Un marco giratorio del de la referencia es un caso especial de un bastidor de referencia No-de inercia en el cual el sistema coordinado esté girando concerniente a un marco de referencia de inercia . Un ejemplo diario de un bastidor de referencia giratorio es la superficie de la tierra .

Fuerzas ficticias

Todos los marcos de referencia giratorios ficticios de las fuerzas de referencia de los marcos No-de inercia del objeto expuesto son caracterizados por tres fuerzas ficticias

la fuerza centrífuga
la fuerza de Coriolis y, para los marcos de referencia non-uniformly giratorios,
la fuerza de Euler.

Los científicos que viven en una caja giratoria pueden medir la velocidad y la dirección de su rotación midiendo estas fuerzas ficticias por ejemplo, Léon Foucault podía demostrar a la fuerza de Coriolis esa resultados de la rotación de la tierra usar el péndulo de Foucault . Si la tierra era girar un mil veces más más rápido (haciendo cada día solamente ~86 segundos largos), estas fuerzas ficticias se podrían sentir fácilmente por los seres humanos, como están en un carrusel de giro .

Relación entre las posiciones en los dos marcos

Para derivar estas fuerzas ficticias, es provechoso poder convertir entre el $de\; los\; coordenadas\; \backslash \; dejó\; (x^\; \{\backslash \; prima\},\; y^\; \{\backslash \; prima\},\; z^\; \{\backslash \; prima\}\; \backslash \; derecho)$ del bastidor de referencia giratorio y el $de\; los\; coordenadas\; \backslash \; dejó\; (x,\; y,\; z\; \backslash \; derecho)$ de un bastidor de referencia de inercia con el mismo origen. Si la rotación está sobre el eje de $z$ con un $\backslash \; omega$ de la velocidad angular y los dos marcos de referencia coinciden en el tiempo $t=0$, la transformación de coordenadas giratorios a los coordenadas de inercia puede ser escrita \ \ lechuga romana \ Omega del $x\; =\; del\; x^\; del$

l {\ prima} \ \ pecado de t + del y^ {\ prima} \
de Omega t $y\; =\; \backslash \; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; Omega\; t\; del\; y^\; \{\backslash \; prima\}\; -\; \backslash \; \backslash \; pecado\; \backslash \; Omega\; t$ del x^ {\ prima}

considerando que es la transformación reversa el $x^\; del$

l {\ prima} = \ \ lechuga romana de x \ se fue (- \ Omega t \ derecho) - \ \ pecado de y \ dejó (- \ Omega t \ derecho) el $y^\; del$
de {\ prima} = \ \ lechuga romana de y \ se fue (- \ Omega t \ derecho) + \ \ pecado de x \ dejó (- \ Omega t \ derecho)

Este resultado se puede obtener de una matriz de la rotación.

Derivados generalizados en un marco de referencia giratorio

Si tenemos el $i\; de\; los\; vectores\; de\; unidad,\; j,\; k$ que representa vectores dimensionales de la base del estándar 3, podemos dejarlos girar porque seguirán siendo normalizados. Si los dejamos girar a la velocidad del $\backslash \; de\; Omega$ entonces cada vector de unidad sigue la ecuación siguiente: = \ Omega \ épocas l, del $\backslash \; del\; frac\; del\; \{DL\}\; \{despegue\}\; donde\; l=\; del$ \backslash \; \{i,\; j,\; k\; \backslash \}$.\; Entonces\; si\; tenemos\; una\; función,$ f\; (t)=f\_x\; (t)\; i+f\_y\; (t)\; j+f\_z\; (t)\; k$ynosotrosqueremos\; examinar\; su\; primer\; dervative\; nosotros\; tenemos:\; =\; \backslash \; frac\; \{df\_x\}\; \{despegue\}\; i+\; \backslash \; frac\; \{di\}\; \{despegue\}\; f\_x+\; \backslash \; frac\; \{df\_y\}\; \{despegue\}\; j+\; \backslash \; frac\; \{DJ\}\; \{despegue\}\; f\_y+\; \backslash \; frac\; \{df\_z\}\; \{despegue\}\; =\; \backslash \; frac\; \{df\_x\}\; \{despegue\}\; i+\; \backslash \; frac\; \{df\_y\}\; \{despegue\}\; j+\; \backslash \; frac\; \{df\_z\}\; \{despegue\}\; k+\; \backslash \; épocas\; (f\_x\; i\; del$ \backslash \; del\; frac\; del$$
de k+ del $\backslash \; del\; frac\; del\; \{df\}\; \{despegue\}\; \backslash \; del\; frac\; \{DK\}\; \{despegue\}\; f\_z$ {df} {despegue} + $del$
de j+f_z k) \ frac f_y {df}{despegue} = \ + \ Omega \ épocas f (t) del frac {\ delta f} {\ delta t} Donde está el índice el $\backslash \; el\; frac\; \{\backslash \; delta\}\; \{\backslash \; delta\; t\}$ de cambio con respecto al sistema coordinado giratorio. Es decir si $f\; (t)$ está girando a la misma velocidad que la base vectors ($\backslash \; omega$) entonces el $\backslash \; el\; frac\; \{\backslash \; delta\; f\}\; \{\backslash \; delta\; t\}\; =0$.

Relación entre las velocidades en los dos marcos

Una velocidad de un objeto es el tiempo-derivado de la posición del objeto, o

$\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; de\; v\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{despegue\}\; del\; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}$

El derivado del tiempo de la posición en un marco de referencia giratorio tiene dos componentes, uno del derivado del tiempo en el marco de referencia de inercia y otro de su propia rotación. Éstos son relacionados por la ecuación

$\backslash \; (\backslash \; frac\; \{d\}\; \{despegue\}\; \backslash \; derecho)\; \_\; dejado\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}\; =\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{d\}\; \{despegue\}\; \backslash \; derecho)\; \_\; dejado\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}\; +\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas$

donde el $del\; vector\; \backslash \; el\; boldsymbol\; \backslash \; omega$ señala a lo largo del eje de rotación con la magnitud de la velocidad angular . Por lo tanto, las velocidades en los dos marcos de referencia son relacionadas por la ecuación

$\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{\backslash \}\; \{de\; inercia\}\; \backslash \; \backslash \; del\; mathrm\; \_\; \backslash \; \backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{despegue\}\; \backslash \; derecho)\; del\; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}\; =\; \backslash \; \_\; dejado\; (\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{despegue\}\; \backslash \; correcto)\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}\; +\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; +\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; del\; \_\; del\; mathbf\; \{v\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}$

Prueba de la fórmula

Consideremos un del vector un _inertial en el marco de la referencia de inercia, de la llamada un _rotating el mismo vector en el marco de la referencia giratorio. Ahora, el P _t es la posición señalada por el del vector un en el t del tiempo en el marco de la referencia de inercia, el Q es un punto que tiene la misma posición de salida que el P ₀ ( Q ₀ = el P ₀) y gira según el marco de inercia como si apareciera fijo en el marco giratorio.

Después de mismo breve periodo de tiempo δ t, nosotros tienen que vector Q ₀ Q _{δ t} es

$\backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; época\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{\backslash \}\; \{de\; inercia\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; delta\; t$ del mathrm en vista de algún simple vector operación nosotros tiene

$\backslash \; overline\; \{P\_0\; P\_\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}\; =\; \backslash \; overline\; \{P\_0\; Q\_\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; +\; \backslash \; overline\; \{Q\_\; \{\backslash \; delta\; t\}\; P\_\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; =\; \backslash \; overline\; \{Q\_0\; Q\_\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; +\; \backslash \; overline\; \{Q\_\; \{\backslash \; delta\; t\}\; P\_\; \{\backslash \; delta\; t\}\}\; =\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; época\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{\backslash \}\; \{de\; inercia\}\; \backslash \; del\; cdot\; del\; mathrm\; \backslash \; del\; delta\; t\; +\; \backslash \_\; del\; mathbf\; \{a\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}$ distinción con respecto a tiempo conseguimos = \ boldsymbol \ Omega \ épocas \ _ del _ del $\backslash \; del\; mathbf\; del\; \{\backslash \; punto\; a\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}\; del\; mathbf\; \{a\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}\; +\; \backslash \; el\; \_\; del\; mathbf\; \{\backslash \; punto\; a\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}$ y observar ese $del\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; \backslash \; =\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; \backslash \; \_\; del\; mathbf\; \{a\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}$ del _ del mathbf {a} {\ mathrm {rotación}} EL VERIFICA POR FAVOR ESTA ÚLTIMA DECLARACIÓN

Relación entre las aceleraciones en los dos marcos

La aceleración es la segunda vez derivado de la posición, o la primera vez derivado de la velocidad

$\backslash \; \backslash \; \backslash \; stackrel\; del\; \_\; del\; mathbf\; \{a\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; \backslash \; \_\; dejado\; (\backslash \; frac\; \{d^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{dt^\; \{2\}\}\; \backslash \; correcto)\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}\; =\; \backslash \; \_\; dejado\; (\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \{despegue\}\; \backslash \; correcto)\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}\; =\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{d\}\; \{despegue\}\; \backslash \; derecho)\; \_\; dejado\; \backslash \; dejado\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}\; +\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; \backslash \; derecho]\; \backslash \; ido\; \backslash \; \_\; dejado\; (\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{despegue\}\; \backslash \; correcto)\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}\; +\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; derecho]$

La realización de las diferenciaciones y el cambio de algunos términos rinde la aceleración en el que gira el marco de referencia de

$\backslash \; \_\; del\; mathbf\; \{a\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}\; =\; \backslash \; \_\; del\; mathbf\; \{a\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}\; -\; 2\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; \backslash \; \_\; del\; mathbf\; \{v\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}\; -\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; (\backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; \backslash \; mathbf\; \{r\})\; -\; \backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\}\; \{despegue\}\; \backslash \; épocas\; \backslash \; mathbf\; \{r\}$

donde $\backslash \; el\; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{\backslash \}\; \backslash \; \backslash \; del\; mathrm\; \{rotación\}\; está\; la\; aceleración\; el\; \_\; \backslash \; \backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{d^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{dt^\; \{2\}\}\; \backslash \; derecho)\; del\; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}$ evidente en el marco de referencia giratorio.

Los tres términos adicionales en el lado derecho dan lugar a las fuerzas ficticias en el marco de referencia giratorio, es decir, las aceleraciones que resultan de estar en un marco de referencia No-de inercia, algo que de cualquier fuerza física. Usar la ley de segundo de Newton del movimiento $F=ma$, obtenemos

la fuerza de Coriolis

$\backslash \; \_\; del\; mathbf\; \{F\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{Coriolis\}\}\; =\; -2m\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; \backslash \; \_\; del\; mathbf\; \{v\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{rotación\}\}$

la fuerza centrífuga

$\backslash \; \_\; del\; mathbf\; \{F\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{centrífugo\}\}\; =\; -\; m\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; (\backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\; \backslash \; épocas\; \backslash \; mathbf\; \{r\})$

y la fuerza de Euler

$\backslash \; \_\; del\; mathbf\; \{F\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{Euler\}\}\; =\; -\; m\; \backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; Omega\}\; \{despegue\}\; \backslash \; épocas\; \backslash \; mathbf\; \{r\}$

donde está la masa $m$ del objeto que es actuado sobre por estas fuerzas ficticias

Para lo completo, el _ de inercia del $\backslash \; del\; mathbf\; de\; la\; aceleración\; \{a\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}$ puede ser resuelto del _ total del $\backslash \; del\; mathbf\; de\; la\; fuerza\; física\; \{F\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{bebé\}\}$ (es decir, la fuerza total de interacciones físicas tales como electromagnetismo ) además usar de Newton la ley en segundo lugar

$\backslash \; \_\; del\; mathbf\; \{F\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{bebé\}\}\; =\; \_\; de\; m\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{de\; inercia\}\}$

.

Zenithic

Maksymilian Gierymski

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