En las matemáticas, el múltiple de Whitehead del es un abierto 3 multíple que es Contractible, pero no el homeomórfico al R 3. El Henry Whitehead descubrió este objeto de desconcierto mientras que él intentaba probar la conjetura de Poincaré.
Un múltiple contractible es uno que se puede encoger continuamente a un punto dentro del múltiple sí mismo. Por ejemplo, una bola abierta es un múltiple contractible. Todos los múltiples homeomórficos a la bola son contractible, también. Uno puede preguntar si el todos los múltiples contractible de es homeomórfico a una bola. Para las dimensiones 1 y 2, la respuesta es clásica y es " yes". En la dimensión 2, sigue, por ejemplo, Riemann que traza el teorema . La dimensión 3 presenta el primer contraejemplo : el múltiple de Whitehead.
Construcción
Tomar una copia del S 3, la esfera tridimensional . Ahora encontrar un sólido unknotted compacto T 1 del toro dentro de la esfera. (El toro sólido de A es un buñuelo tridimensional ordinario, es decir a llenar-en el toro, que es topológico los tiempos de un del círculo al disco .) El complemento del toro sólido dentro del S 3 es otro toro sólido.Ahora tomar un segundo sólido T 2 del toro dentro del T 1 de modo que el T 2 y una vecindad tubular de la curva meridiana del T 1 sea un acoplamiento espesado de Whitehead.
Observar que el T 2 es el Nulo-homotópico en el complemento del meridiano del T 1. Esto puede ser vista considerando el S 3 como &cup del R 3; ∞ y la curva meridiana como el z - &cup del eje; ∞. El T 2 tiene número cero de la bobina alrededor del z - eje. Así el nulo-homotopy necesario sigue. Puesto que el acoplamiento de Whitehead es simétrico, es decir un homeomorfismo de los 3 componentes de los interruptores de la esfera, es también verdad que el meridiano del T 1 es también nulo-homotópico en el complemento del T 2.
Ahora encajar el T 3 dentro del T 2 de la misma forma que el T 2 miente dentro del T 1, y así sucesivamente; al infinito. Definir el W, la serie continua de Whitehead del, para ser &infin del T ; , o más exacto la intersección de todo el k del del T para el k = 1. El múltiple de Whitehead se define como X = el S 3 \ el W que es un múltiple no compacto sin límite. Sigue de nuestra observación anterior, del teorema de Hurewicz, y del teorema de Whitehead en equivalencia homotopy, que el X es contractible. De hecho, un análisis más cercano que implica un resultado Morton Brown demuestra que los × del X ; &cong del R ; R 4; sin embargo el X no es homeomórfico al R 3. La razón es que no es conectado simplemente en el infinito . El un compactification del punto del X es el W del S 3/del espacio (con el W cruched a un punto). Al menos ( W del R 3/) × El R es homeomórfico al R 4. Espacios relacionados
Más ejemplos de 3 múltiples abiertos, contractible pueden ser construidos procediendo en la manera similar y escogiendo diversos embeddings del i +1 del del T en el i del del T en el proceso iterativo. Cada uno que encaja debe ser un toro sólido unknotted en la esfera 3. Las características esenciales son que el meridiano del i del del T debe ser el Nulo-homotópico en el complemento del i +1 del del T, y además la longitud del i +1 del del T no debe ser nulo-homotópica en &minus del i del del T ; i +1 del del T . Otra variación es escoger vario subtori en cada etapa en vez de apenas una. Los conos sobre algunas de estas series continuas aparecen como los complementos de El Casson dirige en una bola 4.
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