El método de elemento finito del (FEM) se utiliza para encontrar soluciones aproximadas de las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) así como de las ecuaciones integrales tal como la ecuación de transporte de calor . El acercamiento de la solución se basa en la eliminación de la ecuación diferencial totalmente (los problemas de estado estacionario), o la representación del PDE a un sistema que aproxima de ecuaciones diferenciales ordinarias que entonces se solucionen usar técnicas estándar tales como Runge-Kutta de las diferencias finitas, etc.

En solucionar las ecuaciones diferenciales parciales el desafío primario es crear una ecuación que aproxime la ecuación que se estudiará, pero es el numéricamente estable, significando que los errores en los datos y los cálculos intermedios de entrada no acumulan y no hacen la salida resultante ser sin setido. Hay muchas maneras de hacer esto, todo con ventajas y desventajas. El método de elemento finito es una buena opción para solucionar ecuaciones diferenciales parciales sobre dominios complejos (como los coches y los oleoductos), cuando el dominio cambia (como durante una reacción de estado sólido con un límite móvil), cuando la precisión deseada varía sobre el dominio entero, o cuando la solución carece suavidad. Por ejemplo, en la simulación del patrón de tiempo en la tierra, consiste más importante tener predicciones exactas sobre tierra que sobre el mar abierto de par en par, una demanda que sea realizable usar el método de elemento finito.

Historia

El método del finito-elemento originó de las necesidades de solucionar la elasticidad compleja, problemas del análisis estructural en el genio civil y la ingeniería aeronáutica . Su desarrollo se puede rastrear al trabajo por el Alexander Hrennikoff (1941) y el Richard Courant (1942). Mientras que los acercamientos usados por estos pioneros son dramáticamente diferentes, comparten una característica esencial: discretización del acoplamiento de un dominio continuo en un sistema de secundario-dominios discretos. El trabajo de Hrennikoff individualiza el dominio usando una analogía del enrejado mientras que el acercamiento de Courant divide el dominio en las subregiones triangulares finitas para la solución de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas de la segunda orden (PDEs) que se presentan del problema de la torsión de un cilindro . La contribución de Courant era evolutiva, dibujando en un cuerpo grande de resultados anteriores para PDEs desarrollado por el Rayleigh, el Ritz, y el Galerkin . El desarrollo del método de elemento finito comenzó en serio en el centro a los últimos años 50 para la armadura de avión y el análisis estructural y el ímpetu recolectado en la universidad de Stuttgart a través del trabajo Juan Argyris y en el Berkeley a través del trabajo de la quebrada del rayo W. en los años 60 para el uso en el genio civil . El método fue proporcionado una fundación matemática rigurosa en el 1973 con la publicación del Strang y de s del arreglo 'un análisis del método de elemento finito, y se ha generalizado desde entonces en una rama de las matemáticas aplicadas para el modelado numérico de sistemas físicos en una gran variedad de disciplinas de la ingeniería, e., electromagnetismo y dinámica flúida .

El desarrollo del método de elemento finito en los mecánicos estructurales se basa a menudo en un principio de energía, e., el principio virtual del trabajo o el principio de energía potencial total mínimo, que proporciona una base general, intuitiva y física que tenga una gran súplica a los ingenieros estructurales.

Discusión técnica

Ilustraremos el método de elemento finito usar dos problemas de muestra de los cuales el método general pueda ser extrapolado. Se asume que el lector es familiar con el cálculo y la álgebra linear .

P1 es un $del\; del\; problema\; del\; \backslash \; un\; mbox\; unidimensionales\; \{P1\}:\; \backslash \; comenzar\; \{los\; casos\}\; =f\; del\; de\; u\; \backslash \; mbox\; \{adentro\}\; (0.1),\; \backslash \; \backslash \; 0)\; =u\; de\; u\; ((1)=0,\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$ donde se da $f$ y $u$ es una función desconocida de $x$, y el $u$ es el segundo derivado de $u$ con respecto a $x$.

El problema de muestra de dos dimensiones del es el $del\; del\; problema\; de\; Dirichlet\; \backslash \; el\; mbox\; \{P2\}:\; \backslash \; comenzar\; \{los\; casos\}\; u\_\; \{xx\}\; +u\_\; \{yy\}\; =f\; y\; \backslash \; mbox\; \{adentro\}\; \backslash \; Omega,\; \backslash \; \backslash \; u=0\; y\; \backslash \; mbox\; \{encendido\}\; \backslash \; parcial\; \backslash \; Omega,\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$

donde está una región el $\backslash \; Omega$ abierta conectada en el $(x,\; el\; plano\; de\; y)$ que $del\; límite\; \backslash \; parcial\; \backslash \; Omega$ es el " nice" (e., un múltiple liso o un polígono ), y el $u\_\; \{xx\}$ y el $u\_\; \{yy\}$ denotar los segundos derivados con respecto a $x$ y a $y$, respectivamente.

El problema P1 puede ser " solucionado; directly" computando el Antiderivatives sin embargo, este método de solucionar el problema de valor de límite trabaja solamente cuando hay solamente una dimensión espacial y no generaliza a los problemas alto-dimensionales o a los problemas como el =f de $u+u.\; Por\; esta\; razón,\; desarrollaremos\; el\; método\; de\; elemento\; finito\; para\; P1\; y\; contornearemos\; su\; generalización\; a\; P2.$

Nuestra explicación procederá en dos pasos, que reflejan dos pasos esenciales uno deben tomar para solucionar un problema de valor de límite (BVP) usar el mercado de cambios. En el primer paso, uno reformula el BVP original en su forma variada débil, o . Poco a ningún cómputo se requiere generalmente para este paso, la transformación se hace a mano en el papel. El segundo paso es la discretización, donde la forma débil está individualizada en un espacio dimensional finito. Después de este segundo paso, tenemos fórmulas concretas para un problema linear dimensional grande pero finito cuya solución solucione aproximadamente el BVP original. Este problema dimensional finito entonces se ejecuta en una computadora .

Formulación variada

El primer paso es convertir P1 y P2 en sus equivalentes variados . Si $u$ soluciona P1, después para cualquier función lisa $v$ que satisfaga las condiciones de límite de la dislocación, es decir $v=0$ en $x=0$ y $x=1$, tenemos

(1) $\backslash \; int\_0^1\; f\; (x)\; v\; (x)\; \backslash ,\; =\; \backslash \; int\_0^1\; u\; del\; dx\; (x)\; v\; (x)\; \backslash ,\; dx.$

Inversamente, si para un $u$ dado, (1) se sostiene para cada $vlisode\; la\; función\; (x)$ entonces uno puede demostrar que este $u$ solucionará P1. (La prueba es no trivial y utiliza los espacios de Sobolev)

Usando la integración por las partes en el derecho-mano-lado de (1), obtenemos

(2)$\backslash \; comenzar\; \{alinear\}\; \backslash \; int\_0^1\; f\; (x)\; v\; (x)\; \backslash ,\; dx\; y\; =\; \backslash \; int\_0^1\; u\; (x)\; v\; (x)\; \backslash ,\; del\; dx\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; u\text{'}(x)\; v\; (x)|\_0^1-\; \backslash \; int\_0^1\; v\text{'}(del\; u\text{'}(x)\; x)\; \backslash ,\; del\; dx\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; v\text{'}(del\; u\text{'}(-\; \backslash \; int\_0^1\; x)\; x)\; \backslash ,\; dx\; =\; -\; \backslash \; phi\; (u,\; v).\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$

donde hemos utilizado la asunción ese 0) =v del $v\; ((1)=0$.

Un esquema de la prueba de la existencia y unicidad de la solución

Podemos definir $H\_0^1\; (0.1)$ para ser las funciones absolutamente continuas del $(0.1)$ que son $0$ en $x=0$ y $x=1$. Tal función es " una vez differentiable" ¡y resulta que el $bilineario\; del\; mapa\; simétrico\; \backslash !\; \backslash ,\; \backslash \; phi$ entonces define un producto interno que dé vuelta a $H\_0^1\; (0.1)$ en un espacio de Hilbert (una prueba detallada es no trivial.) Por una parte, el $\backslash \; int\_0^1\; f\; (x)\; v\; (x)\; dx$ del izquierdo-mano-lado es también un producto interno, este vez en el espacio $L^2\; (0.\; Un\; uso\; delteoremade\; la\; representación\; de\; Riesz\; para\; los\; espacios\; de\; Hilbert\; demuestra\; que\; hay$ u$únicos\; que\; solucionan\; (2)\; y\; por\; lo\; tanto\; P1.$

La forma variada de P2

Si integramos por las piezas usar una forma del teorema de Green, vemos eso si $u$ soluciona P2, entonces para cualquier $v$,

$\backslash \; int\_\; \{\backslash \; Omega\}\; fv\; \backslash ,\; ds\; =\; -\; \backslash \; int\_\; \{\backslash \}\; \backslash \; nabla\; u\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; v\; \backslash ,\; de\; Omega\; ds\; =\; -\; \backslash \; phi\; (u,\; v),$

donde el $\backslash \; nabla$ denota el gradiente y el $\backslash \; cdot$ denota el producto de punto en el plano de dos dimensiones. ¡Una vez más $\backslash ,\; \backslash !\; \backslash \; phi$ se puede dar vuelta en un producto interno en un espacio conveniente $H\_0^1\; (\backslash \; Omega)$ del " una vez differentiable" funciones del $\backslash \; Omega$ que son cero en $\backslash \; parciales\; \backslash \; Omega$. También hemos asumido ese $v\; \backslash \; en\; H\_0^1\; (\backslash \; Omega)$. El espacio $H\_0^1\; (\backslash \; Omega)$ se puede definir no más en términos de funciones absolutamente continuas, pero considera que existencia de los espacios de Sobolev y unicidad de la solución puede también ser demostrado.

Discretización

La idea básica es substituir el problema linear dimensional infinito: $u\; del\; hallazgo\; del\; \backslash \; en\; H\_0^1$ tales que $del$
\ forall v \ en H_0^1, \; - \ phi (u, v)= \ internacional fv con una versión dimensional finita: $u\; del\; hallazgo\; del$

l (3) \ en V tales que $del$
\ forall v \ en, \; de V - \ phi (u, v)= \ internacional fv

donde está un subespacio $V$ dimensional finito de $H\_0^1$. Hay muchas opciones posibles para $V$ (una posibilidad lleva al método espectral ). Sin embargo, para el método de elemento finito tomamos $V$ para ser un espacio de funciones por trozos lineares.

Para el problema P1, tomamos el $del\; intervalo\; (0.1)$, elegimos el 0=x_0n $x$… {n+1} =1 y definimos $V$ cerca el $del$

l \ comienza {matriz} V= \ {v: \ rightarrow \ Bbb R \;: v \ mbox {es continuo,} v|_ {} \ \ \ del mbox {es linear para} k=0,…, n \ mbox {, y} v (0) =v (1)=0 \} \ extremo {matriz}

donde definimos $x\_0=0$ y el $x\_\; \{n+1\}\; =1$. Observar que las funciones en $V$ no son diferenciables según la definición elemental del cálculo. De hecho, si el $v\; \backslash \; en\; V$ entonces el derivado no se define típicamente en ningún $x=x\_k$, $k=1,\dots ,\; n$. Sin embargo, el derivado existe en cada otro valor de $x$ y uno puede utilizar este derivado con el fin de la integración por las piezas .

Para el problema P2, necesitamos $V$ ser un sistema de funciones del $\backslash \; Omega$. En la figura a la derecha, hemos ilustrado una triangulación 15 de un $poligonal\; echado\; a\; un\; lado\; \backslash \; Omega$ de la región en el plano (abajo), y una función por trozos linear (sobre, en color) de este polígono que es linear en cada triángulo de la triangulación; el espacio $V$ consistiría en las funciones que son lineares en cada triángulo de la triangulación elegida.

Uno lee a menudo $V\_h$ en vez de $V$ en la literatura. La razón es que uno espera que como la rejilla triangular subyacente llega a ser más fina y más fina, la solución del problema discreto (3) en un cierto sentido convergerá a la solución del problema de valor de límite original P2. La triangulación entonces es puesta en un índice por un parámetro con valores reales $h>0$ cuál toma para ser muy pequeño. Este parámetro será relacionado con el tamaño del triángulo más grande o medio de la triangulación. Pues refinamos la triangulación, el espacio de las funciones por trozos lineares $V$ debe también cambiar con $h$, por lo tanto la notación $V\_h$. Puesto que no realizamos tal análisis, no utilizaremos esta notación.

Elegir una base

Para terminar la discretización, debemos seleccionar una base de $V$. En unidimensional caso, porque cada control punto $x\_k$ nosotros elegir por trozos linear función $v\_k$ en $V$ cuyo valor es $1$ en $x\_k$ y cero en cada, \; del $x\_jj\; \backslash \; neq\; k$, es decir, el $v\_\; del$

l {k} (x)= \ comienza {caso} {x-x_ {k-1} \ sobre el x_k \, - el x_ {k-1}} y \ mbox {si} x \ adentro, \ \ 0 y \, \ extremo {casos} del mbox {si no}

para $k=1,\dots ,\; n$; esta base es una función cambiada de puesto y escalada de la tienda. Para el caso de dos dimensiones, elegimos otra vez una función de base $v\_k$ por la cima $x\_k$ de la triangulación del $planar\; \backslash \; Omega$ de la región. Función $v\_k$ es único función de $V$ cuyo valor es $1$ en $x\_k$ y cero en cada, \; del $x\_jj\; \backslash \; neq\; k$.

Dependiendo del autor, el " de la palabra; element" en " method" finito del elemento; se refiere a los triángulos en el dominio, la función de base por trozos linear, o a ambos. Tan por ejemplo, un autor interesado en dominios curvados pudo substituir los triángulos por los primitivos curvados, en este caso él puede ser que describa sus elementos como siendo curvilíneo. Por una parte, algunos autores substituyen el " por trozos linear" por el " por trozos quadratic" o aún " por trozos polynomial". El autor pudo entonces decir el " un element" más alto de la orden; en vez de " un grado más alto polynomial." El método de elemento finito no se restringe a los triángulos (o al tetrahedra en simplexes tridimensionales, o más altos de la orden en espacios multidimensionales), pero se puede definir en los subdomains cuadriláteros (hexahedra, prismas, o pirámides en tridimensional, y así sucesivamente). Formas más altas de la orden (elementos curvilíneos) se pueden definir con polinomio e incluso formas no-polinómicas (e.

Los métodos que utilizan funciones de base por trozos polinómicas más altas del grado a menudo se llaman el los métodos espectrales del elemento especialmente si el grado de los polinomios aumenta mientras que el tamaño $h$ de la triangulación va a cero.

Puestas en práctica más avanzadas (métodos de elemento finito adaptantes) utilizan un método para determinar la calidad de los resultados (basados en teoría de valoración del error) y para modificar el acoplamiento durante la solución que apunta alcanzar la solución aproximada dentro de alguno limitan de “exigen” la solución del problema de la serie continua. La adaptatividad del acoplamiento puede utilizar varias técnicas, el más popular es:
nodos móviles (r-adaptatividad)
elementos refinadores (y unrefining) (h-adaptatividad)
orden de cambio de las funciones bajas (p-adaptatividad)
combinaciones del antedicho (e. caballo de fuerza-adaptatividad)

Pequeña ayuda de la base

La ventaja primaria de esta opción de la base es que los productos internos $del$

l \ v_j del langle, v_k del v_j v_k \ rangle= \ int_0^1 \, dx

y $del$

l \ v_k'\ del v_j = \ int_0^1 de la phi (v_j, v_k), dx

ser cero para casi todo el $j,\; k$. En el caso unidimensional, la ayuda de $v\_k$ es el intervalo $$. Por lo tanto, los integrandos del v_j del $\backslash \; del\; langle,\; del\; v\_k\; \backslash \; rangle$ y del $\backslash \; de\; la\; phi\; (v\_j,\; v\_k)$ son idénticamente cero siempre que $|j-k|>1$.

Semejantemente, en el caso planar, si $x\_j$ y $x\_k$ no comparten un borde de la triangulación, entonces los integrales $del$

l \ v_k del v_j del int_ {\ Omega} \, ds

y $del$

l \ int_ {\ Omega} \ v_j del nabla \ v_k del cdot \ del nabla \, ds

es ambo cero.

Forma de la matriz del problema

Si escribimos el $u\; (v\_k\; del\; u\_k\; del\; ^n\; del\; x)=\; \backslash \; del\; sum\_\; \{k=1\}\; (x)$ y $f\; (el\; v\_k\; del\; f\_k\; del\; ^n\; del\; x)=\; \backslash \; del\; sum\_\; \{k=1\}\; (x)$ entonces el problema (3) se convierte

(4) u_k del $-\; \backslash \; del\; ^n\; del\; sum\_\; \{k=1\}\; \backslash \; phi\; (v\_k,\; v\_j)\; =\; \backslash \; v\_k\; v\_j$ del f_k \ internacional del ^n del sum_ {k=1} para $j=1,\dots ,\; n$.

Si denotamos por el $\backslash \; el\; mathbf\; \{u\}$ y el $\backslash \; el\; mathbf\; \{f\}$ el $de\; los\; vectores\; de\; lacolumna(u\_1,\dots ,\; u\_n)\; ^t$ y el $(f\_1,\dots ,\; f\_n)\; ^t$, y si dejar el $L=\; (L\_\; \{ij\})$ y $M=\; (M\_\; \{ij\})$ sea las matrices cuyas entradas son = \ phi (v_i, v_j) y v_i v_j del $L\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; internacional\; del$ M\_\; \{ij\}\; entonces\; nosotros\; pueden\; reformular\; (4)\; como$$

(5) $-L\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; M\; \backslash \; mathbf\; \{f\}$.

Pues hemos discutido antes, la mayor parte de las entradas de $L$ y de $M$ son cero porque las funciones de base $v\_k$ tienen pequeña ayuda. Ahora tenemos que solucionar tan un sistema linear en el $\backslash \; el\; mathbf\; desconocidos\; \{u\}$ donde la mayor parte de están cero las entradas de la matriz $L$, que necesitamos invertir.

Tales matrices se conocen como matrices escasas, y hay disolventes eficientes para tales problemas (mucho más eficientes que realmente invirtiendo la matriz.) Además, $L$ es definido simétrico y positivo, así que una técnica tal como el método de gradiente conyugal se favorece. Para los problemas que no son demasiado grandes, las descomposiciones escasas del LU y las descomposiciones de Cholesky todavía trabajan bien. Por ejemplo, operador de la barra de s de Matlab escaso el '(que se basa en el LU) puede ser suficiente para los acoplamientos con cientos mil cimas.

La matriz $L$ se refiere generalmente como la matriz de la tiesura del, mientras que la matriz $M$ se dobla la matriz de la masa del .

Forma general del método de elemento finito

El método de elemento finito es caracterizado generalmente por el proceso siguiente.

uno elige una rejilla para el $\backslash \; Omega$. En el tratamiento precedente, la rejilla consistió en triángulos, pero uno puede también utilizar cuadrados o polígonos curvilíneos.
Entonces, uno elige funciones de base. En nuestra discusión, utilizamos funciones de base por trozos lineares, pero es también campo común para utilizar funciones de base por trozos polinómicas.

Una consideración separada es la suavidad de las funciones de base. Para la función de base por trozos polinómica elíptica de los problemas de valor de límite del segundo de la orden que es simplemente continuo ser suficiente (es decir, los derivados son discontinuos.) Para las ecuaciones diferenciales parciales de una orden más alta, una debe utilizar funciones de base más lisas. Por ejemplo, para un cuarto problema de la orden tal como $u\_\; \{xxxx\}\; +u\_\; =f$ {yyyy}, uno puede utilizar las funciones de base por trozos cuadráticos que son $C^1$.

Típicamente, uno tiene un algoritmo para tomar un acoplamiento dado y subdividirlo. Si el método principal para aumentar la precisión es subdividir el acoplamiento, uno tiene un h - método (el h es acostumbradamente el diámetro del elemento más grande del acoplamiento.) De este modo, si uno demuestra que el error con una rejilla $h$ es limitado arriba por $Ch^p$, para un cierto y $p>0$, después uno tiene un método del p de la orden. Bajo ciertas hipótesis (por ejemplo, si el dominio es convexo), por trozos un polinomio del método de la orden $d$ tendrá un error de la orden $p=d+1$.

Si en vez de hacer el h más pequeño, uno aumenta el grado de los polinomios usados en la función de base, una tiene un p - método. Si uno simultáneamente hace el h más pequeño mientras que hace el p más grande, uno tiene un caballo de fuerza - método del . El método de categoría alta (con el grande p ) se llama los métodos espectrales del elemento que no deben ser confundidos con los métodos espectrales

Para las ecuaciones diferenciales parciales del vector, las funciones de base pueden tomar valores en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^n$.

Comparación al método de diferencia finita

El método de diferencia finita (FDM) es una manera alternativa para solucionar PDEs. Las diferencias entre el mercado de cambios y FDM son:

el método de diferencia finita es una aproximación a la ecuación diferencial; el método de elemento finito es una aproximación a su solución.

la característica más atractiva del mercado de cambios es su capacidad de manejar geometrías complejas (y límites) con facilidad relativa. Mientras que FDM en su forma básica se restringe para manejar formas rectangulares y alteraciones simples de eso, la dirección de geometrías en el mercado de cambios es teóricamente directa.

la característica más atractiva de diferencias finitas es que puede ser muy fácil ejecutar.

allí es varias maneras una podría considerar el FDM un caso especial del acercamiento del mercado de cambios. Uno pudo elegir funciones de base como o funciones constantes por trozos o las funciones delta de Dirac en ambos acercamientos, las aproximaciones se definen en el dominio entero, pero no necesitan ser continuas. Alternativo, uno pudo definir la función en un dominio discreto, con el resultado que el operador diferenciado continuo no más hace sentido, no obstante este acercamiento no es mercado de cambios.

allí es razones para considerar la fundación matemática de la aproximación finita del elemento más sonido, por ejemplo, porque la calidad de la aproximación entre los puntos de rejilla es pobre en FDM.

la calidad de una aproximación del mercado de cambios es a menudo más alto que en el acercamiento correspondiente de FDM, pero éste es extremadamente problema dependiente y varios ejemplos por el contrario pueden ser proporcionados.

Generalmente, el mercado de cambios es el método de opción en todos los tipos de análisis en mecánicos estructurales (es decir solucionando para la deformación y las tensiones en cuerpos sólidos o la dinámica de estructuras) mientras que la dinámica flúida de cómputo (CFD) tiende a utilizar FDM u otros métodos (e., método finito del volumen). Los problemas del CFD requieren generalmente la discretización del problema en una gran cantidad de células/de gridpoints (millones y más), por lo tanto de coste de los favores de la solución más simples, aproximación de una orden más baja dentro de cada célula. Esto es especialmente verdad para los problemas del “flujo externo”, como flujo de aire alrededor del coche o del aeroplano, o la simulación del tiempo en una área extensa.

Hay muchos paquetes de programas informáticos finitos del elemento, un cierto libre y un cierto propietario.

Ver también

Método de elemento de límite
Método discreto del elemento
de modelado electromágnetico
Análisis de elemento finito
Máquina finita del elemento
Método de elemento finito en los mecánicos estructurales
Método de Galerkin
Métodos de Meshfree
Multiphysics
Prueba de remiendo
Método de Rayleigh-Ritz
Método espectral

.

Zenithic

Red Detachment of Women

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