Exponentes del número entero y del no-número entero

Si el n es un número entero positivo, el n del ^{del b significa el producto de los factores del n iguales al b : $del$}

l \ underbrace {b \ épocas b \ épocas \ cdots \ épocas b} _n.

Sin embargo, si el b es un número verdadero positivo no igual a 1, esta definición se puede ampliar a cualquier n del número verdadero en un campo (véase la exponenciación ). Semejantemente, la función de logaritmo se puede definir para cualquier número verdadero positivo. Para cada bajo positivo b no igual a 1, hay una función del logaritmo y una función exponencial, que son lo contrario de uno a.

Los logaritmos pueden reducir operaciones de la multiplicación a la adición, la división a la substracción, la exponenciación a la multiplicación, y raíces a la división. Por lo tanto, los logaritmos son útiles para hacer ingeniería numérica muy larga de las operaciones más fáciles realizarse y, antes de que el advenimiento de las computadoras electrónicas ellos fuera ampliamente utilizado con este fin en campos tales como astronomía ,, navegación, y cartografía . Tienen características matemáticas importantes y son todavía ampliamente utilizados hoy.

Bases

Las bases más ampliamente utilizadas para los logaritmos son 10, el ≈ 2. e constante matemático. Cuando " log" se escribe sin una base ( b que falta del b del log_{), el intento puede generalmente ser resuelto de contexto:
logaritmo natural ( e} , ln, registro, o Ln l del log_{) en el análisis matemático, las estadísticas, la economía y algunos campos de la ingeniería . Las razones para considerar el e la base '' natural '' de para los logaritmos, aunque quizás no obvio, son numerosas y compelling.
Logaritmo ordinario (log10 o simplemente registro; a veces lg) en varios campos de la ingeniería, especialmente para los niveles de energía y los cocientes de la energía, tales como presión sana acústico, y en las tablas del logaritmo para ser utilizado para simplificar cálculos de la mano
Logaritmo binario (log2; a veces lg, libra, o ld) en la teoría de información y campos del ordenador
Logaritmo indefinido cuando la base es inaplicable, e. en la teoría de complejidad al describir el comportamiento asintótico de los algoritmos en la notación grande O.}

Para evitar la confusión, es el mejor especificar la base si hay cualquier ocasión de la interpretación.

Otras notaciones

El " de la notación; " del ln ( x ); significa invariable log_e ( x ), es decir, el logaritmo natural del x, pero la base implicada para el " " del registro ( x ); varía por disciplina:
Los matemáticos del

entienden generalmente ambo el " " del ln ( x ); y " " del registro ( x ); para significar log_e ( x ) y escribir el " " de log₁₀ ( x ); cuando el logaritmo base-10 del x se piensa. Los libros de textos del cálculo escribirán de vez en cuando el " " del lg ( x ); para representar el " " de log₁₀ ( x );.

muchos ingenieros, los biólogos, los astrónomos, y algunos otros escribe solamente el " " del ln ( x ); o " " de log_e ( x ); cuando significan el logaritmo natural del x, y toman el " " del registro ( x ); para significar log₁₀ ( x ) o, a veces en el contexto que computa, el log₂ ( x ).

en la mayoría de las calculadoras, el botón del REGISTRO es log₁₀ ( x ) y LN es log_e ( x ).
¡

en la mayoría de los lenguajes de programación de uso general de la computadora incluyendo el C, C++, Java, FORTRAN, rubí, y BASIC, el " log" la función vuelve el logaritmo natural. La función base-10, si está disponible, es generalmente " log10."

alguna gente utiliza el registro ( x ) ( capital L ) para significar log₁₀ ( x ), y utiliza el registro ( x ) con un minúsculo l para significar el e ( x ) del log_.

el registro de la notación ( x ) también es utilizado por los matemáticos para denotar la rama principal de la función de logaritmo (natural).
La notación del

A usada con frecuencia en algunos países europeos es el b log ( x ) del ^{de la notación en vez del b ( x ) del log_.}

Este caos, origina históricamente del hecho de que el logaritmo natural tiene características matemáticas agradables (tales como su derivado que es 1 x, y teniendo una definición simple), mientras que los logaritmos de la base 10, o los logaritmos decimales, eran más convenientes para los cálculos que apresuraban (traseros cuando fueron utilizados para ese propósito). Así los logaritmos naturales fueron utilizados solamente extensivamente en campos como cálculo mientras que los logaritmos decimales eran ampliamente utilizados a otra parte.

Tan recientemente como 1984, Paul Halmos en su " automathography" El I quiere ser un desprecio apilado del matemático en lo que él consideraba el " infantil; ln" la notación, que él no dijo a ningún matemático había utilizado nunca. La notación de hecho fue inventada en 1893 por Irving Stringham, profesor de las matemáticas en el Berkeley . El en fecha 2005, muchos matemáticos ha adoptado el " ln" notación, pero la mayoría del " del uso; log".

En de informática, el logaritmo de la base 2 se escribe a veces como lg ( x ), según lo sugerido por el Edward Reingold y popularizado por el Donald Knuth . Sin embargo, el lg ( x ) también se utiliza a veces para el registro común, y la libra ( x ) para el registro binario. En la literatura rusa, la notación lg ( x ) también se utiliza generalmente para el logaritmo de la base 10. En alemán, el lg ( x ) también denota el logaritmo de la base 10, mientras que a veces el ld ( x ) o la libra ( x ) se utiliza para el logaritmo de la base 2.

El consejo claro del Ministerio de Estados Unidos de National Institute of Standards and Technology del Comercio es seguir las muestras matemáticas y los símbolos del estándar de la ISO para el uso en las ciencias y la tecnología físicas, ISO 31-11: 1992, que sugiere estas notaciones:
El " de la notación; " del ln ( x ); significa log_e ( x );
El " de la notación; " del lg ( x ); significa log₁₀ ( x );
El " de la notación; libra ( x ) de " significa log₂ ( x ).

Pues la diferencia entre los logaritmos a diversas bases es una de la escala del, es posible considerar todas las funciones de logaritmo para ser igual, simplemente dando la respuesta en diversas unidades del, tal como DB, neper, pedacitos u octetos; ver la ciencia y la ingeniería de la sección abajo.

¡Cambio de la base

Mientras que hay varias identidades útiles, el más importante para el uso de la calculadora deja logaritmos de un hallazgo con las bases con excepción de ésos incorporadas a la calculadora (generalmente e y log₁₀ del log_{). Para encontrar un logaritmo con el bajo b, usar cualquie otro bajo k : $\backslash \; log\_b\; del$}

l (x) = \ frac {\ log_k (x)} {\ log_k (b)}.

Por otra parte, este resultado implica que todas las funciones de logaritmo (lo que la base) son el similar el uno al otro. Para calcular tan el registro con la base 2 del número 16 con una calculadora: = $\backslash \; log\_2\; del$

l 16) (\ frac {\ registro (16)}{\ registro (2)}.

Aplicaciones de logaritmos

Los logaritmos son útiles en solucionar las ecuaciones en las cuales los exponentes son desconocidos. Tienen derivados simples así que son de uso frecuente en la solución de los integrales que el logaritmo es una de tres funciones estrechamente vinculadas. En el n del ^{del b de la ecuación} = el x, b se pueden determinar con el n de los radicales con logaritmos, y el x con los exponentials . Ver las identidades logarítmicas para varias reglas que gobiernan las funciones de logaritmo.

Ciencia e ingeniería

Las varias cantidades en ciencia se expresan como logaritmos de otras cantidades; ver la escala logarítmica para una explicación y una lista más completa.

en la química, la negativa del logaritmo base-10 de la concentración de iones de Hydronium (H₃O⁺, la forma H⁺ admite el agua) es la medida conocida como pH . La concentración de iones del hydronium en el agua neutral es 10^{− mol/L 7} en el °C 25, por lo tanto un pH de 7.

el belio del (el símbolo B) es una unidad de medida que sea el logaritmo base-10 de los cocientes tal como niveles de la energía y niveles del voltaje . Se utiliza sobre todo en la telecomunicación, la electrónica, y la acústica . El belio se nombra después pionero Alexander Graham Bell de las telecomunicaciones. El decibelio (DB), igual a 0.1  el belio, se utiliza más comunmente. El Neper del es una unidad similar que utiliza el logaritmo natural de un cociente.

la escala de Richter mide intensidad del terremoto en una escala logarítmica base-10.

en la espectrometría y la óptica, la unidad de la absorbencia usada para medir la densidad óptica es equivalente a −1  B.

en la astronomía, la magnitud evidente mide el brillo de las estrellas logarítmico, puesto que el ojo también responde logarítmico al brillo.

en psicofísica, la ley de Weber-Fechner propone una relación logarítmica entre el estímulo y la sensación.

en el de informática, logaritmos aparece a menudo en los límites para la complejidad de cómputo . Por ejemplo, al N de la clase los artículos usar la comparación pueden requerir el tiempo proporcional al   del N del producto; ×  log  N . Semejantemente, los logaritmos base-2 se utilizan para expresar la cantidad de espacio de almacenaje o la memoria requerida para una representación binaria de a número-con los pedacitos del k (cada un 0 o 1) el puede representar 2 ^{valores distintos del k} , así que cualquier N del número natural se puede representar en no más que (el N de log₂) + los pedacitos 1.

semejantemente, en logaritmos de la teoría de información se utiliza como medida de la cantidad de información. Si un recipiente del mensaje puede contar con de mensajes posibles del N con probabilidad igual, después la cantidad de información transportada por cualquier un tal mensaje se cuantifica como pedacitos N de log₂

muchos tipos de ingeniería y de datos científicos se representa gráficamente típicamente en el las hachas con abscisas y ordenadas logarítmicas de Semilog de o, para la mayoría claramente de la demostración la forma de los datos.
los intervalos musicales se miden logarítmico como Semitones que el intervalo entre dos notas en semitones es el logaritmo de base-2^1/12 del cociente de la frecuencia (o equivalente, 12 veces el logaritmo base-2). Los semitones fraccionarios se utilizan para los temperamentos no-iguales. Para medir especialmente desviaciones de la escala tempered igual, los intervalos también se expresan en los centavos (centésimo de un Semitone igual-tempered ). El intervalo entre dos notas en centavos es el logaritmo de base-2^1/1200 del cociente de la frecuencia (o de 1200 veces el logaritmo base-2). En el MIDI, notas se numeran en la escala del semitone (echada nominal absoluta logarítmica con C media en 60). Para microtuning a otros sistemas de adaptación, una escala logarítmica es relleno definido en las gamas entre los semitones de la escala tempered igual de una manera compatible. Esta escala corresponde a los números de la nota para los semitones enteros. (véase microtuning en MIDI).

Funciones exponenciales

Una forma de definir el x del ^{del e de la función exponencial, también escrita como exp ( x ), está como lo contrario del logaritmo natural. Es positiva para cada verdadero x de la discusión.}

La operación del " aumento del b a un " del p de la energía; para el positivo b de las discusiones y todo el verdadero p de los exponentes se define cerca = \ exp del $b^p\; del$

l ({p \ ln b}). \,

La función del antilogaritmo es otro nombre para lo contrario de la función logarítmica. Se escribe el b ( n ) y medios del antilog _{iguales que el n del ^{del b .}}

Cómputos más fáciles

Los logaritmos se pueden utilizar para substituir operaciones difíciles en números por operaciones más fáciles en sus registros (en cualquie base), pues la tabla siguiente resume. En la tabla, las variables mayúsculas representan los registros de variables minúsculas correspondientes:

Teoría de grupo

De la perspectiva matemática pura, la identidad = (cd) \ registro del $\backslash \; del\; registro\; del$

l (c) + \ registro (d) \,

es fundamental en dos sentidos. Primero, que siguen habiendo las tres características aritméticas se pueden derivar de él. Además, expresa un isomorfismo en medio el grupo multiplicativo de los números verdaderos positivos y el grupo aditivo de todos los reals.

Las funciones logarítmicas son los únicos isomorphisms continuos del grupo multiplicativo de números verdaderos positivos al grupo aditivo de números verdaderos.

Cálculo

El logaritmo natural de un x del número positivo se puede definir como

$\backslash \; ln\; (x)\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; int\_\; \{1\}\; ^\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{despegue\}\; \{t\}\; de\; x.$

El derivado de la función de logaritmo natural es

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\}\; \backslash \; ln\; del\; dx\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}.$

Aplicando la regla de la cambiar-de-base, el derivado para otras bases está

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \backslash \; log\_b\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; frac\; de\; d\}\; \{dx\; \{\backslash \; ln\; (x)\}\; \{\backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; ln\; (b)\}\; \{=\; \backslash \; frac\; de\; x\; \backslash \; del\; ln\; (b)\}\; \{\backslash \; log\_b\; (e)\}\; \{x\}.$

El Antiderivative del ln del logaritmo natural ( x ) es $\backslash \; internacional\; \backslash \; ln\; del$

l (x) \, dx = x \ ln (x) - x + C,

y el Antiderivative del logaritmo para otras bases está tan $\backslash \; internacional\; \backslash \; log\_b\; del$

l (x) \, dx = x \ log_b (x) - \ frac {x} {\ ln (b)} + C = x \ log_b \ ido (\ frac {x} {e} \ derecho) + C.

El considera también: tabla de de los límites, lista de integrales de las funciones logarítmicas .

Serie para calcular el logaritmo natural

Hay varias series para calcular logaritmos naturales. El más simple, aunque ineficaz, es: $del\; \backslash \; ln\; (z)\; =\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{n=1\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{-\; \{(-\; 1)\}^n\}\; \{n\}\; (z-1)\; ^n$ cuando

Para derivar esta serie, comenzar con () $del$

l \ frac {1} {1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \ cdots.

Integrar ambos lados para obtener $-\; del$

l \ ln (1-x) = x + \ frac {x^2} {2} + \ $del$
+ \ cdots del frac {x^3} {3} \ ln (1-x) = - x - \ 2} - \ frac {x^3} {3} del frac {x^2} {- \ 4} - \ cdots. del frac {x^4} {

¡Dejando el $z\; =\; 1\; x\; \backslash !\; ¡$ y así $x\; =\; -\; (z-1)\; \backslash !$, conseguimos el $del\; \backslash \; ln\; z\; =\; (z-1)\; -\; \backslash \; 2\}\; +\; \backslash \; frac\; del\; frac\; \{(z-1)\; ^2\}\; \{\{(z-1)\; ^3\}\; \{3\}\; -\; \backslash \; 4\}\; +\; \backslash \; cdots$ del frac {(z-1) ^4} {

Una serie más eficiente es $del\; \backslash \; el\; ln\; (z)\; de\; =\; ^\; 2\; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; \backslash \; \{infty\; \backslash \; del\; frac\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \{1\}\; \{2n+1\}\; (\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{z+1\}\; \backslash \; derecho)\}\; el\; ^\; \{2n+1\}$

para el z con la partición verdadera positiva.

Para derivar esta serie, comenzamos por &minus que substituye; el x para el x y consigue $\backslash \; ln\; del$

l (1+x) = x - \ + \ frac {x^3} {3} del frac {x^2} {2} - \ + \ cdots. del frac {x^4} {4}

El restar, conseguimos = \ ln del $\backslash \; del\; ln\; \backslash \; del\; frac\; del$

l {1+x} {1-x} (1+x) - \ ln (1-x) = 2x de + 5} + \ cdots. 2 \ frac {x^3} {3} + 2 \ frac {x^5} {

¡Dejando $z\; =\; \backslash \; frac\; \{1+x\}\; \{1-x\}\; \backslash !\; ¡$ y así $x\; =\; \backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{z+1\}\; \backslash !$, conseguimos $\backslash \; ln\; del$

l z = 2 \ dejados (\ frac {z-1} {z+1} + \ 3} {\ dejados del frac {1} {(\ frac {z-1} {z+1} \ derechos)}^3 + \ {\ dejados del frac {1} {5} (\ frac {z-1} {z+1} \ derecho)}^5 + \ cdots \ derecho).

Por ejemplo, aplicando esta serie a = \ frac {11} {9}, del $z\; del$

l

conseguimos $del$

l \ frac {z-1} {z+1} = \ = \ frac {1} {10}, del frac {\ frac {11} {9} - 1} {\ frac {11} {9} + 1}

y así = \ frac {2} del $\backslash \; del\; ln\; del$

l (1.2222222 \ puntos) {10} \ se fue (1 + \ + \ frac {1} del frac {1} {3 \ cdot 100} {5 \ cdot 10000} + \ frac {1} {7 \ cdot 1000000} + \ cdots \) derecho $=\; 0.0000001\; \backslash \; puntos\; +\; \backslash \; cdots)$ del

l $=\; 0.0033535\; \backslash \; puntos\; del$

l = 0.2006707 \ puntos

donde descompusimos en factores 1/10 fuera de la suma en la primera línea.

Para cualquier otro bajo b, utilizamos = \ frac del $\backslash \; del\; log\_b\; del$

l (x) {\ ln (x)} {\ ln (b)}.

Computadoras

La mayoría de los lenguajes de programación utilizan el registro ( x ) para el logaritmo natural, mientras que el registro común es log10 típicamente denotado (x). Los valores de la discusión y de la vuelta son típicamente un tipo de datos de la coma flotante (o el de precisión doble).

Pues la discusión es la coma flotante, puede ser útil considerar el siguiente:

Un x del valor de la coma flotante es representado por un m de la mantisa y el n del exponente para formar $x\; del$

l = m2^n. \,

Por lo tanto $\backslash \; ln\; del$

l (x) = \ ln (m) + n \ ln (2). \,

Así, en vez del $\backslash \; del\; ln\; computacionales\; (x)$ computamos el $\backslash \; el\; ln\; (m)$ para un cierto m tales que 1  ≤     del m ; <   2. Tener m en esta gama significa que = \ frac {m - 1} {m+1} del

Para computar un logaritmo de la base 2 en un número entre 1 y 2 de una manera alterna, ajustarla en varias ocasiones. Cada vez que pasa 2, dividirla por 2 y escribir un " 1" el pedacito, apenas escribe un " 0" pedacito. Esto es porque el ajustar dobla el logaritmo de un número.

La pieza de número entero del logaritmo para basar 2 de un entero sin signo es dada por la posición del pedacito extremo izquierdo, y se puede computar en pasos de O ( n ) usar el algoritmo siguiente:

lang=" del internacional log2 (internacional x) { internacional r = 0; ¡mientras que ((x >> r)! = 0) { r++; } r-1 de vuelta; // vuelve -1 para x==0, piso (log2 (x)) de otra manera }

Sin embargo, puede también ser computado en O (el registro n) camina intentando cambiar de puesto por energías de 2 y comprobando que el resultado permanece diferente a cero: por ejemplo, primer >>16, entonces >>8,… (cada paso revela un pedacito del resultado)

Generalizaciones

El logaritmo ordinario de reals positivos generaliza a las discusiones complejas de la negativa y, aunque es una función polivalente que necesita un corte de rama que termina en el punto de rama en 0 para hacer una función o un ordinaria la rama principal . El logaritmo (basar el e ) de un z del número complejo es el ln del número complejo (| z |) + arg del i ( z ), donde | z | es el módulo z, el arg ( z ) es la discusión, y el i es la unidad imaginaria ; ver el logaritmo complejo para los detalles.

El logaritmo discreto es una noción relacionada en la teoría de los grupos finitos que implica el solucionar del n del ^{del b de la ecuación} = el x, donde están elementos el b y el x del grupo, y el n es un número entero que especifica una energía en la operación del grupo. Para algunos grupos finitos, se cree que el logaritmo discreto es muy duro de calcular, mientras que los exponentials discretos son absolutamente fáciles. Esta asimetría tiene usos en la criptografía de llave pública .

El logaritmo de una matriz es lo contrario de la matriz exponencial.

Es posible tomar el logaritmo de un Quaternions y Octonions

Un logaritmo, $\backslash \; ln\; del\; doble\; del\; (\backslash \; ln\; (x))$, es la función inversa de la función exponencial del doble. Un Estupendo-logaritmo del o el logaritmo hiperactivo -4 del es la función inversa del Tetration . El Estupendo-logaritmo x crece más lentamente que el logaritmo doble para el grande x .

Para cada positivo b no igual a 1, el   del b del log _{de la función;}   ( x ) está un isomorfismo del grupo de números verdaderos positivos bajo multiplicación al grupo (todos) de números verdaderos bajo adición. Son los únicos tales isomorphisms que sean continuos. La función de logaritmo se puede ampliar a una medida de Haar en el grupo topológico de números verdaderos positivos bajo multiplicación.

¡Historia

Al principio, Napier llamó el " de los logaritmos; numbers" artificial; y " de los antilogaritmos; numbers" natural;. Más adelante, Napier formó el logaritmo del de la palabra para significar un número que indica un cociente: (insignias ) proporción del significado, y (arithmos del ) número del significado. Napier eligió que porque la diferencia de dos logaritmos determina el cociente de los números representan, de modo que una serie aritmética de logaritmos corresponda a una serie geométrica de números. El antilogaritmo del término fue introducido en el último siglo XVII y, mientras que nunca estaba utilizado extensivamente en las matemáticas, persistido en colecciones de tablas hasta que cayeran en dejar de usar.

Napier no utilizó una base como ahora la entendemos, pero sus logaritmos estaban, hasta un factor de escala, basar con eficacia 1 e . Que los propósitos de la interpolación y la facilidad del cálculo, es útil hagan el r del cociente en la serie geométrica cerca de 1. Napier eligió el   del r ; =  1  -   10^{− 7}  =  0.999999 (Bürgi eligió el   del r ; =  1  +  10^{− 4}  =  1. Los logaritmos originales de Napier no tenían log  1  =  0 pero algo log  10⁷  =  0. Así si el N es un número y el L es su logaritmo según lo calculado por Napier,   del N ; =  10⁷ (1  −   10^{− ) L} del ⁷. Desde (1  −   10^{− 7}) ¹⁰⁷ es aproximadamente 1 e, éste hace el L igual de /10 ⁷ aproximadamente al e   de log_{1/; N /10 ⁷. Una edición del trabajo de Vlacq, conteniendo muchas correcciones, fue publicada en el Leipzig en el 1794 bajo tesoro Logarithmorum Completus título por el Jurij Vega .}

tabla del siete-lugar de s de Callet François la '( París, 1795 ), en vez de la detención en 100.000, dio los logaritmos del ocho-lugar de los números entre 100.000, para disminuir los errores de la interpolación, que eran los más grandes de la parte anterior de la tabla; y esta adición fue incluida generalmente en tablas del siete-lugar. La única extensión publicada importante de la tabla de Vlacq fue hecha por Sr. Sang en el 1871, cuya tabla contuvo los logaritmos del siete-lugar de todos los números debajo de 200.

Briggs y Vlacq también publicaron las tablas originales de los logaritmos de las funciones trigonométricas

Además de las tablas mencionadas anteriormente, una gran colección, llamada Tables du Cadastre, fueron construidos bajo dirección Gaspar de Prony, por un cómputo original, bajo auspicios del gobierno republicano francés de los 1700s . Este trabajo, que contuvo los logaritmos de todos los números hasta 100.000 a diecinueve lugares, y de los números entre 100.000 a veinticuatro lugares, existe solamente en el manuscrito, " en diecisiete folios enormes, " en el observatorio de París. Fue comenzada en el 1792 ; y " el conjunto de los cálculos, que asegurar mayor exactitud fueron realizados dos veces, y de los dos manuscritos compaginó posteriormente con cuidado, fue terminado en el espacio corto de dos years." La interpolación cúbica se podía utilizar para encontrar el logaritmo de cualquier número a una exactitud similar.

Ver también