Las matemáticas (familiar, la matemáticas o la matemáticas ) son la base de conocimientos centrada en los conceptos tales que la cantidad, la estructura, el espacio, y el cambio, y también la disciplina académica que los estudia. El Benjamin Peirce las llamó " la ciencia que dibuja el conclusions" necesario;. Otros médicos de las matemáticas mantienen que las matemáticas son la ciencia del patrón, y que los matemáticos buscan patrones si están encontrados en los números, espacio, ciencia, computadoras, abstracciones imaginarias, o a otra parte. Los matemáticos exploran tales conceptos, apuntando formular las nuevas conjeturas y establecer su verdad por la deducción rigurosa de los axiomas apropiadamente elegidos y de las definiciones Con el uso de la abstracción y del razonamiento lógico, las matemáticas se desarrollaron que contaba, el cálculo, la medida, y el estudio sistemático de las formas y de los movimientos de objetos físicos. El conocimiento y el uso de las matemáticas básicas han sido una parte inherente e integrante del individuo y agrupan siempre vida. Los refinamientos de las ideas básicas son visibles en los textos matemáticos que originan en el Egipto antiguo, el Mesopotamia, el la India antigua, el China antigua, y el Grecia antigua . Las discusiones rigurosas aparecen en '' elementos '' de s de Euclid '. El desarrollo continuó en explosiones inciertas hasta el período del renacimiento del siglo XVI, cuando las innovaciones matemáticas obraron recíprocamente con los descubrimientos científicos del nuevo, llevando a una aceleración en la investigación que continúa al hoy.

Hoy, las matemáticas se utilizan en el mundo entero en muchos campos, incluyendo la ciencia natural, la ingeniería, la medicina, y las ciencias sociales tal como economía . Las matemáticas aplicadas, el uso de las matemáticas a tales campos, inspiran y hacen uso de nuevos descubrimientos matemáticos y llevan a veces al desarrollo enteramente de nuevas disciplinas. Los matemáticos también enganchan a las matemáticas puras, o a las matemáticas para su propio motivo, sin tener ningún uso en mente, aunque los usos para qué comenzó como las matemáticas puras se descubren a menudo más adelante.

Etimología

El " de la palabra; mathematics" (Griego: μαθηματικά o el mathēmatiká del ) viene del μάθημα griego (máthēma del ), que significa el que aprende, estudio, ciencia, y vino además tener el " más estrecho y más técnico del significado; study" matemático;, incluso en épocas clásicas. Su adjetivo es μαθηματικός ( mathēmatikós ), relacionado con el aprendizaje de, o el estudioso, que fomentan además vino significar el matemático. Particularmente, (el tékhnē del mathēmatikḗ del ), en el mathematica latino del ARS del, significó el el arte matemático .

La forma plural evidente en el inglés, como los mathématiques franceses de los les del de la forma plural (y el mathématique derivado singular menos de uso general del la del ), vuelve al mathematica plural neutral latino ( Cicero ) del, basado en el plural griego τα μαθηματικά (mathēmatiká del TA), usado por el Aristotle, y al " del significado áspero; todo el mathematical" de las cosas;. En inglés, sin embargo, las matemáticas sustantivo toman formas singulares del verbo. Se acortan a menudo a la matemáticas del en la matemáticas de habla inglesa de Norteamérica y del a otra parte.

Historia

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La evolución de las matemáticas se pudo considerar como una serie cada vez mayor de las abstracciones o alternativo extensión del tema. La primera abstracción era probablemente la de los números la realización que dos manzanas y dos naranjas tienen algo en campo común eran una brecha en pensamiento humano. Además de reconocer cómo a los objetos físicos del de la cuenta, la gente prehistórica también reconoció cómo contar cantidades abstractas del, como el tiempo - aritmético (adición, substracción, multiplicación y división de los años de las estaciones de los días ), seguido naturalmente. Los monumentos monolíticos atestiguan al conocimiento de la geometría .

Otros pasos necesitan la escritura o un cierto otro sistema para los números de grabación tales como cuentas o las secuencias anudadas llamadas Quipu usado por el imperio del inca para almacenar datos numéricos. Los sistemas de numeración han sido muchos y diversos, con los números escritos primero sabidos creados por egyptians en textos medios del reino tales como el papiro matemático de Rhind.

De los principios de la historia registrada, las disciplinas principales dentro de matemáticas se presentaron fuera de la necesidad de hacer cálculos referente los impuestos y al comercio, de entender las relaciones entre números, a la tierra de la medida, y de predecir los acontecimientos astronómicos . Estas necesidades se pueden relacionar áspero con la subdivisión amplia de las matemáticas en los estudios de la cantidad del, de la estructura del, del espacio del, y del cambio del .

Las matemáticas se han ampliado desde entonces grandemente, y ha habido una interacción fructuosa entre las matemáticas y la ciencia, a beneficio de ambos. Los descubrimientos matemáticos se han hecho a través de la historia y continúan siendo hechos hoy. Sevryuk, en la aplicación de enero de 2006 el boletín de la sociedad matemática americana, " El número de papeles y de libros incluidos en las revisiones matemáticas que base de datos de desde 1940 (el primer año de operación de SR.9 millones, y más de 75 mil artículos se agregan a la base de datos cada año. La mayoría aplastante de trabajos en este océano contiene los nuevos teoremas matemáticos y su " de las pruebas ;

Inspiración, matemáticas puras y aplicadas, y estética

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matemático de la belleza Las matemáticas se presentan dondequiera que haya los problemas difíciles que implican cantidad, la estructura, el espacio, o el cambio. Al principio éstos fueron encontrados en el comercio, la medida de la tierra y la astronomía posterior ; hoy en día, todas las ciencias sugieren los problemas estudiados por los matemáticos, y muchos problemas se presentan dentro de las matemáticas sí mismo. El Newton era uno de los inventores del cálculo infinitesimal, aunque casi toda la notación usada en el cálculo infinitesimal fuera contribuida por el Leibniz a excepción de un punto sobre una variable para significar la diferenciación con respecto a tiempo. El Feynman inventó la trayectoria integral de Feynman usar una combinación de razonamiento y de penetración física, y la teoría de hoy de la secuencia también inspira nuevas matemáticas. Un ciertas matemáticas son solamente relevantes en el área que las inspiró, y se aplican para solucionar otros problemas en esa área. Pero las matemáticas inspiraron a menudo por una área prueban útil en muchas áreas, y ensamblan la acción general de conceptos matemáticos. El hecho notable ese incluso el " purest" las matemáticas resultan a menudo tener usos prácticos son lo que ha llamado el Eugene Wigner " la eficacia desrazonable de las matemáticas . "

Como en la mayoría de los campos de estudio, la explosión del conocimiento en la edad científica ha llevado a la especialización en matemáticas. Una distinción importante está entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas . Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han combinado con tradiciones relacionadas fuera de matemáticas y se convierten en disciplinas en el su derecho propio, incluyendo las estadísticas, la investigación de operaciones, y el de informática.

Para los que estén inclinadas matemáticamente, hay a menudo un aspecto estético definido a mucha de matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia del de las matemáticas, de su estética intrínseca y de la belleza interna . Se valoran la simplicidad y la generalidad . Hay belleza en una prueba simple y elegante, tal como prueba de s de Euclid 'que hay infinitamente muchos números primeros y en un método numérico elegante que apresure el cálculo, tal como el Fourier rápido transformar . robusto en la apología de un matemático expresó la creencia que estas consideraciones estéticas están, en sí mismos, suficiente justificar el estudio de las matemáticas puras. Los matemáticos se esfuerzan a menudo encontrar pruebas de los teoremas que son particularmente elegantes, un Paul de la búsqueda que Erdős designado a menudo encontrar impermeabiliza de " El Book" en qué dios había anotado sus pruebas preferidas. El renombre de las matemáticas recreacionales es otra muestra del placer mucho hallazgo en solucionar preguntas matemáticas.

Notación, lengua, y rigor

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la notación matemática

La mayor parte de el hoy funcionando de la notación matemática no fue inventado hasta el siglo XVI . Antes eso, matemáticas fue puesta en escrito en las palabras, un proceso cuidadoso que limitó descubrimiento matemático. En el siglo XVIII, el Euler era responsable de muchas de las notaciones funcionando hoy. La notación moderna hace matemáticas mucho más fáciles para el profesional, pero los principiantes las encuentran a menudo el desanimar. Es extremadamente comprimida: algunos símbolos contienen mucha de información. Como la notación musical, la notación matemática moderna tiene un sintaxis terminante y codifica la información que sería difícil de escribir en cualquier otra manera.

La lengua matemática también es dura para los principiantes. Las palabras tales como o y el solamente tienen significados más exactos que en discurso diario. También confundiendo a los principiantes, las palabras tales como abierto del y el campo se han dado significados matemáticos especializados. La jerga matemática incluye términos técnicos tales como homeomorfismo y integrable del . Pero hay una razón de la notación especial y de la jerga técnica: las matemáticas requieren más precisión que discurso diario. Los matemáticos refieren a esta precisión de la lengua y de la lógica como " rigor".

El rigor es fundamental una cuestión de la prueba matemática . Los matemáticos quisieran que sus teoremas siguieran de axiomas por medio del razonamiento sistemático. Éste es evitar el " confundido; Quot de los teoremas ;, basado en intuiciones falibles, cuyo muchos casos han ocurrido en la historia del tema. El nivel de rigor esperado en matemáticas ha variado en un cierto plazo: los Griegos contaban con discusiones detalladas, pero a la hora de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes en las definiciones usadas por Newton llevarían a un resurgimiento del análisis cuidadoso y a prueba formal en el siglo XIX. Hoy, los matemáticos continúan discutiendo entre sí mismos sobre las pruebas de ayuda de computadora puesto que los cómputos grandes son duros de verificar, tales pruebas pueden no ser suficientemente rigurosos. Los axiomas en pensamiento tradicional eran " truths" evidente en sí;, solamente ese concepto es problemático. En un nivel formal, un axioma es apenas una cadena de los símbolos, que tiene un significado intrínseco solamente en el contexto de todas las fórmulas derivables de un sistema axiomático . Era la meta del programa de Hilbert para poner todas las matemáticas en una base axiomática firme, pero según el teorema del estado incompleto de Gödel cada sistema axiomático (suficientemente de gran alcance) tiene fórmulas undecidable ; y una axiomatización final de las matemáticas es tan imposible. No obstante las matemáticas se imaginan a menudo para ser (hasta su contenido formal) la teoría determinada nada pero en una cierta axiomatización, en el sentido que cada declaración matemática o prueba se podría echar en fórmulas dentro de la teoría determinada.

Matemáticas como ciencia

El Carl Friedrich Gauss refirió a matemáticas como " la reina del Sciences". En el latino original Regina Scientiarum, tan bien como en el der alemán Wissenschaften de Königin del, la palabra que corresponde a la ciencia del significa (campo de) conocimiento. De hecho, éste es también el significado original en inglés, y no hay duda que las matemáticas son en este sentido una ciencia. La especialización que restringe el significado a la ciencia natural del es de fecha posterior. Si uno considera la ciencia estar terminantemente sobre el mundo físico, después las matemáticas, o por lo menos las matemáticas puras, no es una ciencia. El Albert Einstein ha indicado ese " del ; por lo que las leyes de las matemáticas refieren a realidad, no están seguras; y hasta ellas están seguras, ellas no refieren a realidad. " de ;

Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimental el falsificable, y así no una ciencia según la definición Karl Popper . Sin embargo, en los años 30 el trabajo importante en lógica matemática demostró que las matemáticas no se pueden reducir a la lógica, y Karl que Popper concluyó ese " la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de la física y de la biología, hypothetico-deductivo: las matemáticas puras por lo tanto resultan ser mucha más cercano a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, que él parecían incluso recently." Otros pensadores, notablemente Imre Lakatos, han aplicado una versión del falsificationism a las matemáticas sí mismo.

Una visión alternativa es que ciertos campos científicos (tales como física teórica ) son matemáticas con los axiomas que se piensan para corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, J. Ziman, propuso que la ciencia sea el conocimiento público del e incluye así matemáticas. En todo caso, las matemáticas comparten mucho en común con muchos campos en las ciencias físicas, notablemente la exploración de las consecuencias lógicas de asunciones. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel en la formulación de las conjeturas en matemáticas y las ciencias (otra). Las matemáticas experimentales continúan creciendo en importancia dentro de matemáticas, y el cómputo y la simulación están desempeñando un papel cada vez mayor en las ciencias y las matemáticas, debilitando la objeción que las matemáticas no utilizan el método científico . En su de 2002 libros una nueva clase de la ciencia, volframio de Stephen sostiene que las matemáticas de cómputo merecen ser exploradas empírico como campo científico por derecho propio.

Las opiniones de matemáticos en esta materia se varían. Muchos matemáticos sienten que ésa llamar su área una ciencia es downplay la importancia de su lado estético, y su historia en las siete humanidades tradicionales ; otros sienten que ésa no hacer caso de su conexión a las ciencias es dar vuelta a un ojo oculto al hecho de que el interfaz entre las matemáticas y sus usos en la ingeniería de la ciencia y ha conducido mucho desarrollo en matemáticas. Una forma esta diferencia de los realizar del punto de vista es en el discusión filosófico si las matemáticas son creado (como en arte) o descubierto (como en ciencia). Es común ver las universidades divididas en las secciones que incluyen una división de la ciencia y de las matemáticas del, indicando que los campos están considerados como siendo aliados pero que no coinciden. En la práctica, agrupan con los científicos en el nivel grueso pero se separan a los matemáticos típicamente en niveles más finos. Éste es una de muchas ediciones consideradas en la filosofía de las matemáticas .

Las concesiones matemáticas se mantienen generalmente a parte de sus equivalentes ciencia. La concesión más prestigiosa de matemáticas es el Fields  Medalla, establecida adentro 1936 y ahora concedida cada 4 años. Se considera a menudo, engañosamente, el equivalente de los Premios Nobel Del de la ciencia el premio del lobo en las matemáticas, instituido en 1979, reconoce el éxito de toda una vida, y otra concesión internacional importante, el premio de Abel, fue introducida en 2003. Éstos se conceden para un cuerpo del trabajo particular, que puede ser innovación, o la resolución de un problema excepcional en un campo establecido. Una lista famosa de 23 tales problemas abiertos, llamada " " de los problemas de Hilbert;, fue compilado en 1900 por el alemán David Hilbert del matemático. Esta lista gran celebridad alcanzada nueve entre matemáticos, y por lo menos de los problemas ahora se ha solucionado. Una nueva lista de siete problemas importantes, titulada el " " premiado de los problemas del milenio;, fue publicado en 2000. La solución de cada uno de estos problemas lleva una recompensa $1 millones, y solamente una (la hipótesis de Riemann) se duplica en los problemas de Hilbert.

Campos de las matemáticas

Según lo observado arriba, las disciplinas principales dentro de matemáticas primero se presentaron fuera de la necesidad de hacer cálculos en comercio, de entender las relaciones entre los números, de medir la tierra, y de predecir acontecimientos astronómicos . Estas cuatro necesidades se pueden relacionar áspero con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la cantidad, estructura, espacio, y cambio (es decir, aritmético, la álgebra, la geometría, y el análisis ). Además de estas mayores preocupaciones, hay también subdivisiones dedicadas a los acoplamientos de exploración del corazón de las matemáticas a otros campos: a la lógica, a la teoría determinada (fundaciones ), a las matemáticas empíricas de las varias ciencias (matemáticas aplicadas ), y más recientemente al estudio riguroso de la incertidumbre .

¡Quantity

El estudio del comienzo de la cantidad con el numera primero el familiar los números naturales y los números enteros (" " de los números enteros;) y operaciones aritméticas en ellos, que se caracterizan en el aritmético. Las características más profundas de números enteros se estudian en la teoría de número, de dónde los resultados populares tales como el teorema pasado de Fermat. La teoría de número también lleva a cabo dos problemas sin resolver ancho-considerados: la conjetura de la prima del gemelo y conjetura de Goldbach.

Mientras que el sistema de numeración se desarrolla más a fondo, los números enteros se reconocen como subconjunto de los números racionales (" el fracciona el " de ;). Éstos, alternadamente, se contienen dentro de los números verdaderos que se utilizan para representar cantidades continuas. Los números verdaderos se generalizan a los números complejos que éstos son los primeros pasos de una jerarquía de números que se encienda incluir el Quarternions y consideración de Octonions de los números naturales también lleva a los números Transfinite que formalizan el concepto de cuenta al infinito. Otro campo de estudio es el tamaño, que lleva a los números cardinales y entonces a otro concepto del infinito: el Aleph numera que permitan la comparación significativa del tamaño de sistemas infinitamente grandes.

¡Structure

Muchos objetos matemáticos, tales como sistemas de la estructura interna del objeto expuesto de los números y de las funciones . Las características estructurales de estos objetos se investigan en el estudio de los grupos, de los anillos, de los campos y de otros sistemas abstractos, que son ellos mismos tales objetos. Éste es el campo de la álgebra del extracto. Un concepto importante aquí es el de los vectores generalizados a los espacios de vector y estudiados en la álgebra linear . El estudio de vectores combina tres de las áreas fundamentales de las matemáticas: cantidad, estructura, y espacio. El cálculo del vector amplía el campo en una cuarta área fundamental, de que del cambio.

¡Space

El estudio del espacio origina con la geometría - particularmente, la geometría euclidiana . La trigonometría combina el espacio y números, y abarca el teorema pitagórico bien conocido. El estudio moderno del espacio generaliza estas ideas de incluir geometría alto-dimensional, las geometrías no-Euclidianas (que desempeñan un papel fundamental en la relatividad general ) y topología . La cantidad y espacia ambo el juego un papel en la geometría analítica, la geometría diferenciada, y la geometría algebraica . Dentro de geometría diferenciada están los conceptos de los paquetes de fibra y el cálculo en los múltiples dentro de la geometría algebraica es la descripción de objetos geométricos pues los sistemas de la solución de ecuaciones polinómicas, combinando los conceptos de cantidad y de espacio, y también el estudio de los grupos topológicos, que combinan la estructura y el espacio. Utilizan a los grupos de mentira para estudiar el espacio, para estructurarlo, y para cambiar. La topología en todas sus numerosos ramificaciones pudo haber sido el área de crecimiento más grande de matemáticas del vigésimo siglo, e incluye la conjetura de muchos años de Poincaré y el polémico cuatro colorea el teorema, cuya única prueba, por la computadora, nunca ha sido verificada por un ser humano.

¡Change

La comprensión y la descripción del cambio es un tema común en las ciencias naturales y el cálculo fue desarrollado como una herramienta de gran alcance para investigarla. Las funciones se presentan aquí, como concepto central que describe una cantidad cambiante. El estudio riguroso de números verdaderos y de funciones con valores reales se conoce como análisis verdadero, con el análisis complejo el campo equivalente para los números complejos. La hipótesis, uno de Riemann de los no se sabe más fundamentales de matemáticas, se extrae de análisis complejo. El análisis funcional se centra la atención en los espacios (típicamente infinito-dimensional) de funciones. Uno de muchos usos del análisis funcional es los mecánicos de Quantum . Muchos problemas llevan naturalmente a las relaciones entre una cantidad y su índice de cambio, y éstos se estudian como ecuaciones diferenciales que muchos fenómenos en naturaleza se pueden describir por el la teoría del caos de los sistemas dinámicos hace exacto las maneras de las cuales muchos de estos sistemas exhiben imprevisible con todo aún comportamiento determinista .

Fundaciones y filosofía

Para aclarar las fundaciones de las matemáticas, los campos de la lógica matemática y la teoría determinada fueron desarrollados, así como la teoría de la categoría que todavía está en el desarrollo.

La lógica matemática se refiere a matemáticas del ajuste en un marco axiomático rígido, y estudiar los resultados de tal marco. Como tal, es casera al teorema del estado incompleto de Gödel segundo, quizás el resultado lo más extensamente posible celebrado de la lógica, que (informal) implica que cualquier sistema formal que contenga aritmética básica, si el sano (significado que todos los teoremas que pueden ser probados ser verdad), es necesario el incompleto (significado que hay teoremas verdaderos cuál no puede ser probado en ese sistema ). Gödel demostró cómo construir, lo que no sigue la colección dada de axiomas número-teóricos, una declaración formal en la lógica que es un hecho número-teórico verdadero, pero cuál de esos axiomas. Por lo tanto no hay sistema formal una axiomatización verdadera de la teoría de número completa. La lógica moderna se divide en la teoría de la repetición, la teoría modelo, y la teoría de la prueba, y se liga de cerca al teórico de informática .

Matemáticas discretas

Las matemáticas discretas son el nombre común para los campos de las matemáticas lo más generalmente posible útiles en el de informática teórico. Esto incluye la teoría del computability, la teoría de complejidad de cómputo, y la teoría de información . La teoría de Computability examina las limitaciones de los varios modelos teóricos de la computadora, incluyendo el modelo sabido más de gran alcance - la máquina de Turing. La teoría de complejidad es el estudio de la maleabilidad al lado de computadora; algunos problemas, aunque teóricamente sea soluble por la computadora, son tan costosos en términos de tiempo o espacio que solucionarlos son probables siguen siendo prácticamente irrealizables, incluso con el avance del rapid del hardware. Finalmente, la teoría de información se refiere a la cantidad de datos que se puedan almacenar en un medio dado, y por lo tanto de conceptos tales como compresión y entropía .

Como relativamente nuevo campo, las matemáticas discretas tienen un número de problemas abiertos fundamentales. El más famoso de éstos es el " ¿ P=NP? " de ; problema, uno de los problemas premiados del milenio.

Matemáticas aplicadas

Las matemáticas aplicadas consideran el uso de herramientas matemáticas abstractas en solucionar problemas concretos en el negocio de las ciencias, y otras áreas. Un campo importante en las matemáticas aplicadas es las estadísticas, que utiliza la teoría de las probabilidades como herramienta y permite la descripción, el análisis, y la predicción de los fenómenos donde la ocasión desempeña un papel. La mayoría de los experimentos, de los exámenes y de los estudios de observación requieren el uso informado de estadísticas. (Muchos estadísticos, sin embargo, no se consideran ser matemáticos, sino algo parte de un grupo aliado.) el análisis numérico investiga los métodos de cómputo para eficientemente solucionar una gama amplia de problemas matemáticos que sean típicamente demasiado grandes para la capacidad numérica humana; incluye el estudio de los errores de redondeo o de otras fuentes de error en el cómputo.

Ideas falsas comunes

Las matemáticas no son un sistema intelectual cerrado, en el cual todo se ha resuelto ya. No hay escasez de problemas abiertos. Los matemáticos publican muchos millares de papeles que incorporan nuevos descubrimientos a matemáticas cada mes.

Las matemáticas no son el Numerology, ni están la contabilidad ; ni es restringida al aritmético.

El Pseudomathematics es una forma matemática-como de la academia exterior emprendida actividad, y de vez en cuando por los matemáticos ellos mismos. Consiste en a menudo ataques resueltos contra las preguntas famosas, consistiendo en prueba-intenta hecho de una manera aislada (es decir, papeles largos no apoyados por teoría previamente publicada). La relación a las matemáticas generalmente aceptadas es similar a ésa entre el Pseudoscience y la ciencia verdadera. Las ideas falsas implicadas se basan normalmente encendido:
malentendido del

las implicaciones del rigor matemático ;
intenta evitar los criterios generalmente para la publicación de los papeles matemáticos en un diario aprendido después de la revisión paritaria, a menudo en la creencia que el diario es en polarización negativa contra el autor;
carencia de la familiaridad con, y por lo tanto de la subestimación, de la literatura existente.

El caso trabajo de s de Heegner Kurt de matemático 'demuestra que el establecimiento es ni infalible, ni poco dispuesto admitir error en la determinación del trabajo “aficionado”. Y como la astronomía, las matemáticas deben mucho a los contribuidores aficionados tales como Fermat y Mersenne .

Matemáticas y realidad física

Los conceptos y los teoremas matemáticos no necesitan corresponder cualquier cosa en el mundo físico. En cuanto existe una correspondencia, mientras que los matemáticos y los físicos pueden seleccionar los axiomas y los postulados que parecen razonables e intuitivos, no es necesario que las asunciones básicas dentro de un sistema axiomático sean verdad en un sentido empírico o físico. Así, mientras que muchos sistemas de axiomas se derivan de nuestras opiniones y experimentos, no son dependientes en ellos.

Por ejemplo, podríamos decir que el concepto físico de dos manzanas puede ser exactamente modelado por el número natural 2. por una parte, nosotros podríamos también decir que los números naturales son el no al modelo exacto porque no hay " estándar; unit" la manzana y no hay dos manzanas exactamente semejantes. La idea de modelado es complicada más a fondo por la posibilidad fraccionario o de las manzanas parciales. Tan mientras que puede ser instructiva visualizar la definición axiomática de los números naturales como colecciones de manzanas, la definición sí mismo no es dependiente sobre ni derivado de ninguna entidades física real.

Sin embargo, las matemáticas siguen siendo extremadamente útiles para solucionar problemas del mundo real. Este hecho llevó el Eugene Wigner del físico a escribir un artículo titulado " la eficacia desrazonable de las matemáticas en el " de las ciencias naturales ;.

Ver también

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Lista de los asuntos básicos de las matemáticas
Listas de los asuntos de las matemáticas
Matemáticas porta
Filosofía de las matemáticas
Educación de las matemáticas
Juego matemático
Modelo matemático
Problema matemático
Competiciones de las matemáticas
Dyscalculia