Matriz de DFT - Enciclopedia España

Una matriz DFT es una expresión de un del que Fourier discreto transforma (DFT) como multiplicación de la matriz.

Definición

Un N - punto DFT se expresa como N - por la multiplicación de la matriz del N como

X = W x

, donde está la señal

x

de entrada original, y

X

es el DFT de la señal.

La matriz W del nxn del tamaño, se puede describir como matriz de Vandermonde: $W=V (w)$ donde está un vector w con el coordenada del th del i es = \ omega_n^i, la nth raíz del w_i del $de la unidad . El Fourier rápido transforma algoritmos de utiliza las simetrías de la matriz para reducir la época de multiplicar un vector por esta matriz, del O generalmente (N^2) . Las técnicas similares pueden ser aplicadas para las multiplicaciones por las matrices tales como matriz de Hadamard y la matriz de Walsh.$

Casos especiales

El DFT de tres puntos tiene una significación especial, e. como los componentes simétricos transforman (SCT) papel de s 1918 de Fortescue Legeyt Charles de ', que define el equilibrio trifásico, es decir las roturas 3-DFT una señal para arriba en un componente de la C., así como dos componentes de CA, el uno que va a la derecha, y el otro contador que va a la derecha.

Ejemplos

Dos-punto

El dos-punto DFT es un caso simple, en el cual la primera entrada es la C. (suma) y la segunda entrada es la CA (diferencia).

${2} de 1 y de -1 \ extremo {bmatrix}$

La primera fila realiza la suma, y la segunda fila realiza la diferencia.

El factor de $1/\ de la raíz cuadrada {2}$ es hacer la transformación unitaria (véase abajo).

Cuatro-punto

La matriz del cuatro-punto DFT es como sigue:

\ frac {1} {2} \ comenzar {el bmatrix} 1 y 1 y 1 y 1 \ \ 1 &-i &-1 y de i \ \ \ de 1 y de -1& 1 &-1 \ 1 y &-i de i &-1 \ extremo {bmatrix}

Ocho-punto

La primera energía no trivial del número entero del caso dos está para 8 puntos:

W= \ frac {1} {\ raíz cuadrada {8}} \ comenzar {el bmatrix} \ omega^0 y \ omega^0 y \ omega^0 y \ \ y \ omega^0 de los ldots \ \ omega^0 y \ omega^1 y \ omega^2 y \ \ y \ omega^7 de los ldots \ \ omega^0 y \ omega^2 y \ omega^4 y \ ldots y \ del omega^ {14} \ \ \ omega^0 y \ omega^3 y \ omega^6 y \ ldots y \ del omega^ {21} \ \ \ omega^0 y \ omega^4 y \ omega^8 y \ ldots y \ del omega^ {28} \ \ \ omega^0 y \ omega^5 y \ omega^ {10} y \ ldots y \ del omega^ {35} \ \ \ vdots y y \ vdots y \ ddots y \ de los vdots \ \ \ omega^0 y \ omega^7 y \ omega^ {14} y \ ldots y \ del omega^ {49} \ \ \ extremo {bmatrix}

donde $\ Omega = e^ del l {- \ frac {2 \ pi i} {8}} = \ - \ frac {i} {\ raíz cuadrada {2}}$ del frac {1} {\ raíz cuadrada {2}}

La imagen siguiente representa el DFT como una matriz se multiplica, con los elementos de la matriz representada por las muestras de exponentials complejos:

La parte real (onda de coseno) es denotada por una línea llena, y la parte imaginaria por una línea (punteada) rayada.

La fila superior es todas las (escalado por $1/\ la raíz cuadrada {8}$ para el unitarity), tan él " measures" el componente de la C. en la señal de entrada. La fila siguiente es ocho muestras del ciclo de un exponencial complejo, es decir una señal de la negativa una con una frecuencia fraccionaria de -1/8, tan él " measures" cuánto " strength" hay en la frecuencia fraccionaria +1/8 en la señal. Recordar que un filtro emparejado compara la señal con una versión invertida tiempo de lo que estamos buscando, así que cuando estamos buscando el fracfreq. 1/8 que comparamos con el fracfreq. −1/8 de modo que sea porqué esta fila es una frecuencia negativa . La fila siguiente es dos ciclos negativos de un exponencial complejo, muestreados en ocho lugares, así que tiene una frecuencia fraccionaria de −1/4, y así " measures" el grado a el cual la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +1/4.

Lo que sigue resume cómo los trabajos de 8 puntos DFT, fila por fila, en términos de frecuencia fraccionaria:
0 mide cuánto C. está en la señal
−1/8 mide cuánto de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +1/8
−1/4 mide cuánto de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +1/4
−3/8 mide cuánto de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +3/8
−1/2 mide cuánto de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +1/2
−5/8 mide cuánto de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +5/8
−3/4 mide cuánto de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +3/4
−7/8 mide cuánto de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +7/8

Equivalente la fila pasada se puede decir para tener una frecuencia fraccionaria de +1/8 y medir así cuánto de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de −1/8. de esta manera, podría ser dicho que las filas superiores del " de la matriz; measure" el contenido positivo de la frecuencia en la señal y las filas inferiores miden el componente negativo de la frecuencia en la señal.

Generalizado

W= \ frac {1} {\ raíz cuadrada {N}} \ comenzar {el bmatrix} \ y \ omega^ {0 \ cdot 1} del omega^ {0 \ cdot 0} y \ y \ omega^ {0 \ cdot (n-1) de los ldots}  \ \ \ y \ omega^ {1 \ cdot 1} del omega^ {1 \ cdot 0} y \ y \ omega^ {1 \ cdot (n-1) de los ldots}  \ \ \ vdots y \ vdots y \ ddots y \ de los vdots \ \ \ omega^ {(n-1) \ cdot 0} y \ omega^ {(n-1) \ cdot 1} y \ ldots y \ omega^ {(n-1) \ cdot (n-1)} \ \ \ extremo {bmatrix}

donde está la primera raíz el $\ Omega = el e^ {- \ frac {2 \ pi i} {N}}$ negativa del th '' N '' de la unidad (es decir la primera raíz de la unidad en la dirección de la frecuencia negativa ).

La convención es entrar en una dirección negativa puesto que el DFT se piensa ordinariamente en como un filtro emparejado, es decir cuando busca una frecuencia de +1, una correlaciona la señal entrante con una frecuencia de −1. Así cada fila de la matriz es una exponencial complejo muestreado de la frecuencia negativa, de que mide la fuerza de señal positiva correspondiente de la frecuencia en la señal bajo análisis.

Observar que el factor de la normalización delante de la suma ( $1/\ raíz cuadrada {N}$ ) y la muestra del exponente es simplemente convenciones, y diferenciar en algunos tratamientos. Toda la discusión de siguiente se aplica sin importar la convención, con a lo más ajustes de menor importancia. La única cosa importante es que el delantero y lo contrario transforma tienen exponentes de la opuesto-muestra, y que el producto de sus factores de la normalización sea 1 N . Sin embargo, el $1/\ la raíz cuadrada {N}$ es preferred, puesto que define la transformación como unitario transforma, y la matriz resultante de DFT es una matriz unitaria .

Unitario transformar

El DFT es (o puede estar, con la selección apropiada de escalamiento) un unitario transforma, es decir uno que preserve energía. La opción apropiada del escalamiento para alcanzar unitarity es

1/\ la raíz cuadrada {N}

, de modo que la energía en el dominio físico sea igual que la energía en el dominio de Fourier, es decir para satisfacer el teorema de Parseval. (Otro, non-unitary, escalamientos, es también de uso general para la conveniencia de cómputo; e. las tomas del teorema de la circunvolución en una forma levemente más simple con el escalamiento demostrado en el Fourier discreto transforman el artículo de .)

Otras características

Para otras características de la matriz de DFT, incluyendo sus valores propios, la conexión a las circunvoluciones, usos, y así sucesivamente, considera el Fourier discreto transformar el artículo de .

En el límite: El operador de Fourier

Zenithic

Bud Olson

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