En la álgebra del extracto, el S del módulo de a (se fue o enderezan) sobre un R del anillo se llama el simple o el irreducible si no es el módulo 0 cero y si sus solamente submódulos son 0 y el S . La comprensión de los módulos simples sobre un anillo es generalmente provechosa porque estos módulos forman el " blocks" del edificio; de el resto de los módulos en cierto sentido.

Ejemplos

Los grupos abelianos son iguales que el ''' - módulos del ''' Z. El simple Z - los módulos son exacto los grupos cíclicos de la orden de la prima .

Si el K es un campo y el G es un grupo, después una representación de grupo del G es un dejado el módulo sobre el kilogramo del anillo de grupo . Los módulos simples del kilogramo del también se conocen como representaciones irreducibles del . Una puntería importante de la teoría de la representación es enumerar esas representaciones irreducibles para un grupo dado.

Dado un R del anillo y un el izquierdo I del ideal en el I del R entonces es un simple R - módulo si y solamente si es el I un ideal izquierdo mínimo en el R (no contiene ninguna otra ideales izquierda no trivial). El módulo $R/I$ del factor es un simple R - del módulo si y solamente si es el I de un ideal izquierdo máximo en el R (no se contiene en ninguna otra ideales izquierda no trivial).

Características

Los módulos simples son exacto los módulos de la longitud 1; ésta es una reformulación de la definición.

Cada módulo simple es el indescomponible, pero el inverso está en el general no verdad.

Cada módulo simple es el cíclico, de que es él es generado por un elemento

No cada módulo tiene un submódulo simple; considerar por ejemplo el Z - Z del módulo a la luz del primer ejemplo arriba.

Si el S es un módulo y un simples f : &rarr del S ; El T es un homomorfismo del módulo, después el f es el homomorfismo cero o el inyectivo. Esto es porque el núcleo f es un submódulo del S y está así, por la definición de un módulo simple, 0 o el S . Si el T es también un módulo simple, después el f es cero o un isomorfismo . Esto es porque la imagen f es un submódulo del T y es así 0 o el T . Tomada junto, esto implica que el anillo de Endomorphism de cualquier módulo simple es un anillo de división . Este resultado se conoce como lema de Schur del .

El inverso del lema de Schur no es verdad en general. Por ejemplo, el Z - el ''' del ''' Q del módulo no es simple, pero su anillo del endomorphism es isomorfo al Q del campo.

Ver también

Los módulos de Semisimple son los módulos que se pueden escribir como suma de submódulos simples
Los grupos simples se definen semejantemente a los módulos simples

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