La margen de error es una estadística que expresa la cantidad del error de muestreo al azar en resultados de s del examen un los '. Cuanto más grande es la margen de error, menos la confianza una debe tener que la encuesta divulgada resultados está cercana al " true" figuras; es decir, las figuras para la población entera .

Explicación

La margen de error se define generalmente como el radio de un intervalo de confianza para una estadística particular de un examen. Un ejemplo es el por ciento de la gente que prefiere el producto A contra el producto B. Cuando una margen de error sola, global se divulga para un examen, refiere a la margen de error máxima para todos los porcentajes divulgados usar la muestra llena del examen. Si la estadística es un porcentaje, esta margen de error máxima se puede calcular como el radio del intervalo de confianza para un porcentaje divulgado de el 50%.

La margen de error se ha descrito como " absolute" cantidad, igual a un radio del intervalo de confianza para la estadística. Por ejemplo, si el valor verdadero es 50 puntos de porcentaje, y la estadística tiene un radio del intervalo de confianza de 5 puntos de porcentaje, después decimos que la margen de error es 5 puntos de porcentaje. Como otro ejemplo, si el valor verdadero es 50 personas, y la estadística tiene un radio del intervalo de confianza de 5 personas, después puede ser que digamos que la margen de error es 5 personas.

En algunos casos, la margen de error no se expresa como " absolute" cantidad; se expresa algo como " relative" cantidad. Por ejemplo, suponer que el valor verdadero es 50 personas, y la estadística tiene un radio del intervalo de confianza de 5 personas. Si utilizamos el " absolute" la definición, la margen de error sería 5 personas. Si utilizamos el " relative" definición, entonces expresamos esta margen de error absoluta como por ciento del valor verdadero. Tan en este caso, la margen de error absoluta es 5 personas, pero el " el por ciento de relative" la margen de error es el 10% (porque 5 personas son el diez por ciento de 50 personas). A menudo, sin embargo, la distinción no se hace explícitamente, con todo es generalmente evidente de contexto.

Como intervalos de confianza, la margen de error se puede definir para cualquier nivel de confianza deseado, pero generalmente un nivel de el 90%, el 95% o el 99% se elige (el típicamente 95%). Este nivel es la probabilidad que una margen de error alrededor del porcentaje divulgado incluiría el " true" porcentaje. Junto con el nivel de confianza, el diseño de muestra para un examen, y particularmente su tamaño de muestra, determina la magnitud de la margen de error. Un tamaño de muestra más grande produce una margen de error más pequeña, todo el igual restante otro.

Si se utilizan los intervalos de confianza exactos, después la margen de error considera error de muestreo y error ajeno al muestreo. Si se utiliza un intervalo de confianza aproximado (por ejemplo, si se asume que la distribución es normal y después de modelado del intervalo de confianza por consiguiente), después la margen de error puede tomar en cuenta solamente el error de muestreo al azar . No representa otras fuentes de error potenciales o el diagonal tal como un non-representative muestra-diseña, las preguntas mal expresadas, gente que miente o que rechaza responder, la exclusión de la gente que no podría ser entrada en contacto con, o miscounts y los cálculos erróneos.

Concepto

Ejemplo corriente

Un ejemplo corriente de la campaña presidencial de los E. 2004 será utilizado para ilustrar conceptos a través de este artículo. Según el el 2 de octubre, encuesta sobre el 2004 por el Newsweek, el 47% del de votantes registrados votaría por el John Kerry / John Edwards si la elección fuera celebrada en ese día, el 45% votaría por el George W. Bush / Dick Cheney, y el 2% votarían por el Rafael Nader / Peter Camejo . El tamaño de la muestra era 1. A menos que esté indicado de otra manera, el resto de este artículo utilice un nivel del 95% de confianza.

Concepto básico

Las encuestas implican típicamente el recoger de una muestra de cierta población. En el caso de la encuesta de Newsweek del, la población de interés es la población de gente que vote. Porque es impráctico votar a cada uno que vote, los encuestadores recogen muestras más pequeñas que se piensen para ser representativas; es decir, una muestra escogida al azar de la población. Es posible que los encuestadores muestrean a 1.013 votantes que suceden votar por Bush cuando de hecho la población está partida uniformemente entre Bush y Kerry, pero esto es extremadamente inverosímil (el p = 2^-1013 el × 10^-305 del ≈ 1.13923782) dado que la muestra es al azar.

La teoría del muestreo proporciona los métodos para calcular la probabilidad que los resultados de la encuesta diferencian de realidad por más que una cantidad determinada, simplemente debidos chance; por ejemplo, eso los informes de la encuesta el 47% para Kerry pero su ayuda es realmente tan alto como el 50%, o es realmente tan bajo como el 44%. Esta teoría y algunas asunciones Bayesian sugieren que el " true" el porcentaje estará probablemente bastante cerca del 47%. Muestrean a cuanto más gente, más confidentes los encuestadores puede ser que el " true" el porcentaje está cercano al porcentaje observado. La margen de error es una medida de cómo está cercano los resultados son probables ser.

Sin embargo, la margen de error explica solamente error de muestreo al azar, así que está oculta a los errores sistemáticos que se pueden introducir por la ausencia de respuesta o por interacciones entre el examen y sujetaron memoria, la motivación, la comunicación y el conocimiento.

Muestreo al azar asumido de los cálculos

Esta sección discutirá breve el error estándar de un porcentaje, el intervalo de confianza correspondiente, y conecta estos dos conceptos con la margen de error. Para la simplicidad, los cálculos aquí asumen que la encuesta fue basada en una muestra escogida al azar simple de una población grande.

El error estándar de un divulgado p de la proporción o del porcentaje mide su exactitud, y es la desviación estándar estimada de ese porcentaje. Puede ser estimado apenas del p y del tamaño de muestra, n, si el n es pequeño concerniente al tamaño de la población, usar la fórmula siguiente: error estándar del

l = $\backslash raíz\; cuadrada\{\backslash \; frac\; \{p\; (1-p)\}\{n\}\}$

Cuando la muestra no es una muestra escogida al azar simple de una población grande, el error estándar y el intervalo de confianza se deben estimar con cálculos más avanzados. En la mayoría de los casos, el intervalo de confianza verdadero es aproximado si se asume que la distribución es normal, e inputing el intervalo. Para las distribuciones normales, los radios del intervalo de confianza son proporcionales al error estándar. Generalmente, el error estándar verdadero es desconocido, así que el error estándar de una estimación se calcula de los datos de la muestra.

Observar que no hay necesario una conexión terminante entre el intervalo de confianza verdadero, y el error estándar verdadero. El intervalo de confianza verdadero del p-por ciento es el intervalo que contiene el por ciento de p de la distribución, y donde (100-p) el /2 por ciento de la distribución miente debajo de a, y (100-p) el /2 por ciento de la distribución miente sobre b. El error estándar verdadero de la estadística es la raíz cuadrada de la variación de muestreo verdadera de la estadística. Estos dos no se pueden relacionar directo, aunque generalmente para las distribuciones grandes que parecen curvas normales, hay una relación directa.

En la encuesta de Newsweek del, el nivel de Kerry del p de la ayuda = 0. El error estándar (.6%) ayuda a dar un sentido de la exactitud del porcentaje estimado de Kerry (el 47%). Una interpretación Bayesian del error estándar es que aunque no sepamos el " true" porcentaje, es alto probable ser situado dentro de dos errores estándar del porcentaje estimado (el 47%). El error estándar se puede utilizar para crear un intervalo de confianza dentro de el cual el " true" el porcentaje debe estar a cierto nivel de confianza.

El estimado del porcentaje más o menos su margen de error de es un intervalo de confianza para el porcentaje. Es decir la margen de error es mitad de la anchura del intervalo de confianza. Puede ser calculado como múltiplo del error estándar, con la dependencia del factor del nivel de confianza deseado; un margen de un error estándar da un intervalo de confianza del 68%, mientras que la estimación más o menos 1.96 errores estándar es un intervalo de confianza del 95%, y funcionamientos del 99% de un intervalo de confianza 2.58 errores estándar de cualquier lado de la estimación.

Definición

La margen de error para una estadística particular del interés se define generalmente como el radio (o mitad de la anchura) del intervalo de confianza para esa estadística. El término se puede también utilizar para significar error de muestreo en general. En informes de los medios de los resultados de la encuesta, el término refiere generalmente a la margen de error máxima para cualquier porcentaje de esa encuesta.

Margen de error máxima

La margen de error máxima para cualquier porcentaje es el radio del intervalo de confianza cuando   del p ; =  el 50%. Como tal, puede ser calculado directo del número de respondedores de la encuesta. Para la confianza del 95%, si se asume que una muestra escogida al azar simple de una población grande: × 1.96 de la margen de error del

l (máximo) (el 95%) =; $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{0.98\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{n\}\}$

Este cálculo da una margen de error de el 3% para la encuesta de Newsweek, que divulgó una margen de error de el 4%. La diferencia era probablemente debido a la carga o a las características complejas del diseño de muestreo que requirió los cálculos alternativos para el error estándar. Es también posible que Newsweek ha redondeado conservador para evitar exagerar la confianza de sus resultados.

Diversos niveles de confianza

Para una muestra escogida al azar simple de una población grande, la margen de error máxima es una re-expresión simple del n del tamaño de muestra. Los numeradores de estas ecuaciones se redondean a dos lugares decimales.

margen de error en 99% confianza $\backslash \; aproximadamente\; 1.29/\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\}\; \backslash ,\; de\; n$

margen de error en 95% confianza $\backslash \; aproximadamente\; 0.98/\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\}\; \backslash ,\; de\; n$

margen de error en 90% confianza $\backslash \; aproximadamente\; 0.82/\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\}\; \backslash ,\; de\; n$

Si un artículo acerca de una encuesta no divulga la margen de error, sino indica que una muestra escogida al azar simple de cierto tamaño fue utilizada, la margen de error se puede calcular para un grado de confianza deseado usar una de las fórmulas antedichas. También, si se da la margen de error del 95%, uno puede encontrar la margen de error del 99% aumentando la margen de error divulgada en el cerca de 30%.

Márgenes de error máximas y específicas

Mientras que la margen de error divulgada típicamente en los medios es una figura encuesta-ancha que refleja la variación máxima del muestreo de cualquier porcentaje basado en todos los respondedores de esa encuesta, la margen de error término también refiere al radio del intervalo de confianza para una estadística particular.

La margen de error para un porcentaje individual particular será generalmente más pequeña que la margen de error máxima cotizada para el examen. Este máximo se aplica solamente cuando el porcentaje observado es el 50%, y la margen de error se encoge mientras que el porcentaje se acerca a los extremos de el 0% o 100%.

Es decir la margen de error máxima es el radio de un intervalo de confianza del 95% para un porcentaje divulgado de el 50%. Si el p se mueve lejos del 50%, el intervalo de confianza para el p será más corto. Así, la margen de error máxima representa un límite superior a la incertidumbre; uno es el por lo menos el 95% seguro que el " true" el porcentaje está dentro de la margen de error máxima de un porcentaje divulgado para cualquier porcentaje divulgado.

Efecto del tamaño de la población

Las fórmulas arriba para la margen de error asumen que hay una población infinitamente grande y no dependen así del tamaño de la población de interés. Según la teoría del muestreo, esta asunción es razonable cuando la fracción de muestreo es pequeña. La margen de error para un método de muestreo particular es esencialmente igual sin importar si la población de interés es el tamaño de una escuela, de una ciudad, de un estado, o de un país, mientras la fracción de muestreo sea menos de el 10%.

En caso de que la fracción de muestreo exceda del 10%, los analistas pueden ajustar la margen de error usar " corrección de población finita, " (FPC) explicar la precisión agregada ganada por cierre de muestreo un porcentaje más grande de la población. FPC se puede calcular usar la fórmula: = \ raíz cuadrada del $\backslash \; del\; operatorname\; del$

l {FPC} {\ frac {N-n} {N-1}}.

Para ajustar para que haya una fracción de muestreo grande, el fpc descompuesto en factores en al cálculo de la margen de error, que tiene el efecto de enangostar la margen de error. Sostiene que el fpc se acerca a cero mientras que el tamaño de muestra ( n ) se acerca al tamaño de la población ( N ), que tiene el efecto de eliminar la margen de error enteramente. Esto tiene sentido intuitivo porque cuando el N = el n, la muestra se convierte en un censo y error de muestreo llega a ser discutible.

Los analistas deben ser atentos que la muestra sigue siendo verdadero tan al azar que la fracción de muestreo crece, a fin de se introduzca el muestreo al sesgo.

Otras estadísticas

Los intervalos de confianza se pueden calcular, y así que pueden las márgenes de error, para una gama de estadísticas incluyendo porcentajes individuales, de diferencias entre los porcentajes, de promedios, de puntos medios y de totales.

La margen de error para la diferencia entre dos porcentajes es más grande que las márgenes de error para cada uno de estos porcentajes, y puede incluso ser más grande que la margen de error máxima para cualquier porcentaje individual del examen.

Comparar porcentajes

En un sistema electoral de la pluralidad, es importante saber quién está a continuación. El " de los términos; tie" estadístico; y " heat" muerto estadístico; se utilizan a veces para describir los porcentajes divulgados que diferencian por menos que una margen de error, pero estos términos pueden ser engañosos. Para una cosa, la margen de error como calculado generalmente es aplicable a un porcentaje individual del y no a la diferencia entre los porcentajes, así que la diferencia entre dos estimaciones del porcentaje puede no ser el estadístico significativo incluso cuando diferencian por más que la margen de error divulgada. Los resultados del examen también proporcionan a menudo la información fuerte incluso cuando no hay una diferencia estadístico significativa.

Al comparar porcentajes, puede por consiguiente ser útil considerar la probabilidad que un porcentaje es más alto que otro. En situaciones simples, esta probabilidad se puede derivar con 1) el cálculo del error estándar introducido anterior, 2) la fórmula para la variación de la diferencia de dos variables al azar y 3) una asunción que si cualquier persona no elige Kerry ellos elegirá Bush, y viceversa; son perfectamente negativamente correlacionados que esto puede no ser una asunción sostenible cuando hay más de dos respuestas posibles de la encuesta. Para diseños de examen más complejos, diversas fórmulas para calcular el error estándar de diferencia deben ser utilizadas.

El error estándar de la diferencia del p de los porcentajes para Kerry y del q para Bush, si se asume que están correlacionadas perfectamente negativamente, sigue: error estándar del

l de la diferencia = del $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{p\; (1-p)\; +q\; (1-q)\; +2pq\}\; \{n\}\}.$

Dado el &minus observado del p de la diferencia del porcentaje; el q (el 2% o 0.02) y el error estándar de la diferencia calculada arriba (.03), cualquier calculadora estadística se pueden utilizar para calcular la probabilidad que una muestra de un de distribución normal con el medio 0.02 y la desviación estándar 0.

La aplicación de estos cálculos al ejemplo de Newsweek del da lugar a una probabilidad del 75% que Kerry era " truly" el llevar.

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