En las matemáticas, un mapa linear (también llamado un la transformación linear o el el operador linear ) es una función entre dos espacios de vector que preserva las operaciones de la adición de vector y de la multiplicación escalar . El " del término; transformation" linear; es particularmente de uso común, especialmente para los mapas lineares de un espacio de vector a sí mismo ( Endomorphisms ).

En la lengua de la álgebra del extracto, un mapa linear es un homomorfismo de los espacios de vector, o un Morphism en la categoría de espacios de vector sobre un campo dado .

Definición y primeras consecuencias

Dejar el V y el W ser espacios de vector sobre el mismo colocar el K de . Un f de la función: &rarr del V ; El W reputa un mapa linear del si para cualquier x de dos vectores y el y en el V y cualquier escalar un en el K, las dos condiciones siguientes es satisfied:

Ejemplos

el mapa de la identidad y el mapa cero es linear.

para los números verdaderos, el $x\; delmapa\backslash \; el\; mapsto\; x^2$ no es linear.

para los números verdaderos, el $x\; del\; mapa\; \backslash \; el\; mapsto\; x+1$ no es linear.

si el A es × del m un ; la matriz, entonces A n define un mapa linear del n del ^{del R a el m} del ^{del R enviando el &isin del x del vector de la columna; n} del ^{del R al &isin del hacha vector de la columna; m} del ^{del R . Inversamente, cualquier mapa linear entre los espacios de vector Finito-dimensionales se puede representar de este modo; ver la sección siguiente.}

el integral rinde un mapa linear del espacio de todas las funciones integrables con valores reales en un cierto intervalo a el R
la diferenciación es un mapa linear del espacio de todas las funciones diferenciables al espacio de todas las funciones.

si el V y el W son espacios de vector finito-dimensionales sobre un F del campo, después las funciones que envían el linear f de los mapas: &rarr del V ; El W al F ( W ) del dim _{- las matrices de la manera descrita en la consecuencia es ellos mismos del F} ( V ) del by-dim _{mapas lineares.}

Matrices

Si el V y el W es el Finito-dimensional, y uno ha elegido las bases en esos espacios, después cada mapa linear del V al W se puede representar como matriz ; esto es útil porque permite cálculos concretos. Inversamente, las matrices rinden ejemplos de mapas lineares: si el A es un verdadero m - por la matriz del n, entonces la regla el f ( x ) = el hacha del describe un &rarr linear del n del ^{del R del mapa; m} del ^{del R (véase el espacio euclidiano ).}

Dejar el $\backslash \; \{v\_1,\; \backslash \; los\; cdots,\; v\_n\; \backslash \}$ sea una base para el V . Entonces cada v del vector en el V es determinado únicamente por los coeficientes $c\_1,\; \backslash \; cdots,\; c\_n$ en el
$c\_1\; v\_1+\; \backslash \; cdots+c\_n\; v\_n.$ del
Si f : &rarr del V ; El W es un mapa linear, + \ cdots+c_n f (v_n), del $f\; del\; (v\_n\; de\; c\_1\; v\_1+\; \backslash \; de\; cdots+c\_n)\; =c\_1\; f\; (v\_1)\; cuál\; implica\; que\; la\; función\; f\; es\; determinada\; enteramente\; por\; los\; valores\; del$ f\; (v\_1),\; \backslash \; los\; cdots,\; f\; (v\_n).$$

Ahora dejar el $\backslash \; \{w\_1,\; \backslash \; puntea,\; w\_m\; \backslash \}$ sea una base para el W . Entonces podemos representar los valores de cada $f\; (v\_j)$ como =a_ del $f\; del\; (v\_j)\; \{1j\}\; w\_1\; +\; \backslash \; los\; cdots\; +\; el\; a\_\; \{mj\}\; w\_m.$ Así, el f de la función es determinado enteramente por los valores del $a\_\; \{i,\; j\}.$

Si ponemos estos valores en un m - por el M, después nosotros de la matriz del n puede utilizarlo convenientemente para computar el valor del f para cualquier vector en el V . Para si ponemos los valores de $c\_1,\; \backslash \; de\; los\; cdots,\; c\_n$ en un C de la matriz n-by-1, tenemos bujía métrica = f ( v ).

Un solo mapa linear se puede representar por muchas matrices. Esto es porque los valores de los elementos de la matriz dependen de las bases se eligen que.

Ejemplos de las matrices lineares de la transformación

Algunos casos especiales de transformaciones lineares dos del dimensional R ² del espacio son illuminating:
rotación por 90 grados a la izquierda:
: el $A=\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; 0\; y\; -1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; 0\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$
reflexión contra el eje del x :
: el $A=\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; 1\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; -1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$
escalamiento por 2 en todas las direcciones:
: el $A=\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; 2\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 2\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$
esquileo vertical que traza :
: el $A=\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$ de 1 y de m
que exprime :
: el $A=\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; k\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1/k\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$
proyección sobre el eje del y :
: el $A=\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

Formación de nuevos mapas lineares dados

La composición de mapas lineares es linear: si f : &rarr del V ; W y g : &rarr del W ; El Z es linear, después es tan el f de g o del : &rarr del V ; Z .

El inverso de un mapa linear, cuando está definido, es otra vez un mapa linear.

Si f ₁: &rarr del V ; W y f ₂: &rarr del V ; El W es linear, después es tan su f de la suma ₁ + el f ₂ (por el cual es definido (el f ₁ + el f ₂) ( x ) = el f ₁ ( x ) + el f ₂ ( x )).

Si f : &rarr del V ; El W es linear y el un es un elemento del de tierra K del campo, después del af del mapa, definido por (el af ) ( x ) = un ( f ( x )), es también linear.

Así el L ( V, W ) del sistema de mapas lineares del V al W sí mismo forma un espacio de vector sobre el K, Hom a veces denotado ( V, W ). Además, en caso de que V = W, este espacio de vector (extremo denotado ( V )) está una álgebra asociativa bajo composición de los mapas, puesto que la composición de dos mapas lineares es otra vez un mapa linear, y la composición de mapas es siempre asociativa. Este caso se discute más detalladamente abajo.

Dado otra vez la caja finito-dimensional, si se han elegido las bases, después la composición de mapas lineares corresponde a la multiplicación de la matriz, la adición de mapas lineares corresponde a la adición de la matriz, y la multiplicación de mapas lineares con escalares corresponde a la multiplicación de matrices con escalares.

Endomorphisms y automorfismos

Un linear f de la transformación: &rarr del V ; El V es un Endomorphism del V ; el sistema de todos tales endomorphisms termina (el V ) junto con la adición, la composición y la multiplicación escalar según lo definido sobre formas una álgebra asociativa con el elemento de identidad sobre el K del campo (y particularmente un anillo ). El elemento de identidad multiplicativo de esta álgebra es la identificación del mapa de la identidad: &rarr del V ; V .

Un endomorphism del V que es también un isomorfismo se llama un automorfismo V . La composición de dos automorfismos es otra vez un automorfismo, y el sistema de todos los automorfismos del V forma un grupo, el grupo del automorfismo V que sea denotado por Aut ( V ) o GL ( V ). Puesto que los automorfismos son exacto esos endomorphisms que poseen lo contrario bajo composición, Aut ( V ) es el grupo de las unidades en el extremo del anillo ( V ).

Si el V tiene finito n de la dimensión, después el extremo ( V ) es el isomorfo a la álgebra asociativa de todo el n al lado de las matrices del n con las entradas en el K . El grupo del automorfismo del V es el isomorfo al grupo linear general GL ( n, K ) de todo el n al lado de las matrices inversibles del n con las entradas en el K .

Núcleo, imagen y el teorema de la alinear-nulidad

Si f : &rarr del V ; El W es linear, nosotros define el núcleo del y la imagen del o la gama del del f por el $\backslash \; el\; operatorname\; \{\backslash \; ker\}\; (f)=\; \backslash \; \{\backslash ,\; del\; x\; \backslash \; en\; V:$ del$$
de f (x)=0 \, \} \ operatorname {im} (f)= \ {\, w \ en W: w=f (x), x \ en V \, \} el ker ( f ) es un subespacio V e im (el f ) es un subespacio del W . La fórmula siguiente de la dimensión, conocida como el teorema de la Alinear-nulidad, es a menudo útil:

$\backslash \; amortiguar\; (\backslash \; el\; ker\; (f))\; +\; \backslash \; amortiguar\; (\backslash \; operatorname\; \{im\}\; (f))$

\ amortiguar (V) \,

El número dévil (im ( f )) también se llama la fila del de f y se escribe como rk ( f ), o a veces, ρ ( f ); el número dévil (ker ( f )) se llama la nulidad del de f y se escribe como ν ( f ). Si el V y el W son dimensionales finito, se han elegido las bases y el f es representado por el A de la matriz, después la fila y la nulidad del f son iguales a la fila y a la nulidad A de la matriz, respectivamente.

Clasificaciones algebraicas de transformaciones lineares

Ninguna clasificación de mapas lineares podía esperar ser exhaustiva. La lista incompleta siguiente enumera algunas clasificaciones importantes que no requieran ninguna estructura adicional en el espacio de vector.

Dejar el V y el W denotar espacios de vector sobre un campo, F . Dejar el T : &rarr del V ; El W sea un mapa linear.
El T reputa el inyectivo del o un monomorfismo eventualmente de las condiciones equivalentes siguientes es verdad: El T es el uno por pues un mapa fija .
T del ker = 0
El T es el Monic o izquierdo-cancelable, que es decir, para cualquier U del espacio de vector y cualesquiera pares del linear R de los mapas: &rarr del U ; V y S : &rarr del U ; El V, el TR de la ecuación = los TS del implica el R = el S .
El T es el izquierdo-inversible, que es decir que existe un linear S del mapa: &rarr del W ; V tales que el ST del es el mapa de la identidad en el V .
el T del

reputa el Surjective del o un Epimorphism del eventualmente de las condiciones equivalentes siguientes es verdad: El T es sobre pues un mapa fija .
T del coker = 0
El T es el o derecho-cancelable épico, que es decir, para cualquier U del espacio de vector y cualesquiera pares del linear R de los mapas: &rarr del W ; U y S : &rarr del W ; El U, el RT de la ecuación = ST del implica el R = el S .
El T es el derecho-inversible, que es decir que existe un linear S del mapa: &rarr del W ; V tales que los TS del son el mapa de la identidad en el V .
el T del

reputa un isomorfismo si es dejado y derecho-inversible. Esto es equivalente al T que es uno por y sobre (un Bijection de sistemas) o también al T que es épico y monic, y tan siendo un Bimorphism .

si T : &rarr del V ; El V es un endomorphism, entonces: Si, para un cierto positivo n, el n del número entero - el th itera del T, n del ^{del T, es idénticamente cero, después el T reputa el Nilpotent.
Si el T del T = el T, entonces T reputa el idempotente
Si el T = el I del k, donde está algún escalar el k, después el T reputa una transformación del escalamiento o un mapa escalar de la multiplicación.}

Continuidad

considera también:

linear discontinuo del mapa

Un operador linear del entre los espacios de Normed topológicos de los espacios de vector por ejemplo puede también ser el continuo y por lo tanto ser operador linear continuo . En un espacio normed, un operador linear es continuo si y solamente si es limitado, por ejemplo, cuando el dominio es finito-dimensional. Si el dominio es infinito-dimensional, después puede haber los operadores lineares discontinuos al ejemplo de un ilimitado, por lo tanto la transformación no continua, linear es diferenciación en el espacio de las funciones lisas equipadas de la norma del supremum (una función con pequeños valores puede tener un derivado con valores grandes).

Usos

Un uso específico de mapas lineares está en el campo de la neurología de cómputo. Un ejemplo de un sistema que es modelado es la inervación de V1 (corteza visual primaria) al lado de la retina. Esta transformación se llama la transformación de Logmap . Esta clase de transformación se conoce como transformación del coordenada del dominio y proporciona un modelo matemático de cómo los estados de los nervios se pueden conferir dentro del sistema (CNS y PNS), cuando un cambio del estado se requiere, por ejemplo de la retina a V1 según lo mencionado previamente.

Otro uso específico está para las transformaciones geométricas, tales como ésos realizadas en los gráficos de computadora, donde la traducción, la rotación y el escalamiento del 2.o o de los objetos 3D es realizada por el uso de una matriz de la transformación.

Otro uso de estas transformaciones consiste en las optimizaciones de recopilador del código del jerarquizar-lazo, y en hacer parelelismo técnicas del recopilador.

Ver también

Ecuación linear
Mapa de Antilinear
Matriz de la transformación
Operador linear continuo
Wikibooks: Álgebra/transformaciones lineares
Red de los nervios
Gráficos de computadora

.

Zenithic

Ousse-Suzan

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