En el análisis numérico, el método de Newton del (también conocido como el método de Raphson de Newton- del o el método de Newton-Fourier del ) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones a los ceros (o a las raíces ) de un verdadero - función valorada . Como tal, es un ejemplo de un algoritmo de la búsqueda del radical. Produce iterativo una secuencia de aproximaciones a la raíz, su índice de la convergencia a la raíz es cuadrático. El método generaliza a las versiones complejas y multidimensionales.

Puede también ser utilizado para encontrar un mínimo o un máximo de tal función, encontrando un cero en el primer derivado de la función, ver el método de Newton como algoritmo de optimización .

El algoritmo es primer en la clase de los métodos del cabeza de familia tenidos éxito por el método de Halley.

Descripción del método

La idea del método es como sigue: uno comienza con una conjetura inicial que que esté razonablemente cerca de la raíz verdadera, después la función es aproximada por su línea de tangente (que se pueda computar usar las herramientas del cálculo ), y uno computa el x - intercepción de esta línea de tangente (que se haga fácilmente con álgebra elemental). Este x - la intercepción será típicamente una mejor aproximación a la raíz de la función que la conjetura original, y el método puede ser iterado .

Suponer el f : el R del → de '' b '' es una función diferenciable definida en el intervalo '' b '' con valores en el R de los números verdaderos . La fórmula para converger en la raíz puede ser derivada fácilmente. Suponer que tenemos cierto actual x _n de la aproximación. Entonces podemos derivar la fórmula para una mejor aproximación, x _n+1 refiriendo al diagrama a la derecha. Sabemos de la definición del derivado en un punto dado que es la cuesta de una tangente en ese punto.

Ése es = \ frac del x_ del $f\text{'}(del\; \{n\})\; \{\backslash \; mathrm\; \{subida\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{funcionamiento\}\}\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{f\; (x\_\; \{n\}\; del\; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{\backslash \; delta\; y\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{\backslash \; delta\; x\}\})\; -\; 0\}\; \{x\_\; \{n\}\; -\; el\; x\_\; \{n+1\}\}\; =\; \backslash \; frac\; \{0\; -\; f\; (x\_\; \{n\})\}\{(x\_\; \{n+1\}\; -\; x\_\; \{n\})\}¡\backslash ,\; \backslash !$. Aquí,   del f ; “denota el derivado f de la función. Entonces por álgebra simple podemos derivar el $x\_\; del\; \{n+1\}\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{f\; (el\; x\_n)\; del\; x\_n\}\{f”\; (x\_n)\}¡\backslash ,\; \backslash !$. Comenzamos el proceso apagado con un cierto arbitrario x ₀ del valor inicial. (Más cercano al cero, el mejor. Pero, en la ausencia de cualquie intuición sobre donde el cero pudo mentir, un " conjetura y check" el método pudo enangostar las posibilidades a un intervalo razonablemente pequeño apelando al teorema de valor intermedio .) El método convergerá generalmente, con tal que esta conjetura inicial esté bastante cercana al cero desconocido, y ese) \ neq 0 del $f\text{'}(x\_0.\; Además,\; para\; un\; cero\; de\; la\; multiplicidad\; 1,\; la\; convergencia\; es\; por\; lo\; menosecuacióncuadrática\; (véase\; el\; índice\; de\; la\; convergencia\; )\; en\; una\; vecindad\; de\; el\; cero,\; que\; intuitivo\; significa\; que\; el\; número\; de\; dígitos\; correctos\; áspero\; por\; lo\; menos\; dobla\; en\; cada\; paso.\; Más\; detalles\; se\; pueden\; encontrar\; en\; la\; sección\; del\; análisis\; abajo.$

Ejemplo

Considerar el problema de encontrar el x del número positivo con lechuga romana ( x ) = el x ³. Podemos reformular que como encontrar el cero del f ( x ) = el x ³ del − de lechuga romana ( x ). Tenemos   del f ; '( x ) = x ² del − 3 del −sin ( x ). Desde el ≤ 1 de lechuga romana ( x ) para todo el x y el x ³ > 1 para el x >1, sabemos que nuestro cero miente entre 0 y 1. Intentamos un valor inicial del x ₀ = 0. el $del$

l \ comienza {matriz} x_1 y = y x_0 - \ frac {f (x_0)}{f'(x_0)} y = y 0.5 - \ frac {\ lechuga romana (0.112141637097 \ \ x_2 y = y x_1 - \ frac {f (x_1)}{f'(x_1)} y y \ vdots y = y \ raya {0.9} 09672693736 \ \ x_3 y y \ vdots y y \ vdots y = y \ raya {0.86} 7263818209 \ \ x_4 y y \ vdots y y \ vdots y = y \ raya {0.86547} 7135298 \ \ x_5 y y \ vdots y y \ vdots y = y \ raya {0.8654740331} 11 \ \ x_6 y y \ vdots y y \ vdots y = y \ raya {0.865474033102} \ extremo {matriz}

Los dígitos correctos se subrayan en el ejemplo antedicho. Particularmente, el x ₆ está correcto al número de lugares decimales dados. Vemos que el número de dígitos correctos después de que la coma aumente a partir del 2 (para el x ₃) a 5 y a 10, ilustrando la convergencia cuadrático. ¡ newtonIterationFunction de la función (x) { de vuelta x - (lechuga romana (x) - x^3)/(- pecado (x) - 3*x^2) } var x: = 0.5 para el de i del de 0 a 99 { " de la impresión; Iteración: " + i " de la impresión; Conjetura: " + x xold: = x x: = newtonIterationFunction (x) si x = xold { " de la impresión; ¡Solución encontrada! " rotura } }

Aquí está igual usar una calculadora.

el $\backslash \; comienza\; \{la\; matriz\}\; \backslash \; mbox\; \{que\; qué\; al\; tipo\}\; y\; y\; y\; \backslash \; \backslash \; 0.5\; \backslash ;\; \backslash \; mbox\; \{(entrar)\}\; y\; =\; y\; x\_0\; y\; =\; y\; 0.5\; \backslash \; \backslash \; American\; National\; Standard\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; (American\; National\; Standard)\; -\; Ans^3\}\; \{-\; \backslash pecado(American\; National\; Standard)\; -\; 3\; *\; Ans^2\}\; \backslash ;\; \backslash \; mbox\; \{(entrar)\}\; y\; =\; y\; x\_1\; y\; =\; y\; 1.1121416371\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{(entrar)\}\; y\; =\; y\; x\_2\; y\; =\; y\; 0.909672693736\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{(entrar)\}\; y\; =\; y\; x\_3\; y\; =\; y\; 0.867263818209\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; y\; y\; \backslash \; vdots\; y\; y\; \backslash \; vdots\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}$ -->

Historia

El método de Newton fue descrito por el Isaac Newton en De analysi por los infinitas del terminorum del numero de los aequationes (escrito en el 1669, publicado en el 1711 por el Guillermo Jones ) y en el fluxionum y el infinitarum de De metodis del serierum (escritos en el 1671, traducidos y publicados como método de los flujos en el 1736 por el Juan Colson ). Sin embargo, su descripción diferencia substancialmente de la descripción moderna dada arriba: Newton aplica el método solamente a los polinomios. Él no computa el n del _{del x de las aproximaciones sucesivas, sino computa una secuencia de polinomios y solamente el extremo, él llega una aproximación para el x de la raíz. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y no puede notar la conexión con cálculo. Isaac Newton derivó probablemente su método de un método similar pero menos exacto por el François Viète . La esencia del método de Viète se puede encontrar en el trabajo del al-Tusi persa del al-Dinar de Sharaf del matemático .}

La garza de Alexandría utilizó esencialmente el mismo método en el libro 1, capítulo 9, de su Metrica para determinar la raíz cuadrada de 720.

El método de Newton primero fue publicado en el 1685 en un tratado de histórico y práctico de la álgebra por el Juan Wallis . En el 1690, el José Raphson publicó una descripción simplificada en los universalis del aequationum del análisis. El método de Raphson Newton otra vez puramente visto como método algebraico y restringido su uso a los polinomios, pero él describe el método en términos de n del _{del x de las aproximaciones sucesivas en vez de la secuencia más complicada de polinomios usados por Newton. Finalmente, en el 1740, el Thomas Simpson describió el método de Newton como método iterativo para solucionar ecuaciones no lineares generales usar cálculo variable, esencialmente dando la descripción arriba. En la misma publicación, Simpson también da la generalización a los sistemas de dos ecuaciones y observa que el método de Newton se puede utilizar para solucionar problemas de la optimización fijando el gradiente a cero.}

El Arturo Cayley en el 1879 en el problema imaginario de Newton-Fourier era el primer quién notó las dificultades en la generalización del método del Newton a las raíces complejas de los polinomios con el grado mayor de 2 y valores iniciales complejos. Esto abrió la manera en el estudio de la teoría de iteraciones de funciones racionales.

Consideraciones prácticas

En general la convergencia es el cuadrático: el error esencialmente se ajusta en cada paso (es decir, el número de dígitos exactos dobla en cada paso). Hay algunas advertencias, sin embargo. Primero, el método de Newton requiere que el derivado esté calculado directo. (Si el derivado es aproximado por la cuesta de una línea a través de dos puntos en la función, el método secante resulta; esto puede ser más eficiente dependiendo de cómo uno mide esfuerzo de cómputo.) En segundo lugar, si el valor inicial está también lejos del cero verdadero, el método de Newton puede no poder converger. Debido a esto, la mayoría de las puestas en práctica del método de Newton ponen un límite superior en el número de iteraciones y quizás en el tamaño del itera. Tercero, si la raíz que es buscada tiene multiplicidad mayor de uno, el tipo de interés de convergencia es simplemente linear (los errores reducidos por un factor constante en cada paso) a menos que se tomen las medidas especiales.

Ejemplos contrarios

Si el punto de partida no está cerca a una raíz entonces la convergencia puede no poder ocurrir.

¡Dejar el $f\; del\; (x)\; =\; x^3\; -\; 2x\; +\; 2\; \backslash !$ y tomar 0 como el punto de partida. La primera iteración produce 1 y las segundas vueltas de la iteración a 0 así que la secuencia oscilará entre los dos sin la convergencia a una raíz. Generalmente el comportamiento el secuencia puede ser muy complejo. (Véase el fractal de Newton.)

El en los ejemplos siguientes, la raíz deseada está en cero para el &mdash de la simplicidad; habría podido ser colocado a otra parte.

si el derivado no es continuo en la raíz, después la convergencia puede no poder ocurrir en cualquier vecindad de la raíz.

Considerar la función $f\; del$

l (x) = \ comenzar {los casos} 0 y \ mbox {si} x = 0 \ \ x + y \ mbox {si} x \ neq 0 de x^2 \ del pecado (\ frac {2} {x}) \ extremo {casos}

¡Entonces $f\text{'}(0)\; =\; 1\; \backslash !\; ¡$ y $f\text{'}(x)\; =\; 1\; +\; 2x\; \backslash \; pecado\; (2/x)\; -\; 2\; \backslash \; lechuga\; romana\; (2/x)\; \backslash !$ a otra parte.

Dentro de cualquier vecindad de la raíz, este derivado guarda el cambiar de la muestra mientras que el x se acerca a 0 de la derecha (o de la izquierda) mientras que ¡$f\; (x)\; \backslash \; GE\; x\; -\; x^2\; >\; 0\; \backslash !\; ¡$ para .

¡Tan $f\; (x)/f\text{'}(x)\; \backslash !$ es cercano ilimitado la raíz y el método de Newton no convergerá, aunque: la función es diferenciable por todas partes; el derivado no es cero en la raíz; ¡$f\; \backslash !$ es infinitamente diferenciable excepto en la raíz; y el derivado se limita en una vecindad de la raíz (desemejante de su recíproco).

si no hay segundo derivado en la raíz, después la convergencia puede no poder ser cuadrático.

¡De hecho, dejar

$f\; (x)\; =\; x\; +\; x^\; \{4/3\}\; \backslash !$ ¡Entonces

$f\text{'}(x)\; =\; 1\; +\; x^\; (de\; 4/3)\; \{1/3\}\; \backslash !$ ¡Y

$f\; (x)\; =\; x^\; (de\; 4/9)\; \{-\; 2/3\}\; \backslash !$ ¡excepto cuando $x\; =\; 0\; \backslash !$ donde está indefinido. ¡$x\_n\; dado\; \backslash !$, $x\_\; del$

l {n+1} = - \ frac {f (x_n) del x_n}{f '(x_n)} = \ frac {(1/3) x_n^ {4/3}} {(1 + (4/3) x_n^ {1/3})} ¡\!

¡cuál tiene aproximadamente 4/3 de las épocas tantos pedacitos de la precisión como $x\_n\; \backslash !$ tiene. Éste es menos que los 2 tiempos tantos que serían requeridos para la convergencia cuadrático. La convergencia del método de Newton (en este caso) no es tan cuadrático, aunque: la función es continuamente diferenciable por todas partes; el derivado no es cero en la raíz; ¡y $f\; \backslash !$ es infinitamente diferenciable excepto en la raíz deseada.

si el primer derivado es cero en la raíz, después la convergencia no será cuadrático. ¡De hecho, dejar el $f\; del\; (x)\; =\; x^2\; \backslash !$ ¡Entonces $f\text{'}(x)\; =\; 2x\; \backslash !\; ¡$ y por lo tanto $x\; -\; f\; (x)/f\text{'}(x)\; =\; x/2\; \backslash !$. La convergencia no es tan cuadrático, aunque la función es infinitamente diferenciable por todas partes.

Análisis

Suponer que el f de la función tiene un cero en el α, es decir, f (α) = 0.

Si   del f ; es continuamente diferenciable y su derivado no desaparece en el α, después existe una vecindad del α tales que para todo el x ₀ de los valores iniciales en esa vecindad, la secuencia { n del _{del x } convergerá al α.}

Si la función es continuamente diferenciable y su derivado no desaparece en el α y tiene un segundo derivado en el α entonces que la convergencia es cuadrático o más rápidamente. Si el segundo derivado no desaparece en el α entonces la convergencia es simplemente cuadrático.

Si el derivado desaparece en el α, después la convergencia es generalmente solamente linear. ¡Específicamente, si el f es dos veces continuamente diferenciable, $f\text{'}(\backslash \; alfa)\; =\; 0\; \backslash !\; ¡$ y $f\; (\backslash )\; \backslash \; ne\; 0\; \backslash !\; de\; la\; alfa$, entonces allí existe una vecindad del α tales que para todo el ₀ de los valores iniciales x en esa vecindad, la secuencia de itera converge linear, con la tarifa log₁₀  2 (Süli y Mayers, ejercicio 1. ¡Alternativo si $f\text{'}(\backslash \; alfa)\; =\; 0\; \backslash !\; ¡$ y $f\text{'}(x)\; \backslash \; ne\; 0\; \backslash !$ a otra parte, en un de la vecindad U del α, α que es un cero de de la multiplicidad r y si $f\; \backslash \; en\; C^r\; (U)$ entonces allí existe una vecindad del α tales que para todo el ₀ de los valores iniciales x en esa vecindad, converge la secuencia de itera linear.

Sin embargo, incluso la convergencia linear no se garantiza en situaciones patológicas.

¡Estos resultados son en la práctica locales y la vecindad de la convergencia no es a priori sabido de, pero hay también algunos resultados en la convergencia global, por ejemplo, dada un correcto de la vecindad U₊ del α, si el de f es dos veces diferenciable en de U₊ y si el $f\; \backslash \; ne\; 0\; \backslash !\; ¡$, $f\; \backslash \; cdot\; f\; >\; 0\; \backslash !$ en el U₊, entonces, para cada x₀ en el U₊ el x_k de la secuencia está disminuyendo monotónico al α.

Generalizaciones

Sistemas de ecuaciones no lineares

Uno puede utilizar el método de Newton también para solucionar sistemas de ecuaciones (no lineares) del k, que asciende a encontrar los ceros del F de las funciones continuamente diferenciables: &rarr del k del ^{del R ; k} del ^{del R de} . En la formulación dada arriba, una entonces tiene que ido para multiplicarse con lo contrario del k - por el F ( n del del J de la matriz de Jacobian k del _{del x ) en vez de la división por el   del f ; '( n} del del x ). Algo que realmente computando lo contrario de esta matriz, una puede ahorrar tiempo solucionando el sistema de las ecuaciones lineares ¡, \! del $J\_F\; del$

l (x_n) (x_ {n+1} - x_n) = - F (del x_n) \

para el desconocido n del _{del x del − del n +1} del _{del x . Una vez más este método trabaja solamente si el 0} del _{del x del valor inicial está bastante cercano al cero verdadero. Típicamente, una región que es el Well-behaved está situada primero con un cierto otro método y el método de Newton entonces se utiliza al " polish" una raíz que se sabe ya aproximadamente.}

Ecuaciones no lineares en un espacio de Banach

Otra generalización es el método del Newton para encontrar un cero de un F de la función definido en un espacio de Banach . En este caso la formulación es el ^ del =X_n- del $X\_\; del\; \{n+1\}\; (F\text{'}\_\; \{X\_n\})\; \{-\; 1\}$, donde está el derivado el $F\text{'}\_\; \{X\_n\}$ de Fréchet aplicado en el punto $X\_n$. Uno necesita el derivado de Fréchet ser inversible en cada $X\_n$ para que el método sea aplicable.

Funciones complejas

considera también:

l fractal de Newton Al ocuparse de las funciones complejas, sin embargo, el método de Newton se puede aplicar directo para encontrar sus ceros. Para muchas funciones complejas, el límite del sistema (también conocido como el lavabo de la atracción ) de todos los valores iniciales que causen el método a converger a un detalle cero es un fractal .

Zenithic

Glochidion marchionicum

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