El método finito del volumen del es un método para representar y evaluar las ecuaciones diferenciales parciales como ecuaciones algebraicas. Similar al método de la diferencia finita, valores se calculan en los lugares discretos en una geometría endentada. " Volume" finito; refiere al pequeño volumen que rodea cada punto de nodo en un acoplamiento. En el método finito del volumen, los integrales del volumen en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de la divergencia se convierten a los integrales de la superficie usar el teorema de la divergencia. Estos términos entonces se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Porque el flujo que incorpora un volumen dado es idéntico a ése que sale del volumen adyacente, estos métodos son el conservador. Otra ventaja del método finito del volumen es que está formulada fácilmente para permitir acoplamientos no estructurados. El método se utiliza en muchos paquetes de cómputo de la dinámica flúida .

ejemplo 1D

Considerar un problema simple de la advección 1D definido por la ecuación diferencial parcial siguiente $del$

l \ patio (1) \ qquad \ qquad \ frac {\ parcial \ rho} {\ t parcial} + \, =0 \ patio del frac {\ f parcial} {\ x parcial} t \ ge0.

Aquí, $\backslash \; rho=\; \backslash \; rho\; \backslash \; ido\; (x,\; t\; \backslash \; derecho)\; \backslash$ representa estado variable y $f=f\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; rho\; \backslash \; se\; fue\; (x,\; t\; \backslash \; derecho)\; \backslash )\; derecho\; \backslash$ representa el flujo o el flujo del $\backslash \; de\; rho\; \backslash$. Convencionalmente, el $positivo\; f\; \backslash$ representa flujo a la derecha mientras que el $negativo\; f\; \backslash$ representa flujo a la izquierda. Si asumimos que la ecuación (1) representa un medio que fluye del área constante, podemos subdividir el dominio espacial, $x\; \backslash$, en los volúmenes finitos del o las células del con los centros de célula puestos en un índice como $i\; \backslash$. Para particular célula, $i\; \backslash$, nosotros puede definir volumen promedio valor de $\{\backslash \; rho\}\; \_i\; \backslash \; se\; fue\; (t\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; rho\; \backslash \; se\; fue\; (x,\; t\; \backslash \; derecho)\; \backslash$ en tiempo $\{t\; =\; t\_1\}\; \backslash$ y $\{x\; \backslash \; en\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; x\_\; \{i\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; x\_\; \{i+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \}\; derecho\; \backslash$, como

$\backslash \; patio\; (2)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; barra\; \{\backslash \; rho\}\; \_i\; \backslash \; ido\; (t\_1\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{i+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; x\_\; \{i\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; int\_\; \{x\_\; \{i\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; ^\; \{x\_\; \{i+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; rho\; \backslash \; se\; fue\; (x,\; t\_1\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; dx,$

y en tiempo $\{t\; =\; t\_2\}\; \backslash$ como,

$\backslash \; patio\; (3)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; barra\; \{\backslash \; rho\}\; \_i\; \backslash \; ido\; (t\_2\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{i+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; x\_\; \{i\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; int\_\; \{x\_\; \{i\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; ^\; \{x\_\; \{i+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; rho\; \backslash \; se\; fue\; (x,\; t\_2\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; dx,$

donde $x\_\; \{i\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash$ y $x\_\; \{i+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash$ representan localización de por aguas arriba y rio abajo cara o borde respectivamente de $i^\; \{célula\}\; \backslash$ del th.

La ecuación de integración (1) a tiempo, tenemos:

$\backslash \; patio\; (4)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; rho\; \backslash \; ido\; (x,\; t\_2\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; rho\; \backslash \; ido\; (x,\; t\_1\; \backslash \; derecho)\; +\; \backslash \; int\_\; \{t\_1\}\; ^\; \{t\_2\}\; f\_x\; \backslash \; ido\; (\backslash \; rho\; \backslash \; dejado\; (x,\; t\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho)\; \backslash ,\; dt.$

Para obtener volumen promedio de $\backslash \; rho\; \backslash \; ido\; (x,\; t\; \backslash \; derecho)$ en tiempo $t=t\_\; \{2\}\; \backslash$, integramos el $\backslash \; rho\; \backslash \; dejamos\; (x,\; t\_2\; \backslash \; derecho)$ sobre el volumen de la célula, v_i \ del $y\; dividimos\; el\; resultado\; por\; el\; v\_i\; \backslash$ del $,\; es\; decir.$

$\backslash patio(5)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; barra\; \{\backslash \; rho\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; ido\; (t\_\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{v\_i\}\; \backslash \; int\_\; \{\}\; \backslash \; dejado\; del\; v\_i\; \backslash \; \{\backslash \; rho\; \backslash \; ido\; (x,\; t\_\; \{1\}\; \backslash \; derecho)\; +\; \backslash \; f\_\; del\; ^\; del\; int\_\; \{t\_\; \{1\}\}\; \{t\_2\}\; \{x\}\; \backslash \; (\backslash \; rho\; \backslash \; ido\; (x,\; t\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho)\; despegue\; \backslash \; derecho\; dejados\; \backslash \}\; dv.$

Asumimos que el $f\; \backslash$ está comportado bien y que podemos invertir la orden de la integración. También, recordar que el flujo es normal al área de unidad de la célula. Ahora, puesto que en uno dimensión $f\_x\; \backslash \; triangleq\; \backslash \; nabla\; f$, nosotros puede aplicarse divergencia teorema y substituir para volumen integral de divergencia con valor de el $f\; (x)\; \backslash$ en la célula afila el $x\_\; \{i\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash$ y $el\; x\_\; \{i+\; \backslash \}\; \backslash$ del frac {1} {2} del volumen finito como sigue:

$\backslash \; patio\; (6)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; barra\; \{\backslash \; rho\}\; \_i\; \backslash \; ido\; (t\_2\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; x\_\; del\; delta\; \{i\}\}\; \backslash \; ido\; \backslash \; int\_\; \{x\_\; \{i\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; ^\; \{x\_\; \{i+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; rho\; \backslash \; se\; fue\; (x,\; t\_1\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash \; despegue\; del\; f\_\; del\; ^\; del\; int\_\; \{t\_1\}\; \{t\_2\}\; \{i\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; despegue\; del\; f\_\; del\; ^\; del\; int\_\; \{t\_1\}\; \{t\_2\}\; \{-\; \backslash \; frac\; \{1\}\; de\; i\; \{2\}\}\; \backslash \; derecho].$

donde $\backslash \; x\_i\; del\; delta\; =\; \backslash \; x\_\; del\; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{i+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; \{i+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$ y =f del $f\_\; \{i\; \backslash \; P.\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ido\; (\backslash \; rho\; \backslash \; ido\; (x\_\; \{i\; \backslash \; P.\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; t\; \backslash \; derecho)\; \backslash )$ derecho.

Podemos por lo tanto derivar un esquema numérico semi-discreto del para el problema antedicho con los centros de célula puestos en un índice como $i\; \backslash$, y con los flujos del borde de la célula puestos en un índice como $i\; \backslash \; P.\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}$, distinguiendo (6) con respecto a hora de obtener: el $del$

l \ el patio (7) \ qquad \ + \ frac {1} del qquad \ del frac {d \ el _i} de la barra {\ rho} {d t} {\ x_i del delta} \ se fueron f_ del f_ {i + \ frac {1} {2}} - {- \ frac {1} de i {2}} \] =0 derecho,

donde los valores para el borde se funden, el f_ del $\{i\; \backslash \; P.\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}$, se puede reconstruir por la interpolación o la extrapolación de los promedios de la célula. Debe ser observado que la ecuación (7) es el exacto para los promedios del volumen; es decir, no se ha hecho ningunas aproximaciones durante su derivación.

Problema hiperbólico general

Podemos también considerar un general problema hiperbólico de, representado por el siguiente PDE,

$\backslash \; patio\; (8)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \}\; \backslash \; dejado\; del\; mathbf\; f\; (\{\backslash \; mathbf\; u\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \{\backslash \; mathbf\; 0\}.$

Aquí, $\{\backslash \}\; \backslash$ del mathbf u representa un vector de estados y el $\backslash \; el\; mathbf\; f\; \backslash$ representa el vector correspondiente del flujo . Podemos subdividir otra vez el dominio espacial en volúmenes o células finitos. Para particular célula, $i\; \backslash$, nosotros toma volumen integral sobre total volumen de célula, $v\; \_\; \{\}\; \backslash$ de i, que da,

$\backslash \; patio\; (9)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; internacional\; \_\; \{\}\; \backslash ,\; del\; v\_\; \{i\}\; dv\; +\; \backslash \; internacional\; \_\; \{v\_\; \{i\}\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; f\}\; \backslash \; dejado\; (\{\backslash \; mathbf\; u\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash ,\; dv\; =\; \{\backslash \; mathbf\; 0\}.$

En la integración del primer término para conseguir el volumen del hacer un promedio de y aplicando el teorema de la divergencia del al segundo, esto rinde $del$

l \ patio (10) \ qquad \ qquad v_ {i} + \ _ del oint {S_ {i}} {\} \ dejado del mathbf f ({\ mathbf u} \ derecho) dS = {\ mathbf 0},

donde $S\_\; \{\}\; \backslash$ de i representa la superficie total de la célula. Así pues, finalmente, podemos presentar el resultado general equivalente a (7), es decir.

$\backslash \; patio\; (11)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; +\; \backslash \; \_\; del\; oint\; \{S\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; dejado\; del\; mathbf\; f\; (\{\backslash \; mathbf\; u\}\; \backslash \; derecho)\; dS\; =\; \{\backslash \; mathbf\; 0\}.$

Una vez más los valores para los flujos del borde se pueden reconstruir por la interpolación o la extrapolación de los promedios de la célula. El esquema numérico real dependerá de geometría del problema y de la construcción del acoplamiento. La reconstrucción MUSCL es de uso frecuente en los esquemas de la alta resolución donde están presentes los choques o las discontinuidades en la solución.

Los esquemas finitos del volumen son conservadores pues los promedios de la célula cambian con los flujos del borde. ¡Es decir la pérdida de la célula del uno es el aumento de otra célula!

Ver también

limitador del flujo
Teorema de Godunov
Esquema de alta resolución
Esquema MUSCL
Sergei K. Godunov
Variación total que disminuye
Método de elemento finito

.

Zenithic

American Refrigerator Transit Company

Random links:

Taja Kramberger | Apocalipsis cero | Oscilador de Clapp | Ferrocarril del parque de Northolt | IMI instituto de TAMI para Research and Development Ltd.