En las estadísticas y la teoría de las probabilidades, la matriz de covariación del es una matriz de las covariaciones entre los elementos de un vector. Es la generalización natural a dimensiones más altas del concepto de la variación de un escalar - variable al azar valorada .

Definición

Si las entradas en la columna vector el $X del l = \ comienza {bmatrix} X_1 \ \ \ \ \ X_n \ extremo {bmatrix}$ de los vdots

son las variables al azar cada uno con la variación finita, entonces el &Sigma de la matriz de covariación; es la matriz cuyo (el i, la entrada del j ) es la covariación

$\ Sigma_ {ij}$

\ el mathrm {E} \ comienza {el bmatrix}

(X_i - \ mu_i) (- \ mu_j de X_j) \ extremo {bmatrix}

donde

$\ mu_i = \ mathrm {E} () \, de X_i$

es el valor previsto de la entrada del th del i en el X del vector. Es decir tenemos

$\ Sigma$

\ comenzar {el bmatrix}

\ - \ mu_1) (X_1 - \ mu_1) del mathrm {E} y \ - \ mu_1) (X_2 - \ mu_2) del mathrm {E} y \ cdots y \ \ - \ mu_1 del mathrm {E}) (de X_n - \ mu_n) \ \ \ \ - \ mu_2) (X_1 - \ mu_1) del mathrm {E} y \ - \ mu_2) (X_2 - \ mu_2) del mathrm {E} y \ cdots y \ \ - \ mu_2 del mathrm {E}) (de X_n - \ mu_n) \ \ \ \ vdots y \ vdots y \ ddots y \ de los vdots \ \ \ \ \ - \ mu_n) (X_1 - \ mu_1) del mathrm {E} y \ - \ mu_n) (X_2 - \ mu_2) del mathrm {E} y \ cdots y \ - \ mu_n) (- \ mu_n del mathrm {E} de X_n) \ extremo {bmatrix}.

Como generalización de la variación

La definición antedicha es equivalente a la igualdad de la matriz

$\ Sigma= \ mathrm {E} \ ido \ ido ( \ - \ mathrm {E} del textbf {X} \ derecho) \ ido ( \ - \ mathrm {E} del textbf {X} \) ^ \ tapa correctos \ derecho]$

Esta forma se puede considerar como generalización de la variación escalar-valorada a dimensiones más altas. Recordar eso para un escalar-valorado X de la variable al azar

$\ sigma^2 = \ mathrm {var} (x)$

\, \, del mathrm {E}

donde $\ MU del l = \ mathrm {E} (x). \,$

Nomenclaturas en conflicto y notaciones

Las nomenclaturas diferencian. Algunos estadísticos, siguiendo al Feller probabilistico de Guillermo, llaman esta matriz la variación del vector al azar

X

, porque es la generalización natural a dimensiones más altas de la variación de 1 dimensión. Otros lo llaman la matriz de covariación del, porque es la matriz de covariaciones entre los componentes escalares del vector

X

. Así

del \ operatorname {var} (\ textbf {X})

\ operatorname {cov} (\ textbf {X})

\ mathrm {E} \ ido (\ - \ mathrm {E} del textbf {X}) (\ - \ mathrm {E} del textbf {X}) ^ \ tapa \ derecho]

Sin embargo, la notación para el " cruz-covariance" el entre los vectores de dos es estándar:

$\, \ textbf {Y} del operatorname {cov} (\ textbf {X})$

\ mathrm {E} \ ido (\ - \ mathrm {E} del textbf {X}) (\ - \ mathrm {E} del textbf {Y}) ^ \ tapa \ derecho]

La notación de $var$ se encuentra en del libro del dos-volumen del Feller de Guillermo una introducción a la teoría de las probabilidades y a sus usos, pero ambas formas son absolutamente estándar y no hay ambigüedad entre ellos.

Características

Para

) \ dejado (\ del textbf {X} \ derecho) ^ \ tapa \]

derecho y

\ MU = \ mathrm {E} (\ textbf {X})

que las características básicas siguientes se aplican:

\ sigma = \ - \ mathbf del mathrm {E} (\ mathbf {X X^ \ tapa}) {\ MU} \

del mathbf {\ mu^ \ tapa}

el

\ el mathbf {\ sigma}

semi-definite positivo del

\ operatorname {var} (\ + \ mathbf {a} del mathbf {A X}) = \ mathbf {A} \, \ operatorname {var} (\) \, del mathbf {X} \

del mathbf {A^ \ tapa}

, \ mathbf {Y} del

\ del operatorname {cov} (\ mathbf {X}) = \, \ mathbf {X} del operatorname {cov} (\ mathbf {Y})

del ^ \ top

, \ mathbf {Y} del

\ del operatorname {cov} (\ + \ mathbf {X_2} del mathbf {X_1}) = \, \ mathbf {Y} del operatorname {cov} (\ mathbf {X_1}) + \, \ mathbf {Y} del operatorname {cov} (\ mathbf {X_2})

de

Si p = q, entonces = \ operatorname {var} del

\ del operatorname {var} (\ + \ mathbf {Y} del mathbf {X}) (\ mathbf {X}) + \, \ mathbf {Y} del operatorname {cov} (\ mathbf {X}) + \, \ mathbf {X} del operatorname {cov} (\ mathbf {Y}) + \

del operatorname {var} (\ mathbf {Y})

\ operatorname {cov} (\ mathbf {HACHA}, \ mathbf {CERCA}) = \ mathbf {} \, \ operatorname {cov} de A (\ mathbf {X}, \) \, del mathbf {Y} \

del ^ \ top

del mathbf {B} Si el

\ el mathbf {X}

\ el mathbf {Y}

son independientes, entonces, \ mathbf {Y} del

\ del operatorname {cov} (\ mathbf {X}) = 0

donde está un $\ un mathbf, \ mathbf {X_1}$ y $\ mathbf {X_2}$ del $\ del mathbf {X} al azar {(p \ las épocas 1)} vectores de$ , el $\ el mathbf {Y}$ es un $\ un mathbf al azar {(q \ las épocas 1)} el vector de$ , $\ mathbf {a}$ es $\ mathbf {(p \ las épocas 1)} el vector, el \ el mathbf de {A}$ y $\ el mathbf {B}$ son $\ mathbf {(p \ las épocas q)}matrices de$ .

Esta matriz de covariación (sin embargo muy simple) es una herramienta muy útil en muchas áreas muy diversas. De ella una matriz de la transformación se puede derivar que no prohiba a uno totalmente al decorrelate los datos o, de un diverso punto de vista, para encontrar una base óptima para representar los datos de una manera compacta (véase el cociente de Rayleigh para una prueba formal y las características adicionales de las matrices de covariación). Esto se llama el análisis de componentes principales (PCA) en estadísticas y el Karhunen-Loève transforma (Kilolitro-transformar) en el tratamiento de la imagen .

Qué matrices son matrices de covariación

De la identidad

$\ operatorname {var} (\ mathbf {} \ mathbf {X} del a^ \ de la tapa) = \ mathbf {a^ \ tapa} \ operatorname {var} (\ mathbf {X}) \ mathbf {} \, de a$

y el hecho de que la variación de cualquier variable al azar con valores reales sea no negativa, sigue inmediatamente que solamente una matriz no negativo-definida puede ser una matriz de covariación. La pregunta inversa es si el cada matriz simétrica no negativo-definida de es una matriz de covariación. La respuesta es " yes". Para ver esto, suponer que el M es × del p un ; matriz simétrica no negativo-definida del p . Del caso finito-dimensional del teorema espectral, sigue que el M tiene una raíz cuadrada simétrica no negativa, que nos dejó llamar el M ^1/2. Dejar el $\ el mathbf {X}$ sea cualquier × del p ; 1 columna vector-valoró la variable al azar cuya matriz de covariación es los × del p ; matriz de identidad del p . Entonces $\ operatorname del l {var} (M^ {} \ mathbf {X} del 1/2) = M^ {el 1/2} (\ operatorname {var} (\ mathbf {X})) M^ {el 1/2} = M. \,$

Vectores al azar complejos

La variación de una variable al azar escalar-valorada compleja con el μ del valor previsto se define convencionalmente usar la conjugación compleja :

$\ operatorname {var} (z)$

\ operatorname {E} \ ido (z \ MU) (z \ MU) ^ {*} \ derecho]

donde está el $z^ la conjugación compleja de un número complejo z denotado {*}$ .

Si $Z$ es un columna-vector de variables al azar complejo-valoradas, después tomamos la conjugación transportamos por el ambos que transportan y que conjugan, consiguiendo una matriz cuadrada:

$\ operatorname {E} \ ido (Z \ MU) (z \ MU) ^ {*} \ derecho]$

donde el $Z^ {*}$ denota la conjugación transportar, que es aplicable al caso escalar puesto que la transposición de un escalar sigue siendo un escalar.

El látex proporciona las características útiles para ocuparse de las matrices de covariación. Éstos están disponibles a través del paquete de Extendedmath.

Valoración

La derivación del perito de la probabilidad máxima de la matriz de covariación de un de distribución normal multivariante es quizás asombrosamente sutil. Implica el teorema espectral y la razón por la que puede ser mejor ver un escalar como el rastro de los × un 1; 1 matriz que como escalar mero. Ver la valoración de las matrices de covariación .

Lectura adicional

Matriz de covariación en el MathWorld
van Kampen, procesos estocásticos del del N. en la física y la química . Nueva York: Norte-Holanda, 1981.

Ver también

Valoración de las matrices de covariación
Estadísticas multivariantes
Matriz de covariación de la muestra

Zenithic

Shane Byrne (motorcycle racer)

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