En las matemáticas, el método de círculo Robusto-Littlewood del es una lo más frecuentemente de las técnicas usadas de la teoría de número analítico . Littlewood, que lo desarrollaron en una serie de los papeles en el problema el tener cuidado con. El germen inicial de la idea se atribuye generalmente al trabajo de robusto con el Srinivasa Ramanujan algunos años anterior, en 1916 y 1917, en la asintótica de la función de partición . Fue tomado por muchos otros investigadores, incluyendo el Harold Davenport y el I. Vinogradov, que modificaron la formulación levemente (moviéndose desde el análisis complejo a las sumas exponenciales, sin el cambio de las líneas generales. Los centenares de papeles siguieron, y el en fecha 2005 el método todavía rinde resultados.

El círculo en la pregunta era inicialmente el círculo de unidad en el plano complejo. Si se asume que el problema primero había sido formulada en los términos que para una secuencia de números complejos

l un n , n del _{de = 0, 1, 2, 3,…}

queremos una cierta información asintótica del tipo

l un F ( n ) del ~ del n del _de

donde tenemos cierta razón heurística para conjeturar la forma tomada por el F, escribimos $f\; del$

l (z^n del a_n del z)= \ de la suma

una función de generación de la serie de energía . Los casos interesantes son donde está el f entonces del radio de la convergencia igual a 1, y suponemos que el problema como presentado se ha modificado para presentar esta situación.

De esa formulación, es directo del teorema del residuo eso

$I\_n=\; \backslash \; internacional\; f\; (z)\; z^\; \{-\; (n+1)\}\; \backslash ,\; dz=2\; \backslash \; pi\; ia\_n$

para el &ge del n de los números enteros; 0, donde el integral se asume el control el círculo del r del radio y se centra en 0, para cualquie r con

0 del < r < 1.

Es decir, esto es un integral de contorno, con el contorno siendo el una vez a la izquierda atravesado descrito círculo. Hasta ahora, esto es relativamente elemental. Quisiéramos tomar el r = 1 directo, es decir para utilizar el contorno del círculo de unidad. En la formulación compleja del análisis esto es problemático, puesto que los valores del f no están en el general definido allí.

El problema abordado por el método de círculo es forzar la aplicación tomar el r = 1, por una buena comprensión de la naturaleza de los objetos expuestos del f de las singularidades en el círculo de unidad. La penetración fundamental es el papel desempeñado por la serie de Farey de números racionales, o equivalente por las raíces de la unidad $\backslash \; zeta\; \backslash \; =\; \backslash \; exp\; del$

l \ ido (\ frac {2 \ pi ir} {s} \ derecho).

Aquí el s del denominador, si se asume que el r/s es en los términos más bajos, resulta determinar la importancia relativa del comportamiento singular del típico f cerca de ζ.

El método de círculo Robusto-Littlewood del, para la formulación complejo-analítica, puede entonces ser expresado así. Las contribuciones a la evaluación del n del _{del I, como &rarr del r ; 1, se debe tratar de dos maneras, tradicionalmente llamadas los arcos del comandante del y los arcos del menor de edad del . Dividimos el ζ en dos clases, según si &le del s ; > del N, o del s ; N, donde está una función el N del n que es los nuestros a elegir convenientemente. El integral n} del _{del I se divide para arriba en los integrales cada uno en algún arco del círculo que está adyacente a ζ, de la longitud una función del s (otra vez, en nuestra disposición). Los arcos componen el círculo entero; la suma de los integrales sobre los arcos del comandante del es componer 2π el si ( n ) (realista, éste sucederá hasta un término de resto manejable). La suma de los integrales sobre los arcos del menor de edad del debe ser substituida por un límite superior, más pequeño en orden que el F ( n ).}

Indicado calvo como esto, está en absoluto claro que esto se puede hacer para trabajar. De hecho, las penetraciones implicadas no son tan bajas. Una fuente clara es la teoría de las funciones en el contexto del problema el tener cuidado con, energías de la theta de las funciones de la theta es las funciones de generación para las sumas de los cuadrados . Su comportamiento analítico se sabe en un detalle mucho más exacto que para los cubos, por ejemplo.

Es el caso, pues el diagrama del falso-color indica, que para una función de la theta “la mayoría” del punto importante en el círculo del límite es en el z = 1; seguido por el z = − 1, y entonces las dos raíces cúbicas complejas de la unidad a las 7 y a las 11. Después que es las cuartas raíces del i de la unidad y del − i que importa más. Mientras que nada en esto garantiza que el método analítico trabajará, explica el análisis razonado de usar un serie-tipo criterio de Farey en raíces de la unidad.

En el caso del problema el tener cuidado con, uno toma suficientemente un poder más elevado de la función de generación, de forzar la situación en la cual las singularidades, organizadas en la serie singular supuesto, predominan. Cuanto menos derrochadores las estimaciones usadas en el resto, más finos son los resultados. Pues el abedul de Bryan lo ha puesto, el del método es intrínsecamente derrochador. Eso no se aplica al caso de la función de partición, que señaló la posibilidad que en una situación favorable las pérdidas de estimaciones podrían ser controladas.

En el posterior, exponencial f ( z ) de la formulación de la suma es substituido por una serie de Fourier Finita, y el integral relevante n del _{del I es un coeficiente de Fourier. Esencialmente todo el esto hace es desechar la “cola entera” de la función de generación, permitiendo que el negocio del r en la operación de limitación sea fijado directo al valor 1.}

Los refinamientos del método han permitido que los resultados sean probados sobre las soluciones de las ecuaciones Diophantine homogéneo mientras el número del k de las variables sea grande concerniente al d del grado. Ésta resulta ser una contribución al principio de Hasse, capaz de rendir la información cuantitativa. Si el d es fijo y el k es pequeño, se requieren otros métodos, y el principio de Hasse tiende de hecho a fallar.