En las matemáticas, la forma más simple de la ley del paralelogramo del pertenece a la geometría elemental . Indica que la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados de un paralelogramo iguala la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales. Con la notación en el diagrama a la derecha, esto se puede indicar como

$AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2.$

En caso de que el paralelogramo sea un rectángulo, las dos diagonales están de longitudes iguales y la declaración reduce al teorema pitagórico . Pero el cuadrado de la longitud del ningún diagonal es generalmente la suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados.

La ley del paralelogramo en espacios del producto interno

En los espacios del producto interno la declaración de la ley del paralelogramo reduce a la identidad algebraica

$2\backslash |x\; \backslash |^2+2\; \backslash |y\; \backslash |^2=\; \backslash |x+y\; \backslash |^2+\; \backslash |x-y\; \backslash |^2$

donde

$\backslash |x\; \backslash |^2=\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle.$

Espacios de vector de Normed que satisfacen la ley del paralelogramo

La mayoría los espacios de vector complejos verdaderos de Normed del y no tiene productos internos, pero todos los espacios de vector normed tienen normas (por lo tanto el nombre), y uno puede evaluar así las expresiones en ambos lados del " =" en la identidad arriba. Un hecho notable es que el antedicho solamente de los asimientos de la identidad si la norma es una que se presenta de la manera habitual de un producto interno. Además, el producto interno que genera la norma es único, como consecuencia de la identidad de la polarización; en el caso verdadero, se da cerca $del$

l \ langle x, y \ rangle= {\|x+y \|^2- \|x-y \|^2 \ sobre 4},

o, equivalente, cerca

$\backslash |x+y\; \backslash |^2-\; \backslash |x\; \backslash |^2-\; \backslash |y\; \backslash |^2\; \backslash \; sobre\; 2$ o $\{\backslash |x\; \backslash |^2+\; \backslash |y\; \backslash |^2-\; \backslash |x-y\; \backslash |^2\; \backslash \; sobre\; 2\}.$

En el caso complejo se da cerca $del$

l \ langle x, y \ rangle= {\|x+y \|^2- \|x-y \|^2 \ sobre 4} +i {\|ix-y \|^2- \|ix+y \|^2 \ sobre 4}.