Las matemáticas egipcias refieren al estilo y a los métodos de las matemáticas realizados en el Egipto antiguo .

Introducción

La adición y la multiplicación egipcias emplearon el método de doblar y de partir en dos un número sabido para acercarse a la solución. La substracción y la división emplearon otros métodos. El método de la posición falsa no se pudo haber utilizado para los problemas de la división y de la álgebra. Los escribanos pudieron haber utilizado solamente viejos números binarios del reino, y las fracciones medias de la unidad del reino, escritas dentro de respuestas de la tabla RMP 2/n. Los escribanos como el Ahmes solucionaron los problemas matemáticos complejos, 84 cuyo se contornean en el papiro matemático (RMP) de Rhind, uno cuyo las progresiones aritméticas incluido

Los viejos eruditos tradicionales del reino divulgan que los egipcios se confinaron a los usos de la aritmética práctica con problemas aditivo que trataban cómo un número de panes se pueden dividir igualmente entre un número de hombres. Los problemas en Moscú y los papiros matemáticos de Rhind expresaron opiniónes educacionales. Tres opiniónes cubren definiciones abstractas del número, y formas más altas de aritmética. Las definiciones abstractas se encuentran en la tableta de madera de Akhmim, el rodillo de cuero matemático egipcio y el papiro matemático de Rhind. La aritmética abstracta fue utilizada para escalar el hekat, y otras unidades de los pesos y de las medidas. El ojo incluido hekat de los cocientes de Horus y de los restos egipcios de la fracción, escalado al ro, a 1/320 de un hekat, o a otras subunidades. Cinco declaraciones bipartitas del hekat se definen en la tableta de madera de Akhmim, y se aplican 30 veces en el papiro matemático de Rhind, y muchas veces adicionales en otros textos medios del reino, tales como el papiro de Ebers, un texto médico.

Descripción

Circa el 2700 los egipcios introdujeron A. el sistema de numeración completamente desarrollado más temprano de la base 10. Aunque no era un sistema posicional, permitió el uso de grandes números y también fracciona bajo la forma de fracciones de la unidad y ojo de las fracciones de Horus, o fracciones binarias., las técnicas egipcias de la construcción incluyeron el de la precisión que examinaba, marcando el norte por la localización del sol al mediodía. Los expedientes del claro comenzaron a aparecer antes de 2000 aproximaciones A. de la citación para el π y raíces cuadradas. Las declaraciones exactas del número, escritas las tablas aritméticas, los problemas de la álgebra, y los usos prácticos con los pesos y las medidas también comenzaron a aparecer alrededor 2000 A., con varios problemas solucionados por métodos aritméticos abstractos.

Por ejemplo, las listas de la tableta de madera (AWT) de Akhmim cinco divisiones de una unidad de volumen llamaron un hekat, comenzando con una unidad del hekat valorada como 64/64. La unidad del hekat fue dividida por 3, 7, 10, 11 y 13, con todas las respuestas siendo exactas. La primera mitad de las respuestas cita un cociente binario, es decir un hekat (64/64), dividido por 3, encontró un cociente 21 con un resto de 1. El escribano escribió 21 como (16 + 4 + 1), tales que una serie binaria fue obtenida cerca (16 + 4 + 1)/64 = 1/4 + 1/16 + 1/64. La segunda mitad de la respuesta escaló el resto uno (1) a las as/320o unidades (ro) o 1 (192) = (5/3)*1/320 = (1 + 2/3)*ro.

El escribano combinó el cociente y el resto en una declaración. El 1/3o de una respuesta del hekat fue escrito como: 1/4 1/16 1/64 1 2/3 ro. La adición de Scribal y los signos de multiplicación no se consideran. Observar que la serie scribal fue escrita de la derecha hacia la izquierda. El escribano probó todos sus resultados multiplicando las respuestas por sus divisores iniciales, encontrando el valor inicial de la unidad del hekat de (64/64 de las cinco veces. El escribano de AWT puso este método en escrito de división exacto más detalladamente, un método que shorteded por Ahmes y otros escribanos del reino del centro. Los pasos de Ahmes no incluyeron el aspecto de la prueba, por ejemplo. Sin embargo, los pasos de división de Ahmes, sin embargo, siguieron la estructura bipartita del AWT, usar ella 29 veces en el papiro matemático #81 de Rhind.

Hana Vymazalova publicó en 2002 una copia fresca del AWT que demostró que las cinco divisiones de AWT habían sido exactas, primero analizando la prueba camina, volviendo las cinco respuestas de la división a 64/64. Vymazalova de tal modo puso al día la discusión incompleta de Daressy 1906 del tema que había encontrado solamente 1/3, 1/7 y 1/10 para ser exacto.

Más allá de hecho que (64/64) /n = Q/64 - (5R/n)*ro, con Q = el cociente y R = el resto, indica bastante la forma scribal de 2.000 BCE de división del hekat, dos hechos adicionales revelan el pensamiento scribal temprano. Un hecho revela que siempre que el divisor n fuera entre 1/64 y 64 un límite de 64 habían sido alcanzados. RMP 80 detalla este límite bipartito. En segundo lugar, ir más allá del divisor n = 64 limita, el hin, ro y otras subunidades del hekat fueron desarrolladas. Resúmenes de Gillings los datos de RMP con 29 ejemplos en un apéndice, de tal modo poniendo en contraste las declaraciones bipartitas con las declaraciones one-part equivalentes del hin. Los textos médicos y sus 2.000 ejemplos también utilizaron el siguiente one-part extendido de los formatos: hin 10/n para el 1/10o de un hekat, y ro 320/n para el 1/320o de un hekat para los ingredientes de la prescripción.

Ahmes podía ir más allá del límite y de su aritmética bipartita de otras maneras, uno de 64 divisores del resto que era aumentar el tamaño del numerador. El hekat bipartito que repartía método fue descrito en el problema 35 como hekat 100 dividido por el n= 70. Ahmes escribió 100* (64/64) /70 = (6400/64) /70 = 91/64 + 30/(70*64). El cociente fue escrito como (64 + 16 + 8 + 2 + 1)/64 = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32+ 1/64). Ahmes entonces escribió la pieza del resto como (150/70) *1/320 = (2 + 1/7) ro. Finalmente, 1 el 1/4 1/8 1/32 1/64 2 combinados 1/7 respuesta del ro fueron anotados el siguiente de la derecha a la izquierda, usar ninguna adición aritmética o signos de multiplicación, más viejas reglas de la notación establecidas en la tableta de madera de 350 años más vieja de Akhmim.

Fuentes

Nuestra comprensión de las matemáticas egipcias antiguas ha sido impedida por la falta divulgada de fuentes disponibles. El más famoso tal fuente es el papiro matemático, un texto de Rhind que pueda ser leído comparando muchos de sus elementos contra otros textos, es decir, el rodillo de cuero matemático egipcio y la tableta de madera de Akhmim. El papiro de Rhind fecha a partir del período en segundo lugar intermedio (circa 1650 A.), pero su autor, Ahmes, lo identifica como copia de un papiro medio perdido now del reino . El papiro de Rhind contiene una tabla de 101 extensiones egipcias de la fracción para los números del n de la forma 2, y 84 problemas de la palabra, las respuestas a los cuales fueron expresadas en la notación egipcia de la fracción.

El RMP también incluye fórmulas y los métodos para la adición, la substracción, la multiplicación y la división de sumas de fracciones de la unidad. El RMP contiene evidencia del otro conocimiento matemático, incluyendo el el compuesto aritmético de los números primeros de y, el los medios armónicos geométricos y entendimiento simplista de y del tamiz de Eratosthenes y de la teoría de número perfecto así como sumar el la serie geométrica aritmética de y.

El estado de Henry Rhind donó el papiro de Rhind a British Museum en 1863. También fue incluido en la donación el rodillo de cuero matemático egipcio, fechando a partir de la era media del reino. Como el papiro de Rhind, el rodillo de cuero matemático egipcio contiene una tabla de extensiones egipcias de la fracción.

El papiro de Berlín, escrito alrededor 1300 A., demuestra que los egipcios antiguos habían solucionado dos second-order, un desconocido, ecuaciones que algo ha llamado el las ecuaciones Diophantine . El método de Berlín para solucionar x^2 + y^2 = 100 no se ha confirmado en un segundo texto hierático, aunque ha sido confirmado por un segundo problema del papiro de Berlín.

Las fuentes con excepción de las que está mencionadas anteriormente incluyen el papiro matemático de Moscú, el papiro de Reisner, y varios otros textos incluyendo las prescripciones médicas encontradas en el papiro de Ebers.

Números

considera también:

egipcio de los números

Dos sistemas del número fueron utilizados en Egipto antiguo. Uno, escrito en los jeroglíficos era un sistema basado decimal de la cuenta con los símbolos separados para 10, 100, 1000, el etc, pues los números romanos eran haber escrito posterior, y la unidad hierática fracciona . El segundo, escrito en un nuevo sistema cifrado del uno-número-a-uno-símbolo era un sistema digital que no era similar al sistema jeroglífico. El sistema de numeración jeroglífico existió a partir por lo menos del período dinástico temprano . El sistema hierático diferenció del sistema jeroglífico más allá de un uso de simplificar las ligaduras para la escritura rápida y comenzó alrededor 2150 A. Los números hieráticos utilizaron un símbolo para cada número que substituía las cuentas que habían sido utilizadas para denotar múltiplos de una unidad. Por ejemplo, dos símbolos habían sido utilizados para escribir tres, treinta, tresciento, y así sucesivamente, en un sistema que fue reemplazado por el método hierático. La numeración jeroglífica posterior fue modificada y adoptada por los romanos para las aplicaciones oficiales, y las fracciones egipcias en situaciones diarias.

El papiro matemático de Rhind fue escrito en hierático. Contiene ejemplos de cómo los egipcios hicieron sus cálculos matemáticos. Las fracciones fueron denotadas poniendo una línea sobre la letra n asociada al número que era escrito, como 1/n. Este método de escribir números vino dominar el Oriente Próximo antiguo, con los Griegos 1.500 años más tarde usar dos de sus alfabetos, jónico y dórico, para cifrar todos sus números, alfa = 1, = 2 beta y así sucesivamente. Referente a fracciones, los Griegos escribieron 1/n como n', así que la numeración y la solucion de problemas griegas adoptaron o modificaron la numeración egipcia, la aritmética y otros aspectos de la matemáticas egipcia.

Multiplicación

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egipcio antiguo de la multiplicación La multiplicación egipcia fue hecha doblando repetida del número que se multiplicará (el multiplicando), y eligiendo que de los doublings a agregar junto (esencialmente una forma de aritmética binaria ), un método ese liga al viejo reino. El multiplicando fue escrito al lado del cuadro 1; el multiplicando entonces fue agregado a sí mismo, y el resultado fue escrito al lado del número 2. El proceso fue continuado hasta los doublings dio un número mayor que la mitad del multiplicador . Entonces los números doblados (1, 2, los etc.) serían restados en varias ocasiones del multiplicador para seleccionar que de los resultados de los cálculos existentes se debe agregar junto para crear la respuesta.

Como corte corto para números más grandes, el multiplicando se puede también multiplicar inmediatamente por 10, 100, el etc.

Por ejemplo, el problema 69 en el papiro de Rhind (RMP) proporciona la ilustración siguiente, como si los símbolos jeroglíficos fueran utilizados (algo que la escritura hierática real del RMP).

Fracciones

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egipcio de la fracción

Los números racionales se podrían también expresar, pero solamente como las sumas de unidad fraccionan sumas de es decir de los reciprocals de los números enteros positivos 2/3, y 3/4. El jeroglífico que indicaba una fracción parecía una boca, que significó el " part", y las fracciones fueron escritas con este solidus fraccionario, es decir el numerador 1, y el denominador positivo abajo. Los símbolos especiales fueron utilizados para el 1/2 y para dos fracciones de la no-unidad, 2/3 (usado a menudo) y 3/4 (utilizado menos a menudo).

El problema 25 en el papiro de Rhind pudo haber utilizado el método de la posición falsa para solucionar el " del problema; una cantidad y su mitad agregaron juntas se convierten en 16; ¿cuál es la cantidad? " (es decir, en la notación algebraica moderno, cuál es el x si el x + el x =16 del ½).

El asume 2

1 2/ ½ 1/ ½ 3 del total 1

Tantas veces como 3 se deben multiplicar para dar 16, así que muchas veces se deben 2 multiplicar para dar la respuesta.

1 3/ 2 6 4 12/ 2/3 2 1/3 1/ Total 5 1/3 16

Tan: 1 5 1/3 (1 + 4 + 1/3) 2 10 2/3

La respuesta es 10 2/3.

Cheque - 1 10 2/3 ½ 5 1/3 ½ 16 del total 1

Un acercamiento más probable y más directo solucionar esta clase de problema se da cerca: x + (el 1/2) x = 16, usar estos pasos

1.

El problema 31 fija el " del problema; la cantidad de q, su 1/3, su 1/2 y su 1/7, agregado juntos, se convierten en 33; ¿cuál es la cantidad? " En la notación algebraica moderna, " ¿cuál es el x si el x + 1/3 x del + el x 1/2 + 1/7 x =33? " La respuesta es 14 1/4 1/56 1/97 1/194 1/388 1/679 1/776, o 14 y 28/97. Para solucionar el problema como Ahmes escribió su respuesta 28/97 tuvo que estar roto para arriba en 2/97 y 26/97, y solucionó los dos problemas vulgares separados de la conversión de la fracción usar Hultsch-Bruins (sin usar la posición falsa, como el otro problema de la álgebra se pudo haber solucionado).

La solución aritmética del resto, el método histórico que es más probable, porque x + (1/3) x + (el 1/2) x + (1/7) x = 33 parecer esto:

1.

con, 2/97 - 1/56 = (112 - 97)/(56*97) = (8 + 7) (56*97) = 1/679 1/776,

y 26/97 - 1/4 = (104-97/(4*97) = (4 + 2 + 1) (4*97) = 1/97 1/194 1/388,

o,

2/97 = 1/56 1/670 1/776,

26/97 = 1/4 1/97 1/194 1/388

tales que, poniendo en escrito x = 14 + 28/97 en una serie pedida de la fracción de la unidad

4. x = 14 1/4 1/56 1/97 1/194 1/388 1/679 1/776, según lo escrito por Ahmes.

¡Geometryhistoria de la geometría -->

Los egipcios antiguos sabían que podrían aproximar el área de un círculo como sigue: área del

l del
del
del
del ≈ del círculo (diámetro) x 8/9 2.

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