El método variado está, en los mecánicos de Quantum, una forma de encontrar aproximaciones al estado de tierra del eigenstate o de la energía más baja, y algunos estados emocionados. La base para este método es el principio variado .

Introducción

Suponer que nos dan un espacio de Hilbert y un operador hermitiano sobre él llamó el el hamiltoniano H del de . No haciendo caso de complicaciones sobre los espectros continuos, miramos el espectro discreto H y el correspondiente Eigenspaces del de cada λ del valor propio (véase el teorema espectral para los operadores hermitianos para el fondo matemático):

$\backslash \; sum\_,\; \{\backslash \; lambda\_1\; \backslash \; lambda\_2\; \backslash \; en\; \backslash \}\; \backslash \; lang\; \backslash \; psi\_\; del\; mathrm\; \{espec.\}\; (h)\; \{\backslash \; lambda\_1\}|\backslash \; psi\_\; \{\backslash \; lambda\_2\}\; \backslash \; rang=\; \backslash \; delta\_\; \{\backslash \; lambda\_1\; \backslash \; lambda\_2\}$

donde está el delta el $\backslash \; el\; delta\_\; \{i,\; j\}$ de Kronecker $del$

l \ ido. \ sombrero {H}|\ psi_ \ lambda \ = derecho \ del rangle \ dejado. \ lambda|\ psi_ \ lambda \ derecho \ rangle .

Los estados físicos son normalizados, significando que su norma es igual al 1 . De nuevo no haciendo caso de las complicaciones implicadas con un espectro continuo del H del, suponer que está limitado de debajo y que su límite más bajo más grande es el E₀ . Suponer también que sabemos el estado de correspondencia |ψ>. El valor de expectativa del H del entonces está el $del$

l \ se fue \ el langle \ PSI|H|\ la PSI \ = derecho \ del rangle \ sum_, {\ lambda_1 \ lambda_2 \ en \ mathrm {espec.} (h)} \ se fueron \ el langle \ PSI|\ el psi_ {\ lambda_1} \ derecho \ el rangle \ se fueron \ langle \ psi_ {\ lambda_1}|H|\ el psi_ {\ lambda_2} \ derecho \ el rangle \ se fueron \ langle \ psi_ {\ lambda_2}|\ PSI \ derecho \ rangle



$=\; \backslash \; sum\_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; en\; \backslash \}\; \backslash \; lambda\; del\; mathrm\; \{espec.\}\; (h)\; |\backslash \; se\; fue\; \backslash \; langle\; \backslash \; el\; psi\_\; \backslash \; lambda|\backslash \; PSI\; \backslash \; derecho\; \backslash \; rangle|^2\; \backslash \; GE\; \backslash \; sum\_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; en\; \backslash \; mathrm\; \{espec.\}\; (h)\}\; E\_0\; |\backslash \; se\; fue\; \backslash \; langle\; \backslash \; el\; psi\_\; \backslash \; lambda|\backslash \; PSI\; \backslash \; derecho\; \backslash \; rangle|^2=E\_0$

Ansatz

Obviamente, si variáramos sobre todos los estados posibles con el 1 de la norma que intentaba reducir al mínimo el valor de expectativa del H del, el valor más bajo sería E₀ y el estado de correspondencia sería un eigenstate de E₀. La variación sobre el espacio de Hilbert entero es generalmente demasiado complicada para los cálculos físicos, y un subespacio del espacio de Hilbert entero es elegido, parametrized por algunos parámetros diferenciables (verdaderos) α_i ( i=1,2. La opción del subespacio se llama el Ansatz . Algunas opciones de ansatzes llevan para mejorar aproximaciones que otras, por lo tanto la opción del ansatz es importante.

Asumamos allí es un cierto traslapo entre el ansatz y el estado de tierra (si no, es un mán ansatz). Todavía deseamos normalizar el ansatz, así que tenemos los apremios el $del$

l \ se fue \ el langle \ PSI (\ el alpha_i) | \ PSI (\ alpha_i) \ derecho \ rangle = 1

y deseamos reducir al mínimo el $\backslash \; el\; varepsilon\; del$

l (\ alpha_i) = \ se fueron \ el langle \ PSI (\ el alpha_i)|H|\ PSI (\ alpha_i) \ derecho \ rangle .

Esto, no es generalmente una tarea fácil, puesto que estamos buscando un mínimo global y encontrar los ceros de los derivados parciales del ε sobre α_i no es suficiente. Si se expresa el ψ (α_i) mientras que es una combinación linear de otras funciones (α_i que es los coeficientes), como en el método de Ritz, allí solamente un mínimo y el problema es directos. Hay otro, los métodos no lineares, sin embargo, por ejemplo el método de Hartree-Fock, que también no son caracterizados por una multiplicidad de mínimos y son por lo tanto cómodos en cálculos.

Hay una complicación adicional en los cálculos descritos. Pues el ε tiende hacia E₀ en cálculos de la minimización, no hay garantía que los wavefunctions de ensayo correspondientes tenderán al wavefunction real. Esto ha sido demostrada por cálculos usar un oscilador armónico modificado como sistema modelo, en el cual un sistema exactamente soluble se acerca usar el método variado. Un wavefunction diferente el exacto se obtiene por medio del método descrito arriba.

Aunque esté limitado generalmente a los cálculos de la energía del estado de tierra, este método se pueda aplicar en ciertos casos a los cálculos de estados emocionados también. Si el wavefunction del estado de tierra es sabido, por el método de variación o por el cálculo directo, un subconjunto del espacio de Hilbert puede ser elegido que es ortogonal al wavefunction del estado de tierra.

El mínimo resultante no es generalmente tan exacto como para el estado de tierra, como ninguna diferencia entre el estado de tierra y los resultados verdaderos del $\backslash \; del\; psi\_\; \{GR\}$ en una energía emocionada más baja. Este defecto se empeora con cada estado emocionado más alto.

Ver también

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