En las matemáticas, el lemniscate del de Bernoulli es una curva algebraica descrita por una ecuación cartesiana de la forma: $del$

l (x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2) \,

La curva tiene una forma similar al número 8 y al símbolo del $\backslash \; infty$.

El lemniscate primero fue descrito en el 1694 por el Jacobo Bernoulli como modificación de una elipse, que es el lugar geométrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias a cada uno de dos fijó puntos focales del que es un constante. Un Cassini oval, por el contrario, es el lugar geométrico de los puntos para los cuales el producto del de estas distancias es constante. En el caso adonde la curva pasa a través del punto situado a mitad del camino entre los focos, el óvalo es un lemniscate de Bernoulli.

Bernoulli lo llamó el lemnisco del, que es el latino para el " ribbon" pendiente;.

El lemniscate se puede obtener como lo contrario transforma de una hipérbola, con el círculo de la inversión centrado en el centro de la hipérbola (bisectriz de sus dos focos).

Otras ecuaciones

Un lemniscate se puede también describir por la ecuación polar

l $r^2\; =\; 2\; a^2\; \backslash \; lechugas\; romanas\; 2\; \backslash \; theta\; \backslash ,$

o la ecuación bipolar = \ frac {a^2} {2} del $rr\; del$

l

Derivados

Cada primer derivado abajo era calculado usar la diferenciación implícita .

Con $y$ en función de $x$

l \ el frac {dy} {dx} = \ comienzan {los casos} \ y {ilimitado} \ mbox del mbox {si} y = 0 \ mbox {y} x \ del ne 0 \ \ \ pm1 y \ mbox {si} y = 0 \ mbox {y} x = 0 \ \ \ frac {x (a^2 - 2x^2 - 2y^2)} {y \ mbox {si} y \ ne 0 de y (a^2 + 2x^2 + 2y^2)} \ extremo {casos} el $del$

l \ el frac {d^2y} {dx^2} = \ comienzan {los casos} \ y {ilimitado} \ mbox del mbox {si} y = 0 \ mbox {y} x \ del ne 0 \ \ 0 y \ mbox {si} y = 0 \ mbox {y} x = 0 \ \ \ frac {3a^6 (y^2 - x^2)} {(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3} y y^3 \ mbox {si} y \ ne 0 \ extremo {casos}

Con $x$ en función de $y$

l \ el frac {dx} {dy} = \ comienzan {los casos} \ y {ilimitado} \ mbox del mbox {si} 2x^2 + 2y^2 = a^2 \ \ \ pm1 y \ mbox {si} x = 0 \ mbox {y} y = 0 \ \ \ frac {y (a^2 + 2x^2 + 2y^2)} {y \ mbox de x (a^2 - 2x^2 - 2y^2)} {otro} \ extremo {casos} el $del$

l \ el frac {d^2x} {dy^2} = \ comienzan {los casos} \ y {ilimitado} \ mbox del mbox {si} 2x^2 + 2y^2 = a^2 \ \ 0 y \ mbox {si} x = 0 \ mbox {y} y = 0 \ \ \ frac {3a^6 (x^2 - y^2)} {(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3} y x^3 \ mbox {otro} \ extremo {casos}

Curvatura

Una vez que se saben los primeros dos derivados, la curvatura se calcula fácilmente: = \ pm3 del $\backslash \; de\; la\; kappa\; del$

l (a^ de x^2 + de y^2)^ {el 1/2} {- 2}

la muestra que es elegida según la dirección del movimiento a lo largo de la curva. El lemniscate tiene la característica que la magnitud de la curvatura en cualquier momento es proporcional a la distancia de ese punto del origen.

Longitud de arco y funciones elípticas

La determinación de la longitud de arco de los arcos del lemniscate lleva a los integrales elípticos como fue descubierto en el siglo XVIII. Alrededor 1800, las funciones elípticas que invertían esos integrales fueron estudiadas por el gauss C. (en gran parte inédito en ese entonces, solamente las alusiones en las notas a su Disquisitiones Arithmeticae del ). Los enrejados del período están de una forma muy especial, siendo proporcionales a los números enteros gausianos por esta razón el caso de funciones elípticas con la multiplicación compleja por el que la raíz cuadrada del menos uno se llama el caso de Lemniscatic en algunas fuentes.

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