El logaritmo natural, conocido antes como el logaritmo hiperbólico, es el logaritmo al e del de la base, donde está un constante el e irracional aproximadamente igual a 2. En términos simples, el logaritmo natural de un x del número es la energía a la cual el e tendría que ser levantado para igualar el x - por ejemplo el registro natural del e sí mismo es 1 porque el e 1 = el e, mientras que el logaritmo natural de 1 sería 0, desde el e 0 = 1. El logaritmo natural se puede definir para todo el positivo x de los números verdaderos como el área bajo y de la curva = 1 t a partir de la 1 al x, y se puede también definir para los números complejos diferente a cero según lo explicado abajo.

La función de logaritmo natural se puede también definir como la función inversa de la función exponencial, llevando a las identidades: ¡e^ del {\ ln (x)} = x \ qquad \ mbox {si} x > 0 \, \! ¡ del

l \ ln (e^x) = X. \, \!

Es decir la función de logaritmo es un Bijection del sistema de números verdaderos positivos al sistema de todos los números verdaderos. Es más exacto un isomorfismo del grupo de números verdaderos positivos bajo multiplicación al grupo de números verdaderos bajo adición.

Los logaritmos se pueden definir a cualquier base positiva con excepción de 1, no apenas al e, y son útiles para solucionar las ecuaciones en las cuales el desconocido aparece como el exponente de una cierta otra cantidad.

Convenciones de escritura


Los matemáticos del

, los estadísticos, y algunos ingenieros entienden generalmente cualquier " " del registro ( x ); o " " del ln ( x ); para significar loge ( x ), es decir, el logaritmo natural del x, y escribir el " " de log10 ( x ); si el logaritmo base-10 del x se piensa.

algunos ingenieros, los biólogos, y algunos otros escribe generalmente el " " del ln ( x ); (o de vez en cuando " " de loge ( x );) cuando significan el logaritmo natural del x, y toman el " " del registro ( x ); para significar el log10 ( x ) o, en el caso de algunos informáticos, el log2 ( x ).
¡

en la mayoría de los lenguajes de programación de uso general incluyendo el C, C++, FORTRAN, y BASIC, " log" o " LOG" refiere al logaritmo natural.

en las calculadoras de mano el logaritmo natural es el ln denotado, mientras que el registro es el logaritmo base-10.

Porqué se llama " natural"

Inicialmente, puede ser que parezca que puesto que utilizamos la base 10 para casi todos los cálculos, esta base sería más " natural" que el bajo e, pero hay varios sentidos en los cuales el e del log es más " natural". Primero, a través de las ciencias naturales y matemáticas las variables aparecen como los exponentes del e en muchas expresiones más importantes de que como exponentes de 10 el único special de la cosa cerca de 10, después de todos, son que sucede ser el número de dedos con los cuales la mayoría de los seres humanos nazcan. Así, el logaritmo natural es casi siempre más útil en la práctica. Como ejemplo relacionado, considerar el problema que distingue una función logarítmica:

\ frac {} \ log_b de d} {dx (x) = \ frac {\ log_b e} {x} Si el b de la base iguala el e, después el derivado es simplemente 1 x, y en el   del x ; =  1 este derivado iguala 1. Otro sentido de el cual el logaritmo bajo del e es el más natural es que puede ser definido absolutamente fácilmente en términos de integral o serie de Taylor simple y esto no es verdad de otros logaritmos.

Otros sentidos de esta naturalidad no hacen ningún uso de cálculo. Como ejemplo, hay un número de series simples que implican el logaritmo natural. De hecho, el Pedro Mengoli y el Nicholas Mercator lo llamaron los naturalis del logarithmus del algunas décadas antes Newton y el Leibniz desarrolló cálculo.

Definiciones

Formalmente, ln ( un ) puede estar definido como área debajo gráfico ( integral) de 1 x a partir de 1 a, es decir,

\ ln (a)= \ int_1^a \ frac {1} {} \, de x dx.

Esto define un logaritmo porque satisface la característica fundamental de un logaritmo: ¡= \ ln (a)+ \ ln del \ del ln del (ab) (b) \, \!

Esto puede ser demostrada dejando el t= \ el tfrac xa como sigue:

\ ln (ab)

\ int_1^ {ab} \ frac {1} {} \; de x dx

\ int_1^a \ frac {1} {} \; de x dx \; + \ int_a^ {ab} \ frac {1} {} \; de x dx

\ int_1^ {a} \ frac {1} {} \; de x dx \; + \ int_1^ {b} \ frac {1} {} \; de t despegue

\ + del ln (a) \ ln (b)

El e número se puede entonces definir como el único del número verdadero un tales que   del ln ( un ); =  1.

¡Alternativo, si la función exponencial se ha definido primero usar una serie infinita, el logaritmo natural se puede definir como su función inversa, es decir, el ln ( x ) es esa función tales que e^ {\ ln (x)} = x \! . Puesto que la gama de la función exponencial en discusiones verdaderas es todos los números verdaderos positivos y puesto que la función exponencial está aumentando terminantemente, ésta está bien definida para todo el positivo x .

El logaritmo natural también se manifiesta en naturaleza. El crecimiento demográfico está, en los términos absolutos, dependientes en el número de individuos. El cambio (el número de nuevos individuos) es por lo tanto dependiente en el número actual de individuos.

Derivado, serie de Taylor

derivado de natural logaritmo es dado por

\ frac {d} {} \ ln del dx (x) = \ frac {1} {x}. \, Esto lleva al \ al ln (1+x)= del de la serie de Taylor \ ^ del sum_ {n=1} \ infty \ frac {(- el ^ de 1) {n+1}} {n} x^n = x - \ el frac {x^2} {2} + \ el frac {x^3} {3} - \ cdots \ patio {\ rm para} \ patio \ se fue|x \ derecho| \ leq 1 \ patio {\ rm a menos que} \ patio x = -1

cuál también se conoce como la serie de Mercator.

Substituyendo el x -1 para el x, obtenemos una forma alternativa para el ln (x) sí mismo, a saber del \ ln (^ del x)= \ del sum_ {n=1} \ infty \ frac {(- el ^ de 1) {n+1}} {n} (x-1) ^ n = (x - 1) - \ frac {el ^ (x-1) 2} {2} + \ frac {(x-1) ^3} {3} - \ frac {(x-1) ^4} {4} \ cdots
{\ rm para} \ patio \ se fue|x-1 \ derecho| \ leq 1 \ patio {\ rm a menos que} \ patio x = 0.

Usando el Euler transforma en la serie de Mercator, uno obtiene el siguiente, que es válido para cualquier x con el valor absoluto mayor de 1: del

l \ ln {x \ encima {x-1}} = \ ^ del sum_ {n=1} \ infty {1 \ encima {x^n de n}} = {1 \ sobre x} + {1 \ encima {2x^2}} + {1 \ encima {3x^3}} + \ cdots

Esta serie es similar a un BBP-tipo fórmula .

También observar que el x \ sobre {x-1} es su propia función inversa, así que rendir el logaritmo natural de cierto número n, poner simplemente en el n \ sobre {n-1} para el X.

El logaritmo natural en la integración

El logaritmo natural permite la integración simple de las funciones del g ( x ) de la forma =   del f ; '()/ f ( x ) del x : un Antiderivative del g ( x ) es dado por el ln (| f ( x )|). Éste es el caso debido a la regla de cadena y el hecho siguiente: el del

l \ {d \ sobre dx} \ se fue (\ ln \ se fue| x \ derecho| \ derecho) = {1 \ sobre x}.

Es decir = \ ln del dx del \ internacional {1 \ sobre del

l x}|x| + C

y = \ ln del \ internacional del

l {\ frac {f'(x)} {f (x)} \, dx} |f (x)| + C.

Aquí está un ejemplo en el caso del g ( x ) = tan ( x ):

\ internacional \ tan (x) \, dx = \ internacional {\ pecado (x) \ sobre \ lechuga romana (x)} \, dx
\ internacional \ tan (x) \, dx = \ internacional {- {d \ sobre} del dx \ lechuga romana (x) \ encima {\ lechuga romana (x)}} \, dx. Dejando el f ( x ) = lechuga romana ( x ) y f ( x ) del = - pecado ( x ): del \ internacional \ (x) tan \, dx = - \ ln {\ se fue| \ lechuga romana (x) \ derecho|} + del
de C \ internacional \ (x) tan \, = \ ln del dx {\ se fue| \ sec (x) \ derecho|} + C

donde está un constante el C arbitrario de la integración .

El logaritmo natural puede ser integrado usar la integración por las piezas : del

l \ internacional \ ln (x) \, dx = x \ ln (x) - x + C.

¡Valor numérico

Para calcular el valor numérico del logaritmo natural de un número, la extensión de serie de Taylor se puede reescribir como:

\ ln (1+x)= x \, \ se fue (\ frac {1} {1} - x \, \ se fue (\ frac {1} {2} - x \, \ se fue (\ frac {1} {3} - x \, \ se fue (\ frac {1} {4} - x \, \ se fue (\ frac {1} {5} - \ los ldots \ derecho) \ derecho) \ derecho) \ derecho) \ derecho) \ patio {\ rm para} \ patio \ se fue|x \ derecho|¡<1. \, \!

Para obtener un mejor índice de convergencia, la identidad siguiente puede ser utilizada.

Alta precisión

Para computar el logaritmo natural con muchos dígitos de la precisión, el acercamiento de la serie de Taylor no es eficiente puesto que la convergencia es lenta. Una alternativa es utilizar el método de Newton para invertir la función exponencial, cuya converge serie más rápidamente.

Una alternativa para el cálculo de la precisión extremadamente alta es la fórmula del

l \ ln x \ aproximadamente \ frac {\ pi} {2 M \ dejados (1, \ frac {4} {s} \ derechos)} - m \ ln 2

donde el M denota el medio Aritmético-geométrico y s del

l = x \, los 2^m > 2^ {\ frac {p} {2}},

con el m elegido para lograr pedacitos del p de la precisión. De hecho, si se utiliza este método, la inversión de Newton del logaritmo natural se puede utilizar inversamente para calcular la función exponencial eficientemente. (El ln 2 de los constantes y π se puede pre-computar a la precisión deseada usar cualesquiera de varios serie rápidamente de convergencia sabida.)

Complejidad de cómputo

La complejidad de cómputo de computar el logaritmo natural (usar el medio aritmético-geométrico) es O n del ln (del M ( n )). Aquí el n es el número de dígitos de la precisión en los cuales el logaritmo natural deba ser evaluado y el M ( n ) es la complejidad de cómputo de multiplicar dos el n - números del dígito.

Logaritmos complejos

considera también:

complejo del logaritmo La función exponencial se puede ampliar a una función que dé a el número complejo como x del del e para cualquier arbitrario x del número complejo; utilizar simplemente la serie infinita con el complejo del x . Esta función exponencial se puede invertir para formar un logaritmo complejo que exhiba la mayor parte de las características del logaritmo ordinario. Hay dos dificultades implicadas: ningún x tiene x del del e = 0; y resulta ese πi e 2 = 1 = el e 0. Puesto que la característica multiplicativa todavía trabaja para la función exponencial compleja, z del del e = el nπi del del z +2 del del e, para todo el complejo z y el n de los números enteros.

El logaritmo no se puede definir tan para el plano complejo entero, e incluso entonces es &ndash polivalente; cualquier logaritmo complejo se puede cambiar en un " equivalent" logaritmo agregando cualquie múltiplo de número entero del πi de 2 en la voluntad. El logaritmo complejo puede solamente ser de un solo valor en el plano del corte. Por ejemplo, i del ln del = πi del 1/2 o 5/2 πi del o − 3/2 πi, etc. del ; y aunque el i 4 = 1, el i de 4 registros se pueda definir como πi de 2, o πi de 10 o − πi de 6, y así sucesivamente.

Ver también


John Napier del


Función integral logarítmica
Nicholas Mercator
Polylogarithm
Función de Von Mangoldt
el número '' e ''

.

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