En la álgebra del extracto, un módulo plano sobre un R del anillo es un R - M del módulo tales que tomar el producto de tensor sobre el R con el M preserva las secuencias exactas

Los espacios de vector sobre un campo son módulos planos. Los módulos libres o los módulos descriptivos son más generalmente también planos, sobre cualquier R . Sobre un anillo local Noetherian, la llanura, el projectivity, y la libertad son toda equivalentes.

En la álgebra comutativa, y más generalmente en la geometría algebraica, llanura ha venido desempeñar un papel principal desde de papel Géometrie Algébrique y Géométrie Analytique del de s de Serre el '. Las razones geométricas no son superficiales, aunque. Ver también el morphism plano .

Caja de anillos comutativos

En el caso cuando el R es un anillo comutativo, uno puede decir que llanura para un R - M del módulo es equivalente al producto de tensor con el M el ser un functor exacto de la categoría del R - los módulos a sí mismo.

Para cualquier multiplicatively cerrado S del subconjunto del R, el $S^\; del\; anillo\; de\; la\; localización\; \{-\; 1\}\; R$ es plano como R - módulo.

Cuando R es el Noetherian y M es un R-módulo finito-generado, el ser plano es igual que estando localmente libre en el sentido siguiente: M es un R-módulo plano si y solamente si para cada prima ideal (o aún apenas para cada ideal máximo ) P de R, la localización $M\_P$ es el libre como módulo sobre la localización $R\_P$.

Anillos generales

Cuando el R no es comutativo uno necesita la declaración más cuidadosa, de que (si el M es un izquierdo R - módulo) que el producto de tensor con el M traza secuencias exactas del correcto R - los módulos a las secuencias exactas de los grupos abelianos

Tomar productos de tensor (sobre los anillos arbitrarios) es siempre un functor exacto de la derecha. Por lo tanto, el R - M del módulo es plano si y solamente si para cualquier inyectivo L del → del K del homomorfismo del R - los módulos, el inducido L M del → del M del $\backslash \; otimes$ del K del homomorfismo del $\backslash \; otimes$ de es también inyectivo.

Límites categóricos

Las sumas directas generalmente arbitrario y los límites directos de módulos planos son planos, una consecuencia del hecho que el producto de tensor conmuta con sumas directas y los límites directos, y que son las sumas directas y los límites directos los submódulos exactos de los functors y los módulos del factor de módulos planos no necesitan ser planos en general. Sin embargo tenemos el resultado siguiente: la imagen homomórfica de un M del módulo plano es plana si y solamente si el núcleo es un submódulo puro M .

Lazard probó en 1969 que un M del módulo es plano si y solamente si es un límite directo de los módulos finito-generados del libremente por consiguiente, uno puede deducir que cada módulo plano finito-presentado es descriptivo.

Un grupo abeliano es plano (visto como Z-módulo) si y solamente si no tiene ningún elemento de la torsión.

Álgebra Homological

La llanura se puede también expresar usar los functors del Tor el dejado los functors derivados del producto de tensor. Un izquierdo R - el M del módulo es plano si y solamente si el R (&ndash de Tor_n^{;, M ) = 0 para todo el $n\; \backslash \; GE\; 1$ (es decir, si y solamente si R} ( X, M ) de Tor_n ^{= 0 para todo el $n\; \backslash \; GE\; 1$ y todo el correcto R - X de los módulos). Semejantemente, un correcto R - M del módulo es plano si y solamente si el R} ( M, X ) de Tor_n ^{= 0 para todo el $n\; \backslash \; GE\; 1$ y todo el izquierdo R - X de los módulos. Usar las secuencias exactas largas de los functor del Tor uno puede entonces probar fácilmente hechos sobre un l
del
de la secuencia exacta del cortocircuito Si el A y el C es plano, después está tan el B
Si el B y el C es plano, después está tan el A Si el A y el B son planos, el C no necesita ser plano en general. Sin embargo, puede ser demostrado que
Si el A es el puro en el B y el B es plano, después el A y el C son planos.}

Resoluciones planas

Una resolución plana de un módulo es una resolución al lado de los módulos planos. Cualquier resolución descriptiva es por lo tanto una resolución plana.

En matemáticas constructivas

Los módulos planos han aumentado importancia en las matemáticas constructivas, donde están menos útiles los módulos descriptivos. Por ejemplo, ese todos los módulos libres son descriptivos son equivalentes al axioma completo de la opción, tan teoremas sobre los módulos descriptivos, incluso si están probados constructivo, no se aplican necesario a los módulos libres. En cambio, no hay opción necesaria probar que los módulos libres son planos, así que los teoremas sobre los módulos planos pueden todavía aplicarse. Ver el Fred Richman, la dimensión del Flat, el constructivity, y el teorema , diario de la sicigia de Hilbert de Nueva Zelandia de las matemáticas 26 ( 1997 ), 263-273.

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