istOfScience &mdash indio de las matemáticas ; cuáles aquí son las matemáticas que emergieron en el cero de Asia del Sur (conocido como el subcontinente indio ), los números negativos, el aritmético, y la álgebra . fue avanzado más a fondo en la India, y, particularmente, las definiciones modernas del seno y el coseno fueron desarrollados allí. Estos conceptos matemáticos fueron transmitidos al Medio Oriente, al China, y al Europa y llevados a otros progresos que ahora forman las fundaciones de muchas áreas de las matemáticas.
Trabajos matemáticos indios antiguos y medievales, compuestos todo en el sánscrito, generalmente consistido en una sección Sutras del 'en cuál fue indicado un sistema de reglas o los problemas con gran economía en verso para ayudar a la memorización por un estudiante. Esto fue seguida por una segunda sección que consistía en un comentario de la prosa (comentarios a veces múltiples de diversos eruditos) que explicó el problema más detalladamente y con tal que justificación para la solución. En la sección de la prosa, la forma (y por lo tanto su memorización) no eran consideradas como importante como las ideas implicadas. Todos los trabajos matemáticos fueron transmitidos oral hasta aproximadamente 500 BCE; después de eso, fueron transmitidos oral y en forma del manuscrito. El más viejo matemático existante del documento de produjo en el subcontinente indio es el manuscrito de Bakhshali de la corteza de abedul, descubierto en 1881 en la aldea de Bakhshali, cerca Peshawar ( moderno Paquistán del día); el manuscrito es probable ser a partir de 200 BCE al CE 200. Eruditos anteriores habían sostenido que puede ser que haya sido a partir del CE el 700.
Una señal posterior en matemáticas indias era el desarrollo de las extensiones de la serie para las funciones trigonométricas (seno, coseno, y tangente del arco) por los matemáticos de la escuela de Kerala en el CE del siglo XV. Su trabajo notable, terminado dos siglos antes de la invención del cálculo en Europa, con tal que qué ahora se considera el primer ejemplo de una serie de energía (aparte de serie geométrica). Sin embargo, no formularon una teoría sistemática de la diferenciación y de la integración, ni hay cualquier evidencia directa de sus resultados que son exterior transmitido Kerala . (Sin embargo, ver las cargas del eurocentrismo abajo para la investigación reciente en esta área.)
Campos de las matemáticas indias
Algunas de las áreas de las matemáticas estudiaron en antiguo y la India medieval incluye el siguiente:
aritmético: Sistema decimal, números negativos (véase el Brahmagupta ), cero (véase el sistema de numeración Hindú-Árabe ), el sistema de numeración, números de la coma flotante (véase el Kerala enseñar ), teoría de número, infinito (véase el Yajur Veda ), números irracionales moderno de la notación posicional Transfinite de los números (véase el Sulba Sutras )
Geometría : Las raíces cuadradas (véase la aproximación de Bakhshali), raíces cúbicas (véase el Mahavira ), pitagórico triplican (véase el Sulba Sutras ; El Baudhayana y el Apastamba indican el teorema pitagórico sin prueba), la transformación (véase el Panini ), triángulo de Pascal (véase el Pingala )
Álgebra : Ecuaciones cuadráticos (véase el Sulba Sutras, el Aryabhata, y el Brahmagupta ), ecuaciones cúbicas (véase el Mahavira y el Bhaskara ), ecuaciones cuárticas (ecuaciones bicuadráticas; ver el Mahavira y el Bhaskara )
Lógica matemática : Teoría formal, la forma (véase el Panini ), repetición del lenguaje formal de las gramáticas de Panini-Backus (véase el Panini )
Matemáticas generales: Números de Fibonacci (véase el Pingala ), las formas más tempranas del código Morse (véase el Pingala ), índices (véase las matemáticas de Jaina), algoritmia de los logaritmos de los algoritmos (véase el Aryabhata y el Brahmagupta )
Trigonometría : Funciones trigonométricas (véase el Surya Siddhanta y el Aryabhata ), serie trigonométrica (véase el Madhava y el Kerala enseñar )
Matemáticas de Harappan (2600 BCE - 1700 BCE)
Civilización del valle de Indus La evidencia más temprana del uso de las matemáticas en el Asia del Sur está en los artefactos de la civilización del valle de Indus (IVC), también llamados la civilización de Harappan del . Las excavaciones en el Harappa, el Mohenjo-daro (Paquistán) y otras localizaciones en el valle del río Indo han destapado la evidencia del uso de las matemáticas prácticas. La gente de los ladrillos manufacturados IVC cuyas dimensiones estaban en el 4:2 de la proporción: 1, considerado favorable para la estabilidad de una estructura del ladrillo. Utilizaron un sistema de pesos estandardizado basados en los cocientes: 1/20, 1/10, 1/5, el 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, y 500, con el peso de unidad igualando aproximadamente 28 gramos (y aproximadamente el igual a la onza inglesa o al uncia griego). Produjeron en masa pesos en las formas geométricas regular, que incluyeron el hexahedra, los conos de los barriles y los cilindros de tal modo que demostraban conocimiento de la geometría básica .Los habitantes de la civilización de Indus también intentaron estandardizar la medida de la longitud a un alto nivel de exactitud. Diseñaron un ruler— el &mdash de la regla de Mohenjo-daro del ; de quién unidad de longitud (aproximadamente 1.4 centímetros) fue dividido en diez porciones iguales. Los ladrillos manufacturados en Mohenjo-daro antiguo tenían a menudo dimensiones que eran múltiplos integrales de esta unidad de longitud.
La tradición matemática oral
Los matemáticos de la India medieval antigua y temprana eran casi todo el sánscrito Pandits ( paṇḍita " de ; man" docto;), que fue entrenado en lengua sánscrita y literatura, y poseyó el " una acción ordinaria del conocimiento en la gramática ( '' {{IAST|vyākaraṇa}} '' ), exégesis ( '' {{IAST|mīmāṃsā}} '' ) y lógica ( '' nyāya '' ). "Estilos de la memorización
La energía de Prodigous fue expendida por la cultura india antigua en asegurarse de que estos textos fueron transmitidos de la generación a la generación con fidelidad excesiva. Por ejemplo, la memorización sagrado Vedas del 'incluyó hasta once formas de recitación del mismo texto. Los textos eran posteriormente " prueba-read" comparando las diversas versiones recitadas. Las formas de recitación incluyeron el jaṭā-pāṭha (literalmente " recitation" del acoplamiento;) en cuál fueron recitadas en su orden original, después repetidas en la orden reversa, y finalmente repetidas cada dos palabras adyacentes en el texto primero otra vez en la orden original. La recitación procedió así como: word1word2, word2word1, word1word2 del
" II. Después de dividir el cuadrilátero en siete, uno divide el transversal en three. En otra capa una coloca el North-pointing." Por ejemplo, el '' mantra '' (fórmula sacrificatoria) en el extremo del del annahoma de (" rite" de la alimento-oblación;) realizado durante el '' aśvamedha '' (" sacrifice" del caballo;), y pronunciado apenas antes, durante, y enseguida después de salida del sol, invoca energías de diez de ciento a un trillón:puesto que la declaración es un sūtra del, es necesario comprimida y lo que no se elabora el producto del de las cuerdas encendido, pero el contexto implica claramente las áreas cuadradas construidas en sus longitudes, y habría sido explicado tan por el profesor al estudiante. cuáles son casos particulares de las ecuaciones Diophantine . También contienen las declaraciones (de que con la retrospección que sabemos para ser aproximados) sobre el que ajusta el círculo y el " circundar el square."
Śulba Sūtras
considera también: Śulba Sūtras
El Śulba Sūtras del (literalmente, " Aforismos del Chords" en las reglas sánscritas védicas de la lista ) (C. 700-400 BCE) para la construcción de los altares sacrificatorios del fuego. La mayoría de los problemas matemáticos considerados en el resorte de Śulba Sūtras " un solo requisito teológico, " el de construir los altares del fuego que tienen diversas formas pero ocupan la misma área. Los altares fueron requeridos para ser construidos de cinco capas de ladrillo quemado, con la condición posterior que cada capa consiste en 200 ladrillos y que tienen ningunas dos capas adyacentes arreglos congruentes de bricks.
El Baudhayana (siglo VIII BCE de la C.) compuso el Baudhayana Sulba Sutra, el más conocido Sulba Sutra, que contiene ejemplos de triples pitagóricos simples, por ejemplo: , , , , y así como una declaración del teorema pitagórico para los lados de un cuadrado: " La cuerda que se estira a través de la diagonal de un cuadrado produce tamaño doble del área el del square." original;
La fórmula es hasta cinco lugares decimales exactos, el valor verdadero que es esta es similar en estructura a la fórmula encontró en una tableta mesopotámica a partir del viejo período babilónico ( 1900-1600 BCE ): " contiene quince triples pitagóricos con las entradas absolutamente grandes, incluyendo (13500, 12709, 18541) que es un triple primitivo, indicando, particularmente, que había comprensión sofisticada en el topic" en Mesopotamia en el 1850 BCE . " Desde estas tabletas preceder el período de Sulbasutras por varios siglos, considerando el aspecto del contexto de algunos de los triples, él es razonable contar con que la comprensión similar esté allí en India." Dani se enciende decir:
" del
; Como el objetivo principal del Sulvasutras era describir las construcciones de altares y los principios geométricos implicados en ellos, el tema de triples pitagóricos, incluso si había sido entendido bien pudieron sin embargo no haber ofrecido en el Sulvasutras . La ocurrencia de los triples en el Sulvasutras es comparable a las matemáticas que uno puede encontrar en un libro introductorio en arquitectura u otra área aplicada similar, y no correspondería directo al conocimiento total en el asunto en aquel momento. Puesto que, desafortunadamente, no se ha encontrado ningunas otras fuentes contemporáneas puede nunca ser posible colocar esta edición satisfactorily." El trabajo de Pingala también contiene las ideas básicas de los números de Fibonacci (llamados el maatraameru del ). Aunque el sutra de Chandah del no haya sobrevivido en su totalidad, un comentario del siglo X en él de Halāyudha tiene. Halāyudha, que refiere al triángulo de Pascal como Meru - prastāra (literalmente " del ; la escalera al " de Meru del montaje;), tiene esto a decir: " del; Dibujar un cuadrado. Comenzando en la mitad del cuadrado, dibujar dos otros cuadrados similares debajo de ella; debajo de estos dos, tres otros cuadrados, y así sucesivamente. La marca debe ser comenzada poniendo el 1 en el primer cuadrado. Poner el 1 en cada uno de los dos cuadrados de la segunda línea. En la tercera línea puesto 1 en los dos cuadrados en los extremos y, en el cuadrado medio, la suma de los dígitos en los dos cuadrados que mienten sobre ella. En la cuarta línea puesto 1 en los dos cuadrados en los extremos. En los medios poner la suma de los dígitos en los dos cuadrados sobre cada uno. Proceder de esta manera. De estas líneas, el segundo da las combinaciones con una sílaba, el tercero las combinaciones con dos sílabas,… "El comentario matemático más temprano de la prosa estaba ése en el trabajo, {{IAST|Āryabhaṭīya}} (escrito 499 el CE), un trabajo en astronomía y matemáticas. La porción matemática del Āryabhaṭīya fue compuesto de 33 sūtras del (en forma de verso) que consistían en declaraciones matemáticas o reglas, pero sin ningunas pruebas. Sin embargo, según, " esto no significa necesario que sus autores no las probaron. Era probablemente una cuestión de estilo de exposition." Desde el Bhaskara I (600 CE hacia adelante), comentarios de la prosa comenzó cada vez más a incluir algunas derivaciones (upapatti del ). Comentario de Bhaskara i en el Āryabhaṭīya, tenía la estructura siguiente:
Números y el sistema de numeración decimal
La escritura existante más temprana usada en la India era el {{IAST|Escritura de Kharoṣṭhī}} usada en la cultura de Gandhara del noroeste. Está probablemente de origen arameo y era funcionando a partir del siglo IV BCE al CE del siglo IV. Casi contemporáneo, otra escritura, el Brahmi, aparecido en mucho del subcontinente, y se convirtió en más adelante la fundación de muchas escrituras de Asia del Sur y de Asia suroriental. Ambas escrituras tenían símbolos numéricos y los sistemas de numeración, que eran inicialmente el no basaron en un sistema del lugar-valor. La primera evidencia fechable del uso del sistema decimal del lugar-valor en la India se encuentra en el '' Yavanajātaka '' (CE CA 270) de Sphujidhvaja, una versificación (CE del CA 150) de una adaptación india anterior de la prosa de un trabajo perdido de la astrología helenística.
Manuscrito de Bakhshali
El manuscrito matemático existante más viejo de Asia del Sur es el manuscrito, un manuscrito de Bakhshali de la corteza de abedul escrito en " Sanskrit" híbrido budista; El manuscrito fue descubierto en 1881 por un granjero mientras que cavaba en un recinto de piedra en la aldea de Bakhshali, cerca Peshawar (entonces en el la India británica y ahora en el Paquistán ). De la profesión de escritor desconocida y ahora preservado en la biblioteca de Bodleian en la Universidad de Oxford, el manuscrito ha sido vario dated— desde el " siglos tempranos del era" cristiano; y tan tarde como entre el CE del 9no y siglo XII. El CE del siglo VII ahora se considera una fecha plausible, no obstante con la probabilidad que el " el manuscrito en su forma actual constituye un comentario o una copia de un work." matemático anterior;El manuscrito de la supervivencia tiene setenta hojas, algunas cuyo estar en fragmentos. Su contenido matemático consiste en las reglas y los ejemplos, escritos en verso, junto con los comentarios de la prosa, que incluyen soluciones al examples.
El comentario de la prosa que acompaña el ejemplo soluciona el problema convirtiéndolo a tres ecuaciones (debajo-resueltas) en cuatro desconocido y si se asume que los precios son todos los números enteros. Esta división tripartita se considera en compilation&mdash del siglo VI de de Varāhamihira; Pancasiddhantika (literalmente panca, " del ; cinco, " siddhānta, " del ; conclusión del deliberation", &mdash anticuado del CE 575 ); de cinco trabajos anteriores, de Surya Siddhanta, de Romaka Siddhanta, de Paulisa Siddhanta, de Vasishtha Siddhanta y de Paitamaha Siddhanta, que eran adaptaciones de trabajos anteriores inmóviles de la astronomía mesopotámica, griega, egipcia, romana e india. Según lo explicado anterior, los textos principales fueron compuestos en verso sánscrito, y seguidos por comentarios de la prosa. Utiliza el siguiente como funciones trigonométricas por primera vez:
Seno ( Jya ).
Coseno ( Kojya ).
Seno inverso (jya de Otkram del ).
También contiene las aplicaciones más tempranas de:
Tangente .
que los ciclos cosmológicos hindúes del tiempo explicados en el texto, que fue copiado de un trabajo anterior, dan: La longitud media del año sideral como 365.2563627 días, que es solamente 1.4 segundos más de largo que el valor moderno de 365.
La longitud media del año tropical como 365.2421756 días, que es solamente 2 segundos más corto que el valor moderno de 365.
Matemáticos indios posteriores tales como Aryabhata hicieron referencias a este texto, mientras que el posterior las traducciones latinas árabes de y era muy influyente en Europa y el Oriente Medio.
; Calendario de Chhedi
Este calendario de Chhedi (594) contiene un uso temprano del sistema de numeración Hindú-Árabe moderno del Lugar-valor ahora usado universal (véase también los números Hindú-Árabes ).
; Aryabhata I
El Aryabhata (476-550) escribió el Aryabhatiya. él describió los principios fundamentales importantes de matemáticas en 332 el Shlokas . El tratado contenido:
Ecuaciones cuadráticos * trigonometría
El valor del π, corrige a 4 lugares decimales.
Aryabhata también escribió el Arya Siddhanta, que ahora se pierde. Las contribuciones de Aryabhata incluyen:
Trigonometría:
Introdujo las funciones trigonométricas
Definió el seno (jya del ) como la relación moderna entre la mitad de un ángulo y la mitad de un acorde.
Definió el coseno (kojya del ).
Definió el Versine (ukramajya del ).
Definió el seno inverso (jya del otkram del ).
Dio métodos de calcular sus valores numéricos aproximados.
Contiene las tablas más tempranas de valores del seno, del coseno y del versine, en los intervalos 3.75° de 0° hasta el 90°, a 4 lugares decimales de exactitud.
Contiene el pecado trigonométrico del de la fórmula (n + 1) x - nx del pecado = nx del pecado - el pecado (n - 1) x - (1/225) nx del pecado.
Trigonometría esférica .
Aritmética:
Fracciones continuas
Álgebra:
Soluciones de ecuaciones cuadráticos simultáneas.
Soluciones del número entero de las ecuaciones lineares por un método equivalente al método moderno.
Solución general de la ecuación linear indeterminada.
Astronomía matemática:
Propuesta por primera vez, una Sistema Solar heliocéntrico con los planetas que hacen girar en su disminuye y el siguiente de una órbita elíptica alrededor del Sun.
Cálculos exactos para los constantes astronómicos, tales como: Eclipse solar .
La fórmula para la suma cubica, que era un paso importante en el desarrollo del cálculo integral.
Cálculo:
Infinitesimals En el curso de desarrollar un trazado exacto del eclipse lunar, Aryabhatta fue obligado para introducir el concepto de infinitesimals (gati del tatkalika del ) para señalar el movimiento instantáneo cercano de la luna.
Ecuaciones diferenciales Él expresó el movimiento instantáneo cercano de la luna bajo la forma de ecuación diferencial básica. Brahmagupta, en su astronómico del del trabajo {{IAST|Brāhma Sphuṭa Siddhānta}} (CE 628), incluido dos capítulos (12 y 18) dedicados a estos campos. El capítulo 12, conteniendo 66 versos sánscritos, fue dividido en dos secciones: " operations" básico; (raíces cúbicas incluyendo, fracciones, cociente y proporción, y trueque) y " mathematics" práctico; (mezcla incluyendo, serie matemática, figuras planas, apilando ladrillos, aserrar de la madera, y llenar del grano). En la 3ultima sección, él indicó su teorema famoso en las diagonales de un cuadrilátero cíclico :
El capítulo 18 contuvo 103 versos sánscritos que comenzaron con las reglas para las operaciones aritméticas que implicaban los números cero y negativos}}
Esto es equivalente a: = \ frac {\ raíz cuadrada {4ac+b^2} - b} {2a} del