el

l este artículo está sobre el método de encontrar el área de una forma usar límites. Para el método de prueba, ver la prueba por el agotamiento .

El método del del agotamiento es un método de encontrar el área de una forma inscribiendo dentro de él una secuencia de polígonos cuyo de las áreas converja al área de la forma que contiene. Si la secuencia se construye correctamente, la diferencia en área entre el polígono del th del n y la forma que contiene llegará a ser arbitrariamente tan pequeño que el n llega a ser grande. Pues esta diferencia llega a ser arbitrariamente pequeña, los valores posibles para el área de la forma son sistemáticamente " exhausted" por las áreas encuadernadas más bajas sucesivamente establecidas por los miembros de la secuencia. La idea originó con la antífona, aunque no esté enteramente claro como de bien él lo entendía. La teoría fue hecha rigurosa por el Eudoxus . El primer uso del término estaba por Gregorie de Santo-Vincent en el circuli y el coni de los guadraturae del geometricum del opus del del sectionum en 1647.

El método de agotamiento requirió típicamente una forma de prueba por la contradicción, conocida como absurdum de anuncio de reductio del . Esto asciende a encontrar un área de una región primero comparándola al área de una segunda región (que pueda “ser agotada” de modo que su área se convierta arbitrariamente cerca del área verdadera). La prueba implica el si se asume de que el área verdadera es mayor que la segunda área, y después el probar de esa aserción falsa, y después el si se asume de que es menos que la segunda área, y el probar de esa aserción falsa, también. Esta clase de prueba es el Nonconstructive y así que la respuesta se debe saber por adelantado.

El método de agotamiento se considera como precursor a los métodos del cálculo . El desarrollo de la geometría analítica y del cálculo integral riguroso en los 17mo-diecinueveavo siglos (particularmente una definición rigurosa del límite ) incluyó el método de agotamiento para lo no más explícitamente solucionara problemas.

El Archimedes utilizó el método de agotamiento como una manera de calcular el π llenando el círculo de un polígono cada vez más de un número de lados. El cociente formado por el área de este polígono dividido por el cuadrado del radio del círculo se puede hacer arbitrariamente cerca del valor real del π mientras que el número de lados del polígono llega a ser grande.

Otros resultados que él obtuvo con el método de agotamiento incluido

el área limitada por la intersección de una línea y de una parábola es 4/3 el del triángulo que tiene la misma base y altura;
El área de una elipse es proporcional a un rectángulo que tiene lados iguales a sus hachas importantes y de menor importancia;
El volumen de una esfera es 4 veces que de un cono que tiene una base y una altura del mismo radio;
El volumen de un cilindro que tiene una altura igual a su diámetro es 3/2 el de una esfera que tiene el mismo diámetro;
El área limitada por una rotación espiral y una línea es 1/3 el del círculo que tiene un radio igual a la línea longitud de segmento;
El uso del método de agotamiento también llevó a la evaluación acertada de una serie geométrica (por primera vez).

Una nueva forma del método de agotamiento proporciona una fórmula para evaluar el integral definido de cualquier función continua: \ internacional del

l \ limits_a^b {f (x) \, = \ dejado del dx ({b - a} \ derecho)} \ ^ de la suma \ limits_ {n = 1} \ {\ ^ de la suma \ limits_ {m = 1} {2^n - 1} {\ dejado ({- 1} \ derecho) ^ infty {m + 1}}} 2^ {- n} f (a + m \ dejado ({b - a} \ derecho) /2^n).

Esta fórmula puede ser útil cuando existe ningún antiderivative elemental. Puede también ser útil para enseñar a cálculo integral.

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