ es la función de paso de Heaviside .

La función de transferencia es el Laplace transforma simplemente de la respuesta de impulso:

l

$=\; \backslash \; A\; e^\; \{-\; s\; t\_d\}\; \{(s\; +\; \backslash )\; \backslash \; sobre\; de\; la\; alfa\; (s^2\; de\; +\; +\; 2\; \backslash \; alfa\; s\; \backslash \; alpha^2)\; +\; \backslash \; omega\_d^2\}$

$=\; \backslash \; A\; e^\; \{-\; s\; t\_d\}\; \{(s\; +\; \backslash )\; \backslash \; sobre\; de\; la\; alfa\; (s^2\; de\; +\; +\; 2\; \backslash \; alfa\; s\; \backslash \; omega\_0^2)\}$

donde $\backslash \; omega\_0\; del$

l = \ raíz cuadrada {\ alpha^2 + \ omega_d^2}

es la frecuencia natural (undamped) o la resonancia del sistema (en radianes por segundo ).

Ejemplo #4: Método de extensión parcial de la fracción

Considerar un sistema tiempo-invariante linear con la función de transferencia

l

La respuesta de impulso es el Laplace inverso transforma simplemente de esta función de transferencia:

$h\; (t)\; =\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{L\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \{H\; \backslash \}.$

Para evaluar este lo contrario transformar, nosotros comienzan ampliando el H ( s ) usar el método de la extensión parcial de la fracción:

l = {P \ encima (s+ \ alfa)} + {R \ encima (s+ \ beta)}

para el desconocido P de los constantes y el R . Para encontrar estos constantes, evaluamos el $P\; del$

l = \ se fue. {1 \ encima (s+ \ beta)}\ derecho|_ {s=- \ alfa} = {1 \ encima (\ - beta \ alfa)}

y el $R\; del$

l = \ se fue. {1 \ encima (s+ \ alfa)}\ derecho|_ {s=- \ beta} = {1 \ encima (\ alfa - \ beta)} = {- 1 \ encima (\ - beta \ alfa)} = - P.

Substituyendo estos valores en la expresión para el H ( s ), encontramos

l

Finalmente, usar la característica de las linearidades y sabidos transformar para el decaimiento exponencial (véase que artículo del # el 3 en la tabla del de Laplace transforma, arriba), nosotros puede tomar al Laplace inverso transforman del H ( s ) para obtener: $h\; del$

l (t) = \ mathcal ^ {L} {- 1} \ {H \} = \ frac {1} {\ beta \} \ dejado de la alfa (e^ {- \ alfa t} - e^ {- \ t beta} \ derecho),

cuál es la respuesta de impulso del sistema.

Ejemplo #5: Senos, cosenos, y exponentials de mezcla

Ejemplo #6: Retardo de la fase

Historia

Del 1744, Leonhard Euler integrales investigados de la forma: = \ internacional X del $del$

l z (x) e^ {hacha} = \ internacional X de dx y del $z\; (x)\; x^A\; dx$,

— como soluciones de ecuaciones diferenciales pero no persiguió la materia muy lejos. El José Louis Lagrange era un admirador de Euler y, en su trabajo sobre funciones de densidad de integración de probabilidad investigó las expresiones de la forma: $\backslash \; internacional\; X\; del$

l (x) a^x dx del e^ {- un x}

— cuál algunos historiadores modernos han interpretado dentro de Laplace moderno transformar la teoría.

Estos tipos de integrales parecen primero haber atraído la atención de Laplace en el 1782 donde él estaba siguiente en el alcohol de Euler al usar los integrales ellos mismos como soluciones de ecuaciones. Sin embargo, en el 1785, Laplace tomó la medida crítica adelante cuando, algo que apenas buscar una solución bajo la forma de integral, él comenzó a aplicar transforma en el sentido que era más adelante llegar a ser popular. Él utilizó un integral de la forma: x^s del $\backslash \; internacional\; del$

l \ phi (s) dx,

— relacionado con un Mellin transformar, para transformar el conjunto de una ecuación de diferencia, para buscar soluciones de la ecuación transformada. Él entonces se encendió aplicar al Laplace transforma de la misma manera y comenzado a derivar algunas de sus características, comenzando a apreciar su energía potencial.

Laplace también reconoció que método de s de Fourier José el 'de la serie de Fourier Del para solucionar la ecuación de la difusión podría aplicarse solamente a una región limitada de espacio pues las soluciones eran periódicas. En el 1809, Laplace aplicó el epónimo transforma para encontrar las soluciones que difundieron indefinidamente en espacio.

Ver también

Pedro-Simon Laplace
El Fourier transforma
Señal analógica que procesa
El Laplace transforma aplicado a las ecuaciones diferenciales

.

Zenithic

National Thanksgiving Proclamation

Random links:

Albert Camus | Negro, Alabama | Primer gran del este | Cambiar el (de la tarjeta de débito) | Yolteotl