Una ley de energía del es cualquier relación polinómica que exhiba la característica de la invariación de escala del . Las leyes de energía mas comunes relacionan dos variables y tienen la forma ¡$f\; del$

l (x) = ax^k \! +o (x^k)

donde están constantes, y $o$ a$y$ k$(x^k)$ es a la función asintótico pequeña de $x$. Aquí, $k$ típicamente se llama el exponente del escalamiento del, denotando el hecho de que una función de la energía-ley (o, más generalmente, un polinomio homogéneo de la orden de $k$th) satisface el $f\; del\; criterio\; (c\; x)\; \backslash \; propto\; f\; (x)$ donde está un constante $c$. Es decir, el escalamiento de la discusión de la función cambia el constante de la proporcionalidad en función del cambio de la escala, pero cotos la forma de la función sí mismo. Esta relación se pone más de manifiesto si tomamos el logaritmo de ambos lados (o, gráficamente, de trazar en un gráfico con abscisas y ordenadas logarítmicas ) el $\backslash \; el\; registro\; del$

l \ se fueron (f (x) \ derecho) = + \ registro a de k \ del registro x.

Notar que esta expresión tiene la forma de una relación linear con la cuesta $k$, y escalamiento que la discusión induce un cambio linear (hacia arriba o hacia abajo) de la función, y las hojas la forma y la cuesta $k$ sin cambiar.

las relaciones de la Energía-ley caracterizan un número staggering de patrones naturales, y es sobre todo en este contexto que la ley de energía del del término está utilizada algo que la función polinómica del . Por ejemplo, las leyes del Inverso-cuadrado tal como gravitación y la fuerza de culombio son leyes de energía, al igual que muchas fórmulas matemáticas comunes tales como la ley cuadrático del área del círculo . También, muchas distribuciones de probabilidad tienen colas que el sigue asintótico relaciones de la energía-ley, un asunto que conecte firmemente con la teoría de las desviaciones grandes (también llamado el la teoría de valor extremo ), que considera la frecuencia de acontecimientos extremadamente raros como los desplomes de la bolsa, y los desastres naturales grande.

El interés científico en relaciones de la ley de energía, si las funciones o las distribuciones, viene sobre todo de la facilidad con la cual ciertas clases generales de mecanismos pueden generarlos. Es decir, la observación de una relación de la energía-ley en datos señala a menudo a las clases específicas de mecanismos que inferior el fenómeno natural en la pregunta, y pueda a menudo indicar una conexión profunda con otra, sistemas aparentemente sin relación (por ejemplo, ver la referencia al lado Simon y la subdivisión en la universalidad abajo). La ubicuidad de las relaciones de la energía-ley en la física es en parte debido a los apremios dimensionales, mientras que en los sistemas complejos, las leyes de energía son a menudo probablemente firmas de la jerarquía y de la robustez. Algunos ejemplos notables de las leyes de energía son la ley de Gutenberg-Richter para los tamaños del terremoto, ley de Pareto de la distribución de ingresos, o uno mismo-semejanza estructural de los fractales, y de las leyes de escalamiento en los sistemas biológicos . La investigación sobre los orígenes de las relaciones de la energía-ley, y esfuerzos para observarlas y de validar en el mundo real, es extremadamente activos en muchos campos de la ciencia moderna, incluyendo la física, el de informática, la lingüística, la geofísica, la sociología, la economía y más.

Características de las leyes de energía

Invariación de escala

La característica principal de las leyes de energía que las hace interesantes es su invariación de escala . Dado un $f\; dela\; relación(x)\; =\; ax^k$, o, de hecho cualquier polinomio homogéneo, escalando la discusión $x$ por un factor constante causa solamente un escalamiento proporcionado de la función sí mismo. Es decir, ¡$f\; del$

l (c x) = a (x)^k de c = c^ {k} f (x) \ propto f (x) \! .

Es decir, el escalamiento por un constante multiplica simplemente la relación original de la energía-ley por el $c^k$ constante. Así, sigue que todas las leyes de energía con un exponente particular del escalamiento son equivalentes hasta factores constantes, puesto que cada uno es simplemente una versión escalada de las otras. Este comportamiento es qué produce la relación linear cuando ambos logaritmos se toman de ambos $f\; (x)$ y $x$, y el rectilíneo en el diagrama con abscisas y ordenadas logarítmicas a menudo se llama la firma del de una ley de energía. Notablemente, sin embargo, con datos verdaderos, tal rectitud es necesaria, pero no una suficiente condición para los datos que siguen una relación de la energía-ley. De hecho, hay muchas maneras de generar cantidades finitas de datos que mímico este comportamiento de la firma, pero, en su límite asintótico, no es leyes de energía verdaderas. Así, exactamente caber y validar modelos de la energía-ley es un campo de investigación activo en las estadísticas .

Universalidad

La equivalencia de las leyes de energía con un exponente particular del escalamiento puede tener un origen más profundo en los procesos dinámicos que generan la relación de la energía-ley. En la física, por ejemplo, las transiciones de fase en sistemas termodinámicos se asocian a la aparición de las distribuciones de la energía-ley de ciertas cantidades, cuyos exponentes se refieren como los exponentes críticos del sistema. Los sistemas diversos con los mismos exponentes críticos - es decir, que exhiben comportamiento idéntico del escalamiento mientras que se acercan a la criticalidad - se pueden demostrar, vía teoría del grupo de la renormalización, para compartir la misma dinámica fundamental. Por ejemplo, el comportamiento del agua y el CO2 en sus puntos de ebullición bajan en la misma clase de la universalidad porque tienen exponentes críticos idénticos. De hecho, casi todas las transiciones de fase materiales son descritas por un pequeño sistema de clases de la universalidad. Las observaciones similares se han hecho, aunque no como comprensivo, porque el vario uno mismo-organizó sistemas críticos de, donde está un el punto crítico del sistema Attractor . Formalmente, esta distribución de la dinámica se refiere como universalidad, y los sistemas con los mismos exponentes críticos se dicen exacto para pertenecer a la misma clase de la universalidad.

¡ ¡agua y del CO2 satisface la primera petición. ¿Puede algún otro satisfacer la segunda parte? -->

¡ ¡

funciones de la Energía-ley

La función general de la energía-ley sigue la forma polinómica dada arriba, y es una forma ubicua a través de matemáticas y de la ciencia. Notablemente, sin embargo, no todas las funciones polinómicas son leyes de energía porque no todos los polinomios exhiben la característica de la invariación de escala. Típicamente, las funciones de la energía-ley son polinomios en una sola variable, y se utilizan explícitamente para modelar el comportamiento del escalamiento de procesos naturales. Por ejemplo, las leyes de escalamiento alométricas para la relación de variables biológicas son algunas de las funciones más conocidas de la energía-ley de la naturaleza. En este contexto, el $o\; (el\; término\; de\; x^k)$ es substituido lo más típicamente posible por un $\backslash \; epsilon$ del término de la desviación, que puede representar incertidumbre en los valores observados (quizás los errores de la medida o de muestreo) o proporciona una manera simple para que las observaciones se desvíen de la función de la energía-ley de no (quizás por razones estocásticas ): ¡

l $y\; =\; +\; \backslash \; épsilon\; del\; ax^k\; \backslash !$.

Cálculo del exponente de datos empíricos

Hay muchos métodos para caber funciones de la energía-ley a los datos, y la mejor opción depende típicamente en gran medida de la clase de pregunta que es pedida. Por ejemplo, el predicción-tipo preguntas debe confiar en la regresión no linear, mientras que el descriptivo-tipo preguntas sumarias, tales como ésos encontrados en la alometría, debe utilizar un método que permita incertidumbre en el $x$ y medidas de $y$. Si las residuales son registro distribuido normalmente, e. si la extensión en $y$ es multiplicativa (aumentando proporcional con $x$), una regresión linear simple de los m3inimos cuadr3aticos en datos registro-transformados puede ser realizada, puesto que los residuos transformados registro se distribuyen normalmente después de la transformación. Si no, la transformación logarítmica produce las residuales que son el distribuido registro-normal, mientras que el método de m3inimos cuadr3aticos requiere errores normalmente distribuidos. En este 3ultimo contexto, el método de regresión estandardizada del eje importante (SMA) (a veces llamada eje importante reducido este término, pero debe ser evitado) es preferred.

El eje principal es la ecuación linear que reduce al mínimo la suma de cuadrados de la distancia (perpendicular) más corta entre los puntos de referencias y la ecuación. Este eje es equivalente al primer eje del componente principal de la matriz de covariación . De esta observación, el perito para la cuesta puede ser derivado $del$

l \ sombrero {k} = \ = \ raíz cuadrada {\ frac {\ ^ del sum_ {i=1} {N} (y_i - \ mu_ {y}) ^2} del frac {\ sigma_ {y}} {\ sigma_ {x}} {\ - \ mu_ {x} del ^ del sum_ {i=1} {N} (x_i) ^2}}

donde están los medios el $\backslash \; el\; mu\_\; \{x\}$ y $\backslash \; el\; mu\_\; \{y\}$ de muestra de los datos de $x$ y de $y$, respectivamente.

Más sobre este método, y las condiciones bajo las cuales puede ser utilizado, se pueden encontrar en la referencia de Warton debajo. Además, el artículo de la revisión comprensiva de Warton también proporciona el código usable (C++, R, y Matlab) para las rutinas de la valoración y de la prueba para las funciones de la energía-ley.

Ejemplos de las funciones de la ley de energía

La ley de Stefan-Boltzmann
La ley de Gompertz de la mortalidad
La relación de la tensión-deformación de Ramberg-Osgood
La ley del Inverso-cuadrado de la gravedad neutoniana
Corrección gamma que relaciona intensidad de luz con voltaje
Ley de Kleiber que se relaciona el metabolismo animal con el tamaño, y leyes alométricas en general
Comportamiento cerca de las transiciones de fase second-order que implican los exponentes críticos la forma *Proposed de curva de la experiencia efectúa
El espectro de energía diferenciado de los núcleos del rayo cósmico
ley del Inverso-cuadrado
ley del Cuadrado-cubo
Ley de Constructal
Fractales

distribuciones de la Energía-ley

Una distribución de la energía-ley es cualquiera que, en el sentido más general, tiene la forma $p\; del$

l (x) \ propto L (x) x^ {- \ alfa}

donde $\backslash \; alfa\; >\; 1$, y $L\; (x)$ es un que varía lentamente la función, que es cualquier función que satisfaga el $\backslash \; el\; lim\_\; \{x\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; L\; (t\; \backslash ,\; x)/L\; (x)\; =\; 1$ con constante de $t$. Esta característica del $L\; (x)$ sigue directo del requisito que $p\; (x)$ sea asintótico escala invariante; así, la forma de $L\; (x)$ controla solamente la forma y el grado finito de la cola más baja. Por ejemplo, si $L\; (x)$ es la función constante, después tenemos una energía-ley que se sostenga para todos los valores de $x$. En muchos casos, es conveniente asumir un $x\_\; de\; un\; límite\; másbajo\{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}$ de el cual la ley se sostenga. Combinando estos dos casos, y donde está una variable $x$ continua, la ley de energía tiene la forma } \ dejado del $p\; del$

l (x) = \ frac {\ alpha-1} {x_ {\ mathrm {minuto}} (\ frac {x} {x_ {\ mathrm {minuto}}} \) ^ correcto {- \ alfa} ,

donde está necesario el constante garantizar que la distribución está normalizada correctamente. Breve, podemos considerar varias características de esta distribución.

Los momentos de esta distribución se dan generalmente cerca

$\backslash \; langle\; x^\; \{\}\; \backslash \; rangle\; de\; m\; =\; \backslash \; x^\; del\; ^\; del\; int\_\; \{x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}\}\; \{\backslash \; infty\}\; \{m\}\; p\; (x)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; \backslash \; x\_\; del\; frac\; \{\backslash \; alpha-1\}\; \{\backslash \; alpha-1-m\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}\; ^m$

cuál está solamente bien definido para < \ alfa -1 del

Otra clase de distribución de la energía-ley, que no satisface la forma general arriba, es la ley de energía con un atajo exponencial $p\; del$

l (x) \ propto L (x) x^ {- \ alfa} \ ^ del mathrm {e} {- \ lambda x}

donde introducimos un ^ del $\backslash \; del\; mathrm\; del\; término\; deldecaimiento\; exponencial\{e\}\; \{-\; \backslash \; lambda\; x\}$ que abrume el comportamiento de la energía-ley en los valores grandes de $x$. Esta distribución no escala y no es así asintótico una ley de energía; sin embargo, escala aproximadamente sobre una región finita antes del atajo. (Nota que la forma pura antedicha es un subconjunto de esta familia, con el $\backslash \; lambda=0$.) Esta distribución es una alternativa común a la distribución asintótica de la energía-ley porque captura naturalmente efectos del finito-tamaño. Por ejemplo, aunque la ley de Gutenberg-Richter se cite comúnmente como ejemplo de una distribución de la energía-ley, la distribución de las magnitudes del terremoto no puede escalar como ley de energía en el $x\; \backslash \; el\; rightarrow\; \backslash \; infty$ del límite porque hay una cantidad finita de energía en la corteza de tierra. Así, debe haber un cierto terremoto máximo del tamaño, y el comportamiento del escalamiento debe disminuir mientras que se acerca a este tamaño.

Distribuciones de la energía-ley del trazado

Las distribuciones de la energía-ley se trazan generalmente en las hachas doble logarítmicas, que acentúa la región superior de la cola. La manera más conveniente de hacer esto está vía la distribución acumulativa (complementaria) (cdf), $P\; (x)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{banda\}\; (X\; >\; x)$, ^ del $P\; del$

l (x) = \ mathrm {banda} (X > x) = C \ ^ del int_ {x} {\ infty} p (X) \ = \ frac del mathrm {d} X {\ alpha-1} {x_ {\ mathrm {minuto}} {- \ alpha+1}} \ ^ del int_ {x} {\ infty} X^ {- \ alfa} \ = \ dejado del mathrm {d} X (\ frac {x} {x_ {\ mathrm {minuto}}} \) ^ correcto {(- \ alpha+1)}.

Observar que el cdf es también una distribución de la energía-ley, pero con un exponente más pequeño del escalamiento. Para los datos, una forma equivalente del cdf es el acercamiento de la alinear-frecuencia, en el cual primero clasificamos los valores observados de $n$ en orden creciente, y los traza contra el $\backslash \; left$ del vector.

Aunque pueda ser conveniente al registro-compartimiento los datos, o alisar de otra manera la función (total) de la densidad de la probabilidad directo, estos métodos introducen un diagonal implícito en la representación de los datos, y deben ser evitados así. El cdf, por una parte, no introduce ningún diagonal en los datos y preserva la firma linear en las hachas doble logarítmicas.

Cálculo del exponente de datos empíricos

Hay muchas maneras de estimar el valor del exponente del escalamiento para una cola de la energía-ley, no obstante no todos rinden las respuestas imparciales y constantes . Las técnicas más confiables se basan a menudo en el método de la toda probabilidad . Los métodos alternativos se basan a menudo en la fabricación de una regresión linear en la probabilidad con abscisas y ordenadas logarítmicas, la función de distribución acumulativa con abscisas y ordenadas logarítmicas, o en datos del registro-binned, pero estos acercamientos deben ser evitados mientras que pueden todos llevar a las estimaciones alto en polarización negativa del exponente del escalamiento (véase la referencia de Clauset y otros abajo).

Para los datos con valores reales, cupimos una distribución de la energía-ley de la forma } \ dejado del $p\; del$

l (x) = \ frac {\ alpha-1} {x_ {\ mathrm {minuto}} (\ frac {x} {x_ {\ mathrm {minuto}}} \) ^ correcto {- \ alfa}

al x_ del $x\; \backslash \; del\; geq\; de\; los\; datos\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}$. Dado una opción para el $x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}$, una derivación simple con este método rinde la ecuación del perito

$\backslash \; sombrero\; \{\backslash \; alfa\}\; =\; 1\; +\; n\; \backslash \; ido\; \backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^\; \{\}\; \backslash \}\; \backslash \; right^\; \{-\; 1\}$ del ln de n \ del frac {x_ {i}} {x_ {\ mathrm {minuto}}

donde están el x_ el $\backslash \; \{x\_\; \{\}\; \backslash \}\; de\; i$ del $x\_\; \{i\}\; \backslash \; del\; geq\; de\; los\; puntos\; de\; referencias\; de$ n$\{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}$. (Para una derivación más detallada, ver el Pasillo o Newman abajo.) Este perito exhibe un pequeño diagonal finito del muestra-tamaño del $O\; de\; la\; orden\; (n^\; \{-\; 1\})$, que es pequeño cuando $n>100$. Además, la incertidumbre en la valoración se puede derivar de la discusión de la toda probabilidad, y tiene el $de\; la\; forma\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; de\; la\; sigma\; \{\backslash \; alpha-1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{n\}\}$. Este perito es equivalente al perito popular de la colina de las finanzas cuantitativas y de la teoría de valor extremo .

Para un sistema de $número-valorado$ n$de\; los\; puntos\; de\; referencias\; \backslash \; \{x\_\; \{\}\; \backslash \}\; de\; i\; de$, otra vez donde está la solución cada x_ del $x\_\; \{i\}\; \backslash \; del\; geq\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}$, el exponente de la toda probabilidad a la ecuación trascendental $\backslash \; frac\; del$

l {\ zeta'(\ sombrero {\ alfa}, x_ {\ mathrm {minuto}})}{\ zeta (\ sombrero {\ alfa}, x_ {\ mathrm {minuto}})} = - \ frac {1} {n} \ sum_ {i=1} ^ {} \ ln \ frac {x_ {i}} {x_ {\ mathrm {minuto}}} de n

donde está la función el $\backslash \; la\; zeta\; (\backslash \; alfa,\; x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\})$ de zeta incompleta . La incertidumbre en esta estimación sigue la misma fórmula que para la ecuación continua. Sin embargo, las dos ecuaciones para el $\backslash \; elsombrero\{\backslash \; alfa\}$ no son equivalentes, y la versión continua no se debe aplicar a los datos discretos, ni viceversa.

Además, ambos peritos requieren la opción del $x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}$. Para las funciones con un $L\; no\; trivial\; (función\; de\; x)$, eligiendo el $x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}$ demasiado pequeño produce un diagonal significativo en el $\backslash \; el\; sombrero\; \{\backslash \; alfa\}$, mientras que lo elige los aumentos demasiado pequeños la incertidumbre en el $\backslash \; el\; sombrero\; \{\backslash \; alfa\}$, y reduce la energía estadística de nuestro modelo. La opción óptima del $x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}$ depende generalmente en gran medida de la forma particular de la cola más baja, representada por el $L\; (x)$ arriba.

Más sobre estos métodos, y las condiciones bajo las cuales pueden ser utilizadas, se pueden encontrar en la referencia de Clauset y otros debajo. Además, esta crítica comprensiva proporciona código usable (Matlab y R) para las rutinas de la valoración y de la prueba para las distribuciones de la energía-ley.

Ejemplos de las distribuciones de la energía-ley

Distribución de Pareto (continua)
Distribución de la zeta (discreta)
Distribución de Yule-Simon (discreta)
Distribución T del estudiante (continuo), cuyo la distribución de Cauchy es un caso especial
Ley de Zipf y su generalización, la ley de Zipf-Mandelbrot (discreta)
El modelo Escalar-libre de la red
Bibliograms * ley de Gutenberg-Richter de las magnitudes del terremoto
leyes de s de Horton 'que describen sistemas de río
Ley de Richardson para la severidad de conflictos violentos (guerras y terrorismo)
población de ciudades
números de adherentes religiosos
valor neto de individuos
frecuencia de palabras en un texto

¡lista abajo fue elegida cuidadosamente para incluir los para las cuales hay menos ayuda estadística. No corregir por favor sin primero la consulta de la literatura científica. -->

Un grande muchas distribuciones de la energía-ley se ha conjeturado estos últimos años. Por ejemplo, las leyes de energía se piensan para caracterizar el comportamiento de las colas superiores para el renombre de Web site, el número de especie por género, el renombre de los nombres dados, el tamaño de vueltas financieras, y muchos otros. Sin embargo, sigue habiendo mucho discusión en cuanto a cuáles de estas colas son realmente energía-ley distribuida y cuáles no son. Por ejemplo, se acepta comúnmente ahora que la ley famosa de Gutenberg-Richter decae más rápido que una cola pura de la energía-ley debido a un atajo exponencial finito en la cola superior.

Validar leyes de energía

Aunque las relaciones de la energía-ley sean atractivas por muchas razones teóricas, la demostración que los datos siguen de hecho de una relación de la energía-ley requiere más que simplemente caber tal modelo a los datos. Muchas formas funcionales alternativas pueden aparecer generalmente seguir una forma de la energía-ley para un cierto grado. Así, el método preferred para la validación de las relaciones de la energía-ley está probando muchas predicciones ortogonales de un mecanismo generativo particular contra datos, y no simplemente cabiendo una relación de la energía-ley a una clase particular de datos. Como tal, la validación de las demandas de la energía-ley sigue siendo un campo muy activo de la investigación en muchas áreas de la ciencia moderna.

Ver también

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Teoría de valor extremo
Distribución logarítmico normal
Cola gorda
distribuciones Pesado-atadas * regla 80-20
la cola larga
Condensación de la abundancia
Keston de proceso
Distribución alfa-estable de la posición oblicua de la recaudación
Vuelo de Lévy
Ley de Kleiber
Ley alométrica
Simon modelo
Ley de energía de Stevens
Ley de Zipf