Ley de Hooke - Enciclopedia España

En la física, la ley de Hooke del de la elasticidad es una aproximación que los estados que la cantidad por la cual un cuerpo material es deformido (la tensión ) está relacionada linear con la fuerza que causa la deformación (la tensión ). Los materiales para los cuales la ley de Hooke es una aproximación útil se conocen como el linear-elástico o " Hookean" materiales.

La ley de Hooke se nombra después británico Roberto Hooke del físico del siglo 17^th. Él primero indicó esta ley en 1676 como anagrama latino, cuya solución él publicó en 1678 como tensio de Ut del, el vis del sic, que significa: Como la extensión, tan la fuerza. Para los sistemas que obedecen la ley de Hooke, la extensión producida es directo proporcional a la carga:

$\ vec {\ mathbf {F}} =-k \ vec {\} \$ del mathbf {x} donde está la distancia el x del que se ha estirado el resorte o comprimido lejos de la posición de equilibrio, que es la posición adonde el resorte vendría naturalmente reclinarse en metros, el F del
es la fuerza de restauración ejercida por el material en neutonios, y el k del
es el constante de fuerza del (o el resorte constante del ). El constante tiene unidades de fuerza por longitud de unidad (generalmente en los neutonios por el metro ).

Cuando esto se sostiene, decimos que el comportamiento es linear. Si está demostrada en un gráfico, la línea debe demostrar a un la variación directa . Hay una muestra negativa en el lado derecho de la ecuación porque la fuerza de restauración actúa siempre en la dirección opuesta de la dislocación del x (cuando un resorte se estira a la izquierda, tira de nuevo a la derecha).

Materiales de elástico

Los objetos que recuperan rápidamente su forma original después de ser deformida por una tensión, con las moléculas o los átomos de su material que vuelve al estado inicial del equilibrio estable, obedecen a menudo la ley de Hooke.

Podemos ver una barra de cualquier material elástico como resorte linear . La barra tiene el L de la longitud y A de la superficie transversal. Su extensión (tensión) es linear proporcional a su tensión extensible, σ por un factor constante, lo contrario de su módulo de la elasticidad, E, por lo tanto, $del \ sigma = E \ varepsilon$ o $del \ = \ = \ frac {\ sigma} {E} L.$ del delta L del frac {F} {E A} L

La ley de Hooke se sostiene solamente para algunos materiales bajo ciertas condiciones de cargamento. El acero exhibe el comportamiento linear-elástico en la mayoría de los usos de la ingeniería; La ley de Hooke es válida para ella a través de su gama de elástico del (es decir, para las tensiones debajo de la fuerza de producción ). Para algunos otros materiales, tales como aluminio, la ley de Hooke es solamente válida para una porción de la gama de elástico. Para estos materiales se define una tensión del límite proporcional, debajo de la cual los errores asociados a la aproximación linear son insignificantes.

El caucho se mira generalmente como " non-hookean" material porque su elasticidad es tensión dependiente y sensible a la velocidad de la temperatura y de carga.

Los usos de la ley incluyen las balanzas de resorte, análisis de tensión y el modelado de materiales.

La ecuación del resorte

La forma lo más comúnmente posible encontrada de la ley de Hooke es probablemente la ecuación del resorte del, que se relaciona la fuerza ejercida por un resorte con la distancia que se estira por un resorte constante del, k, medido en vigor por longitud. $F=-kx del \,$ La muestra negativa indica que la fuerza ejercida por el resorte está en la oposición directa a la dirección de la dislocación. Se llama un " restauración del force", como él tiende a restaurar el sistema al equilibrio.

La energía potencial almacenada en un resorte es dada por el $U= del {1 \ over2} kx^2$ cuál viene del adición encima de la energía toma para comprimir incremental el resorte. Es decir, el integral de la fuerza sobre distancia. (Nota que la energía potencial de un resorte es siempre positiva.)

Este potencial se puede visualizar como parábola en el U - plano del x . Mientras que el resorte se estira en la x-dirección positiva, la energía potencial aumenta (la misma cosa sucede mientras que el resorte es comprimido). El punto correspondiente en la curva de energía potencial es más alto que ése que corresponde a la posición de equilibrio ( x = 0). La tendencia para el resorte es por lo tanto disminuir su energía potencial volviendo a su posición del equilibrio (unstretched), apenas pues una bola rueda cuesta abajo para disminuir su energía potencial gravitacional.

Si un total m se ata al extremo de tal resorte, el sistema se convierte en un oscilador armónico. Oscilará con una frecuencia natural del dada como cualquiera: ${k \ sobre m}$ de Omega por el segundo (frecuencia angular)

$\ NU = {1 \ sobre los hertzios} \ raíz cuadrada {k \ sobre m}$ de 2 \ pi (ciclos por segundo)

donde está frecuencia el $\ nu$ (el símbolo es el carácter griego NU y no la letra v) desde $\, \ Omega = {2 \ pi \ NU}$ .

Resortes múltiples

Cuando dos resortes se atan a una masa y se comprimen, la tabla siguiente compara los valores de los resortes.

Derivación

style=" del class=" del Equivalent (serie)

constante class=" del

La derivación del $k_ {eq}$ en el caso de la serie es una poco más difícil que en el caso paralelo. Definiendo la posición de equilibrio del bloque para ser el x₂, buscaremos la ecuación para la fuerza en el bloque el cual parece: $F_b del del = - k_ {eq} x_2. \,$

Para comenzar, también definiremos la posición de equilibrio del punto entre los dos resortes para ser el x₁ .

La fuerza en el bloque es $F_b del del = - k_2 \ se fue (x_2 - x_1 \ derecho). \ patio \ patio \ patio (1) \,$ Mientras tanto, la fuerza en el punto entre los dos resortes es $F_s del del = - k_1 x_1 + k_2 (x_2 - x_1). \,$

Ahora, cuando se empuja el bloque así que los resortes son comprimidos y el sistema se permite venir al equilibrio, la fuerza entre los resortes debe sumar a cero, así que con los $F_s =0$ podemos solucionar para $x_1 \,$ : $\ se fue (k_1 + k_2 \ derecho) x_1 = k_2 x_2 \,$ tan = \ frac {k_2} {k_1 + k_2} x_2 del del
$x_1. \,$

Ahora apenas tapamos esto nuevamente dentro de (1):

Expresión del tensor de la ley de Hooke

Al trabajar con un estado de la tensión tridimensional, un tensor ( c_ijkl ) de la orden 4^th que contiene 81 coeficientes elásticos se debe definir para ligar el tensor de tensión ( ij del σ_{) y el tensor de tensión (o el tensor verde ) ( kilolitro} del ε_).

$\ sigma_ {ij} = \ sum_ {kilolitro} c_ {} \ cdot \ varepsilon_ {kilolitro} del ijkl.$

Debido a la simetría del tensor de tensión, del tensor de tensión, y del tensor de la tiesura, solamente 21 coeficientes elásticos son independientes.

Pues la tensión se mide en unidades de presión y la tensión es sin dimensiones, las entradas del c_ijkl están también en unidades de presión.

La generalización para el caso de las deformaciones grandes es proporcionada por los modelos de los sólidos Neos-Hookean y de los sólidos de Mooney-Rivlin

¡Materiales isotrópicos

(véase la viscosidad para un desarrollo análogo para los líquidos viscosos.)

Los materiales isotrópicos son caracterizados por las características que son independiente de la dirección en espacio. Las ecuaciones físicas que implican los materiales isotrópicos deben por lo tanto ser independiente del sistema coordinado elegido para representarlos. El tensor de tensión es un tensor simétrico. Puesto que el rastro de cualquier tensor es independiente del sistema coordinado, la descomposición coordinar-libre más completa de un tensor simétrico es representarla como la suma de un tensor constante y de un tensor simétrico traceless. Así: = \ dejado del $\ del varepsilon_ del l {ij} (\ frac {1} {3} \ varepsilon_ {} \ delta_ {ij} del kk \ derecho) + \ (\ varepsilon_ {ij} - \ frac {1} {3} \ varepsilon_ {} \ delta_ {ij} del kk \ derecho)$ dejado

donde está el delta el $\ el delta_ {ij}$ de Kronecker. El primer término a la derecha es el tensor constante, también conocido como la presión, y el segundo término es el tensor simétrico traceless, también conocido como el tensor del esquileo.

La forma más general de la ley de Hooke para los materiales isotrópicos se puede ahora escribir como combinación linear de estos dos tensores: $del l \ sigma_ {ij} =3K \ (\ frac {1} {3} \ varepsilon_ {} \ delta_ {ij} del kk \ derecho) dejado +2G \ ido (\ varepsilon_ {ij} - \ frac {1} {3} \ varepsilon_ {} \ delta_ {ij} \) derecho \, del kk$

donde está el K el módulo a granel y el G es el módulo del esquileo.

Usar las relaciones entre los módulos de elástico, estas ecuaciones se pueden también expresar en otras maneras. Por ejemplo, la tensión se puede expresar en términos de tensor de tensión como:

$\ el varepsilon_ {11} = \ el frac {1} {E} \ 11} - dejado (\ del sigma_ \ NU (\ + \ sigma_ {33} {del sigma_ {22}) \ derecho)$
$\ varepsilon_ {13} = \ = \ frac {\ sigma_ {23}} {2G}$ del $\ del varepsilon_ frac {\ sigma_ {13}} {2G}$ 23} {

donde está el módulo el E de la elasticidad y del $\ nu$ es el cociente de Poisson. (Véase la elasticidad tridimensional ).

style=" del class=" del Derivation de la ley de Hooke en 3D

class=" del

La forma tridimensional de la ley de Hooke se puede derivar usar el cociente de Poisson y la forma 1-D de la ley de Hooke como sigue. Considerar la tensión y tensionar la relación como superposición de dos efectos: estirando en la dirección de la carga (1) y encogiéndose (causado por la carga) en direcciones perpendiculares (2 y 3),

$\ varepsilon_1 = \ frac {1} {E} \ sigma_1$ ,
$\ varepsilon_2 = - \ NU \ varepsilon_1$ , $\ varepsilon_3 del = - \ NU \ varepsilon_1$ ,

donde está el cociente el $\ nu$ de Poisson y $E$ el módulo joven . Conseguimos ecuaciones similares a las cargas en las direcciones 2 y 3,

$\ varepsilon_1 = - \ NU \ varepsilon_2$ ,
$\ varepsilon_2 = \ frac {1} {} \ sigma_2$ , $\ varepsilon_3 del de E = - \ NU \ varepsilon_2$ ,

$\ varepsilon_1 = - \ NU \ varepsilon_3$ , $\ varepsilon_2 del = - \ NU \ varepsilon_3$ ,
$\ varepsilon_3 = \ frac {1} {} \ sigma_3$ de E.

Sumando los tres casos juntos (= \ varepsilon_i del $\ del varepsilon_i + \ + \ varepsilon_i$ del varepsilon_i ) conseguimos $= \ (\ sigma_3- \ NU del frac {1} {E} (\ sigma_1+ \ sigma_2))$

o agregando y restando un $\ NU \ sigma$

$\ varepsilon_1 = \ frac {1} {E} (() \ sigma_1- \ NU de 1+ \ de NU (\ sigma_1+ \ sigma_2+ \ sigma_3))$
$\ varepsilon_2 = \ frac {1} {E} (() \ sigma_2- \ NU de 1+ \ de NU (\ sigma_1+ \ sigma_2+ \ sigma_3))$
$\ varepsilon_3 = \ frac {1} {E} (() \ sigma_3- \ NU de 1+ \ de NU (\ sigma_1+ \ sigma_2+ \ sigma_3))$

y fomentarnos consiguen cerca que soluciona el $\ sigma_1$

$\ sigma_1 = \ frac {E} {} \ varepsilon_1 de 1+ \ de NU + \ (\ sigma_1+ \ sigma_2+ \ sigma_3) del frac {\ NU} {1+ \ NU}$ .

Cálculo de la suma

$+ \ sigma_2+ \ sigma_3 = \ (\ varepsilon_1 del frac {E} {1-2 \ NU} + \ varepsilon_2 + \ varepsilon_3)$

y substituirlo a la ecuación solucionada para el $\ sigma_1$ da

$\ sigma_1 = \ frac {E} {} \ varepsilon_1 de 1+ \ de NU + \ frac {E \ NU} {(1+ \ NU) (1-2 \ NU)}(\ varepsilon_1 + \ varepsilon_2 + \ varepsilon_3)$ , $\ sigma_1 del = 2 \ MU \ varepsilon_1 + \ lambda (\ varepsilon_1 + \ varepsilon_2 + \ varepsilon_3)$ , donde están los parámetros el $\ mu$ y el $\ lambda$ de Lamé. El tratamiento similar de las direcciones 2 y 3 da la ley del Hooke en tres dimensiones.