En las matemáticas de cómputo, un método iterativo intenta solucionar un problema (por ejemplo una ecuación o un sistema de ecuaciones) encontrando las aproximaciones sucesivas a la solución a partir de una conjetura inicial. Este acercamiento está en contraste con los métodos directos, que intentan solucionar el problema en paso a paso (como solucionar un sistema linear de hacha del de las ecuaciones = el b encontrando el inverso de la matriz A). Los métodos iterativos son útiles para los problemas que implican una gran cantidad de variables (a veces de la orden de millones), donde estarían prohibitivo costosos y en algunos casos imposibles los métodos directos incluso con el mejor poder de computación disponible.

Método de Newton

Puntos fijos atractivos

Si una ecuación se puede poner en el f ( x ) de la forma = el x, y un x de la solución es un punto fijo atractivo del f de la función, después uno puede comenzar con un x ₁ del punto en el lavabo de la atracción del x, y dejó el n del _{del x +1} = el f ( n del _{del x ) para el   del n ; ≥   1, y el   del n del de la secuencia { n del del x }; ≥   1 convergerá al x de la solución.}

Sistemas lineares

En el caso de un sistema de las ecuaciones lineares, las dos clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos inmóviles, y los métodos más generales del subespacio de Krylov.

Métodos iterativos inmóviles

Los métodos iterativos inmóviles solucionan un sistema linear con un operador que aproxima el original; y basado en una medida del error (la residual), formar una ecuación de la corrección para la cual se repita este proceso. Mientras que estos métodos son simples derivar, ejecutar, y analizar, la convergencia se garantiza solamente para una clase limitada de matrices. Los ejemplos de métodos iterativos inmóviles son el método de Jacobi y el método del Gauss-Seidel.

Métodos del subespacio de Krylov

Los métodos del subespacio de Krylov forman una base ortogonal de la secuencia de tiempos sucesivos de las energías de la matriz la residual inicial (la secuencia de Krylov del ). Las aproximaciones a la solución entonces son formadas reduciendo al mínimo la residual sobre el subespacio formado. El método prototípico en esta clase es el método de gradiente conyugal (CG). Otros métodos son el método residual mínimo generalizado (GMRES) y el método de gradiente biconjugado (BiCG).

Convergencia

Desde estos métodos formar una base, él es evidente que el método converge en iteraciones del N, donde está el tamaño el N de sistema. Sin embargo, en presencia de errores de redondeo esta declaración no se sostiene; por otra parte, en la práctica el N puede ser muy grande, y el proceso iterativo alcanza suficiente exactitud ya lejos anterior. El análisis de estos métodos es duro, dependiendo de una función complicada del espectro del operador.

Acondicionadores previos

El operador que aproxima que aparece en métodos iterativos inmóviles puede también ser incorporado en los métodos del subespacio de Krylov tal como GMRES (alternativo, los métodos precondicionados Krylov se puede considerar como aceleraciones de métodos iterativos inmóviles), donde se convierten en transformaciones del operador original condicionado probablemente mejor. La construcción de acondicionadores previos es un área de investigación grande.

Historia

El primer método iterativo para solucionar un sistema linear apareció probablemente en una letra del gauss a un estudiante el suyo. Él propuso el solucionar de un sistema 4 by-4 de ecuaciones en varias ocasiones solucionando el componente de el cual la residual era la más grande.

La teoría de métodos iterativos inmóviles fue establecida sólidamente con el trabajo D. joven que comenzaba en los años 50. El método de gradiente conyugal también fue inventado en los años 50, con progresos independientes por el Cornelio Lanczos, el Magnus Hestenes y el Eduard Stiefel, pero su naturaleza y aplicabilidad eran entendidas mal en ese entonces. Solamente en los años 70 era realizó que el conjugacy basó métodos trabaja muy bien para las ecuaciones diferenciales parciales especialmente el tipo elíptico.