En las matemáticas, el lema de Schwarz del, nombrado después Hermann Amandus Schwarz, es un resultado en el análisis complejo sobre las funciones olomorfas definido en el disco de unidad abierto .

Declaración del lema

Dejar = \ {del sea el disco de unidad abierto en el C del plano complejo . Dejar el $f:\; D\; \backslash \; \backslash \; overline\; D$ sean una función olomorfa con el $f\; (0)\; =\; 0\; \backslash$.

El lema de Schwarz del indica eso $|\; f\; (z)\; |\; \backslash \; le\; |\; z\; |$ para todo el $z\; \backslash \; en\; D$, y

$|\; f\text{'}(0)\; |\; \backslash \; le\; 1$,

y si el $de\; la\; igualdad|\; f\; (z)\; |=|\; z\; |\backslash$ asimientos para cualquie $z\; \backslash \; ne\; 0\; \backslash ,$ o $|\; f\text{'}(0)\; |\; =\; 1\; \backslash ,\; el$ f\; \backslash $de$ entonces es una rotación: $f\; (z)\; =\; az\; \backslash ,$ con el $|a|\; =\; 1\; \backslash .$

Este lema se celebra menos que teoremas más fuertes, tales como el Riemann que traza el teorema, que ayuda a probar; sin embargo, es uno de los resultados más simples que capturan el " rigidity" de funciones olomorfas. Ningún resultado similar existe para las funciones verdaderas, por supuesto.

Para probar el lema, uno aplica el principio de módulo máximo al $f\; de\; la\; función\; (z)/z\; \backslash$.

Prueba

Dejado $g\; del$

l (z) = \ frac {f (z)} {z}. \,

El $g\; de\; la\; función\; (z)$ es olomorfo en el $D$ puesto que el $f\; (0)\; =\; 0$ y f es olomorfo. Dejar el $D\_r$ ser un disco cerrado dentro del D con el r del radio. Por el principio de módulo máximo,

$|g\; (z)|\; =\; \backslash$

del frac Schwarz-Escoger el teorema

Una variante del lema de Schwarz puede ser que es invariante bajo automorfismos analíticos en el disco de unidad, es decir mappings olomorfos indicados Bijective del disco de la unidad a sí mismo. Esta variante se conoce como el Schwarz-Escoge el teorema (después de que la selección de Jorge):

Dejar el $f\; \backslash \; los\; dos\; puntos\; D\; \backslash \; a\; D$ ser olomorfos. Entonces, para todo el $z\_1,\; z\_2\; \backslash \; en\; D,$ el $del$

l \ se fue|\ frac {f (z_1) - f (z_2)}{1 \ overline {f (z_1)}f (z_2)}\ derecho| \ le \ frac {\ se fue|z_1-z_2 \ derecho|} {\ se fue|1 \ overline {z_1} z_2 \ derecho|}

y, para todo el $z\; \backslash \; en\; D$ $\backslash \; frac\; del$

l {\ se fue|f'(z) \ derecho|} {1 \ se fue|f (z) \ derecho|^2} \ le \ frac {1} {1 \ se fue|z \ derecho|^2}.

La expresión = \ tanh^ del $d\; (z\_1,\; z\_2)\; del$

l {- 1} \ se fue (\ frac {\ se fue|z_1-z_2 \ derecho|} {\ se fue|1 \ overline {z_1} z_2 \ derecho|} \) derecho

es la distancia de los puntos $z\_1,\; z\_2$ en el Poincaré métrico, es decir el métrico en el modelo del disco de Poincaré para la geometría hiperbólica en la dimensión dos. Schwarz-Escoger los estados del teorema entonces esencialmente que un mapa olomorfo del disco de unidad en sí mismo disminuye la distancia de puntos en el Poincaré métrico. Si la igualdad se sostiene en todas partes en una de las dos desigualdades arriba (que sea equivalente a decir que el mapa olomorfo preserva la distancia en el Poincaré métrico), después el f debe ser un automorfismo analítico del disco de la unidad, dado por una transformación de Möbius que traza el disco de la unidad a sí mismo.

Una declaración análoga sobre la parte superior - media - $de\; \backslash \; el\; mathbb\; planos\; \{H\}$ puede ser hecha como sigue:

Dejar $f\; \backslash \; dos\; puntos\; \backslash \; el\; mathbb\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{H\}$ de H ser olomorfo. Entonces, para todo el $z\_1,\; z\_2\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{H\},$ el $del$

l \ se fue|\ frac {f (z_1) - f (z_2)}{\ overline {f (z_1)}- f (z_2)}\ derecho| \ le \ frac {\ se fue|z_1-z_2 \ derecho|} {\ se fue|\ overline {z_1} - z_2 \ derecho|}.

Ésta es una consecuencia fácil del Schwarz-Escoge el teorema mencionado anteriormente: Uno apenas necesita recordar que Cayley transformen $W\; (z)\; =\; ()/(del\; z-i\; z+i)$ traza la parte superior - mitad - $\backslash \; el\; mathbb\; planos\; \{H\}$ conformally sobre el disco $D$ de la unidad. Entonces, el $W\; delmapa\backslash \; el\; circ\; f\; \backslash \; circ\; W^\; \{-\; 1\}$ es un mapa olomorfo de $D$ sobre $D$. Usar Schwarz-Escoger el teorema en este mapa, y finalmente simplificando los resultados usando la fórmula para $W$, conseguimos el resultado deseado. También, para todo el $z\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{H\},$ $\backslash \; frac\; del$

l {\ se fue|f'(z) \ derecho|} {\ mbox {Im} f (z)} \ le \ frac {1} {\ mbox {Im} (z)}.

Si la igualdad se sostiene para la o las otras expresiones, después el f debe ser una transformación de Möbius con coeficientes verdaderos. Es decir, si la igualdad se sostiene, entonces $f\; del\; (z)=\; \backslash \; frac\; \{az+b\}\; \{cz+d\}$ con el $a,\; b,\; c,\; d$ que es números verdaderos, y $ad-bc>0$.

La prueba de Schwarz-Escoge teorema

La prueba del Schwarz-Escoge teorema sigue del lema y del hecho de Schwarz ese una transformación de Möbius del $\backslash \; del\; frac\; \{z-z\_0\}\; de\; la\; forma\; \{\backslash \; overline\; \{z\_0\}\; z-1\}$ donde traza el círculo de unidad a sí mismo. Fijar $z\_1$ y definir el $M\; de\; las\; transformaciones\; de\; Möbius\; (z)=\; \backslash \; frac\; \{z\_1-z\}\; \{1\; \backslash \; overline\; \{z\_1\}\; z\}$ y $\backslash \; phi\; (z)=\; \backslash \; frac\; \{f\; (z\_1)\; -\; z\}\; \{1\; \backslash \; overline\; \{f\; (z\_1)\}z\}$.

Desde el $M\; (z\_1)\; =0$ y la transformación de Möbius es inversible, el $de\; lacomposición\backslash \; la\; phi\; (f\; (M^\; \{-\; 1\}\; (z)))$ traza 0 a 0 y el disco de unidad se traza en sí mismo. Así podemos aplicar el lema de Schwarz, que es decir

$|\backslash \; phi\; (f\; (M^\; \{-\; 1\}\; (z)))|=\; \backslash \; se\; fue|\backslash \; frac\; \{f\; (z\_1)\; -\; f\; (M^\; \{-\; 1\}\; (z))\}\{1\; \backslash \; overline\; \{f\; (z\_1)\}f\; (M^\; \{-\; 1\}\; (z))\}\backslash \; derecho|\; \backslash \; le\; |z|$.

Ahora la llamada de $z\_2=M^\; \{-\; 1\}\; (z)$ (que todavía esté en el disco de unidad) rinde la conclusión deseada

el $\backslash \; se\; fue|\backslash \; frac\; \{f\; (z\_1)\; -\; f\; (z\_2)\}\{1\; \backslash \; overline\; \{f\; (z\_1)\}f\; (z\_2)\}\backslash \; derecho|\; \backslash \; el\; le\; \backslash \; se\; fue|\backslash \; frac\; \{z\_1-z\_2\}\; \{1\; \backslash \; overline\; \{z\_1\}\; z\_2\}\; \backslash \; derecho|$.

Para probar la segunda parte del teorema, acabamos de dejar $z\_2$ tender a $z\_1$.

Otras generalizaciones

El Schwarz-Ahlfors-Escoge el teorema proporciona un teorema análogo para los múltiples hiperbólicos.

El teorema de De Branges, conocido antes como la conjetura de Bieberbach, es una extensión importante del lema, dando restricciones en los derivados más altos del f en 0 en caso de que el f sea el inyectivo.

Zenithic

Richard Body

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