En las matemáticas, el método de gradiente conyugal del es un algoritmo para la solución numérica de los sistemas particulares de las ecuaciones lineares, a saber los cuya matriz sea el simétrico y el definido positivo. El método de gradiente conyugal es un método iterativo, así que puede ser aplicado a los sistemas escasos que son demasiado grandes ser manejados por métodos directos tales como la descomposición de Cholesky. Tales sistemas se presentan regularmente al numéricamente solucionar las ecuaciones diferenciales parciales

El método de gradiente conyugal se puede también utilizar para solucionar problemas libres de la optimización .

El método de gradiente biconjugado proporciona una generalización a las matrices dismétricas. Mínimos no lineares de la búsqueda de los métodos de gradiente conyugal del vario de ecuaciones no lineares.

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Descripción del método

Suponer que queremos solucionar el sistema siguiente de hacha = de, \, del $del\; de\; las\; ecuaciones\; lineares\; de\; b$ donde el n - por el A de la matriz del n es el simétrico (es decir, A ^T = el A ), el definido positivo (es decir, hacha del del x ^T > 0 para todo el diferente a cero x de los vectores en el n del ^{del R ), y el verdadero.}

Denotamos la solución única de este sistema por el x _*.

El método de gradiente conyugal como método directo

Decimos que el diferente a cero u de dos vectores y el v son el conyugal (con respecto al A ) si u^ del $del\; \backslash \; la\; tapa$ de A v = 0. Desde el A es simétrico y definido positivo, el lado izquierdo define un $\backslash \; un\; langle\; u,\; v\; \backslash \; rangle\_A\; del\; del\; producto\; interno\; :\; =\; \backslash \; langle\; A^\; \backslash \; u\; superior,\; =\; \backslash \; langle\; A\; u,\; =\; \backslash \; langle\; u,sistema\; de\; pesos\; americano\backslash \; rangle\; =\; u^\; \backslash \; tapa\; A\; v.$ de v \ del rangle de v \ del rangle Así pues, dos vectores son conyugal si son ortogonales con respecto a este producto interno. El ser conjugación es una relación simétrica: si el u es conyugal al v, después el v es conyugal al u . (Nota: Esta noción de la conjugación del no se relaciona con la noción de la conjugación del complejo.)

Suponer que {el k del _{del p } es una secuencia de direcciones mutuamente conyugal del n . Entonces la forma del k} del <sub>del p una base n del <sup>del R, así que nosotros podemos ampliar el del del x de la solución * del hacha del = el b en esta base: = \ alpha_1 del x_* del $del\; p\_1\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; p\_n\; del\; alpha\_n.$ Coeficiente son dado por

$Ax\_*\; =\; \backslash \; alpha\_1\; A\; p\_1\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; alpha\_n\; A\; p\_n\; =\; b.$
$p\_k^\; \backslash \; superior\; Ax\_*\; =\; p\_k^\; \backslash tapa\backslash \; alpha\_1\; A\; p\_1\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\_k^\; \backslash \; tapa\; \backslash \; alpha\_k\; A\; p\_k\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\_k^\; \backslash \; tapa\; \backslash \; alpha\_n\; A\; p\_n\; =\; \backslash \; alpha\_k\; p\_k^\; \backslash \; tapa\; A\; p\_k\; =\; p\_k^\; \backslash \; superior\; b.$
$\backslash \; alpha\_k\; =\; \backslash \; frac\; \{p\_k^\; \backslash \; b\; superior\}\; \{p\_k\; del\; p\_k^\; \backslash \; de\; la\; tapa\; A\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; p\_k\; del\; langle,\; b\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; p\_k\; del\; langle,\; p\_k\; \backslash \; rangle\_A\}\; =\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; p\_k\; del\; langle,\; b\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash |p\_k\; \backslash |\_A^2\}.$ Este resultado es quizás el más transparente considerando el producto interno definido arriba.</sup></sub>

Esto da el método siguiente para solucionar el hacha del de la ecuación = el b . Primero encontramos que una secuencia de direcciones conyugal del n y entonces nosotros computa el &alpha de los coeficientes; k del _.

El método de gradiente conyugal como método iterativo

Si elegimos la conjugación vectors el k del _{del p cuidadosamente, después podemos no necesitar todos obtener una buena aproximación al x * de la solución. Así pues, queremos mirar el método de gradiente conyugal como método iterativo. Esto también permite que solucionemos sistemas donde está tan grande el n que el método directo tardaría demasiada hora. Denotamos la conjetura inicial para el x * por el x 0. Podemos asumir sin la pérdida de generalidad que el x 0 = 0 (si no, considerar el Az del sistema = &minus del b ; Hacha 0 del en lugar de otro). Observar que el x * de la solución es también el minimizer único del $cuadráticof\; (x)\; x^\; =\; \backslash \; frac12\; \backslash \; tapa\; A\; x\; del\; de\; la\; forma\; -\; b^\; \backslash ,\; superior\; \backslash \; patio\; x\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^n.$ de x Esto sugiere el tomar del primer p 1 del vector de la base para ser el gradiente del f en el x = el x 0, que iguala el - b . Los otros vectores en la base serán conyugal al gradiente, por lo tanto al método de gradiente conyugal conocido del .}

Dejar el k del _{del r ser el residual en el paso del th del k : r_k del $del\; =\; b\; -\; Ax\_k.\; \backslash ,$ Observar que el k} del _{del r es el gradiente negativo del f en el x = el k} del _{del x, así que el método de la pendiente del gradiente sería moverse en el k} del _{del r de la dirección. Aquí, insistimos que el k} del _{del p de las direcciones sea conyugal el uno al otro, así que tomamos la dirección más cercana al k} del _{del r del gradiente bajo constreñimiento del conjugacy. Esto da el p_ siguiente del $del\; de\; la\; expresión\; \{k+1\}\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{el\; r\_\; del\; p\_k^\; del\; r\_\; \{k+1\}\; \backslash \; de\; la\; tapa\; A\; \{k+1\}\}\; \{p\_k\; del\; p\_k^\; \backslash \; de\; la\; tapa\; A\}\; p\_k.$ (véase el cuadro en la tapa del artículo para el efecto del constreñimiento del conjugacy en convergencia).}

El algoritmo resultante

Después de algunas simplificaciones, esto da lugar al algoritmo siguiente para solucionar el $Ax\; =\; b$ donde está una matriz $A$ verdadera, simétrica, positivo-definida. El vector $x\_0$ de la entrada puede ser una solución o un 0 inicial aproximada.

$r\_0\; :=\; b\; -\; Un\; x\_0\; \backslash ,$
$p\_0\; de$: = r_0 \, $k\; del$
de : = 0 \, $\backslash \; alpha\_k\; del\; de\; la\; repetición\; del$
de : = \ frac {r_k^ \ r_k superior} {} \, del p_k del p_k^ \ de la tapa A $x\_\; del$
de {k+1}: = x_k + \ p_k del alpha_k \, $r\_\; del$
de {k+1}: = r_k - \ p_k del alpha_k A \, del
de si el k +1 del _{del r de es " suficientemente small" extremo del del lazo de la salida del entonces si $\backslash \; beta\_k\; del$
de : = \ frac {^ del r_ {k+1} \ r_ superior {k+1}} {r_k^ \} superior \, del r_k $p\_\; del$
de {k+1}: = r_ {k+1} + \ p_k del beta_k \, $k\; del$
de : = k + 1 \,
fin repetición
resultado es $x\_\; \{k+1\}\; \backslash ,$}

Acondicionador previo

Un acondicionador previo es un P de la matriz tales que el A del P ^-1 tiene un número más pequeño de la condición (κ) que el A y así que solucionando el hacha del del P ^-1 = el b del P ^-1 es más rápidos que solucionando el hacha del = el b (véase el método de gradiente conyugal precondicionado ).

Gradiente conyugal en las ecuaciones normales

El método de gradiente conyugal se puede aplicar a un arbitrario n - por matriz del m aplicándola al normal A del A ^T de las ecuaciones y al b del A ^T del vector del lado derecho, puesto que el A del A ^T es una matriz definida (semi-) positiva simétrica para cualquier A . El resultado es gradiente conyugal en las ecuaciones normales (CGNR). $A^\; \backslash \; tapa\; A\; x\; del$

l = A^ \ b superior

Como método iterativo, no es necesario formar el A del A ^T explícitamente en memoria pero realizar solamente el matriz-vector y transportar multiplicaciones del matriz-vector. Por lo tanto CGNR es particularmente útil cuando el A es una matriz escasa puesto que estas operaciones son generalmente extremadamente eficientes. Sin embargo la desventaja de formar las ecuaciones normales es que el κ del número de la condición ( A del A ^T) es igual al κ ( A ) ² y así que el índice de convergencia de CGNR puede ser lento. Encontrar un buen acondicionador previo es a menudo partes importantes de usar el método de CGNR.

Se han propuesto varios algoritmos (e. El algoritmo de LSQR presumiblemente tiene la mejor estabilidad numérica cuando el A es ill-conditioned, es decir, el A tiene un gran número de la condición.

Ver también

Método de gradiente biconjugado (BICG)
Método de gradiente conyugal precondicionado (PCG)
Método no linear del gradiente conyugal

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Zenithic

MEPs for Ireland 1984-1989

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