Matriz de la rotación - Enciclopedia España

En la teoría de matriz, una matriz de la rotación del es una matriz cuadrada verdadero cuyo transporta es su inverso y cuyo determinante es el $del de +1. \ comienza {alinear} Q^ {T} Q y {} = de I = de Q Q^ {T} \ \ \ det Q y {} = +1 \ extremo {alinear}$ Es decir es una matriz ortogonal especial verdadero. El nombre refiere al hecho de que una matriz de la rotación del n del × del n corresponde a una rotación geométrica sobre un origen fijo en un espacio euclidiano dimensional del n, o equivalente, a una rotación de un espacio de vector verdadero dimensional n equipada de un producto interno euclidiano. Por ejemplo, el $de la rotación 3×3 Q = \ comienza {bmatrix} 0.8 y 0 0 \ \ 0 y 0 y 1 \ extremo {bmatrix}$ \ \ 0.6 y corresponde a una rotación de aproximadamente 53° alrededor del eje del z en espacio tridimensional.

Ejemplos

ol-comenzar ol-1-of-2

del de la matriz de la rotación del

The 2×2 Q = \ comienza {bmatrix} 0 y -1 \ \ 1 y 0 \ extremo {bmatrix} corresponde a un rotation.

The transporta del $del de la matriz 2×2 M = \ comienza {bmatrix} 0.936 \ extremo {bmatrix}$ es su lo contrario, pero puesto que su determinante es −1 esto no es una matriz de la rotación; es una reflexión a través de la línea 11 del y ; = 2 x .
The 3×3 rotación matriz

${3}} {2} y \ frac12 \ \ 0 y - \ frac12 y \ frac {\ raíz cuadrada {3}} {2} \ extremo {bmatrix}$ corresponde a una rotación de −30° alrededor del eje del x en space.

el $del de la matriz de la rotación del$

The 3×3 Q = \ comienza {bmatrix} 0.60 \ extremo {bmatrix} \ \ -0.60 y corresponde a una rotación de aproximadamente 74° alrededor del eje (−¹⁄ ₃, ²⁄ ₃, ²⁄ ₃) en space.

el $del de la matriz de la permutación del$

The 3×3 P = \ comienza {bmatrix} 0 y 0 y 1 0 \ \ 0 y 1 y 0 \ extremo {bmatrix} \ \ 1 y 0 y está también una matriz de la rotación, al igual que la matriz de cualquier permutación incluso (pero nunca de cualquie permutación impar).

ol-2-of-2

del de la matriz del

The 3×3 M = \ comienza {bmatrix} 3 y -4 y 1 \ \ 5 y 3 y -7 \ \ -9 y 2 y 6 \ extremo {bmatrix} tiene determinante +1, pero su transportar no es su lo contrario, así que no es una rotación matrix.

el $del de la matriz del$

The 4×3 M = \ comienza {bmatrix} 0.1 \ extremo {bmatrix} \ \ -0.5 y y no es cuadrada, y así que no puede ser una matriz de la rotación; con todo el Q del T del ^{del Q rinde una matriz de identidad 3×3 (las columnas son ortonormales).}

el $del de la matriz de la rotación del$

The 4×4 Q = \ comienza {bmatrix} -1 y 0 y 0 y 0 0 y 0 -1 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y -1 \ extremo {bmatrix} \ \ 0 y 0 \ \ 0 y -1 y y no tiene ninguÌn eje de la rotación; invierte la dirección de cada vector.
el $del de la matriz de la rotación del$
The 5×5 Q = \ comienza {bmatrix} 0 y -1 y 0 y 0 y 0 0 y 0 y 0 -1 y 0 y 0 0 y -1 y 0 \ \ 0 y 0 y 0 y 0 y 1 \ extremo {bmatrix} \ \ 0 y 0 \ \ 0 y 0 \ \ 1 y 0 y y y gira vectores en el plano de las primeras dos hachas coordinadas el 90°, gira vectores en el plano de las dos hachas siguientes 180°, y deja el eje coordinado pasado impasible.

ol-fin

Geometría

En la geometría euclidiana, una rotación es un ejemplo de un Isometry, una transformación que mueva puntos sin el cambio de las distancias entre ellas. Las rotaciones son distinguidas de otros isometries por dos características adicionales: salen (por lo menos) de un punto fijado, y salen del " handedness" sin cambiar. Por el contrario, los movimientos de la traducción un cada punto, una reflexión intercambian ordenar izquierda y derecha, y una reflexión de deslizamiento hace ambos.

Si tomamos el punto fijo como el origen de un sistema coordinado de cartesiano, después cada punto se puede dar coordenadas como dislocación del origen. Así podemos trabajar con el espacio de vector de dislocaciones en vez de los puntos ellos mismos. Ahora suponer que (el p ₁,…, n del _{del p ) son los coordenadas del p del origen, O del vector, señalar el P . Elegir una base ortonormal para nuestros coordenadas; entonces la distancia ajustada al P, por el Pythagoras, es el $d^2 (O del, P) = \| \ en negrilla {de p} \|¡^2 = p_1^2 + \ cdots + p_n^2, \, \!$ cuál podemos computar usar el $de la matriz \| \ en negrilla {de p} \|^2 = \ comienzan {bmatrix} p_1 \ el p_n de los cdots \ el extremo {bmatrix} \ comienzan {bmatrix} p_1 \ \ \ \ \ p_n \ extremo {bmatrix} de los vdots = \ el ^T {p} \ en negrilla en negrilla {p}.$}

Una rotación geométrica transforma líneas a las líneas, y preserva cocientes de distancias entre los puntos. De estas características podemos demostrar que una rotación es un la transformación linear de los vectores, y podemos ser escritos así en la forma de la matriz, p del Q. ¡Hecho de que los cotos de una rotación, no apenas cocientes, pero se distancien, podemos indicar como $del \ el ^T {p} \ en negrilla en negrilla {p} = (Q \ en negrilla {p}), \, \! del ^T (Q \ en negrilla {p})$ o el $del \ comienza {alinear} \ ^T en negrilla {p} I \ en negrilla {p} y {} = (\ ^T en negrilla {p} Q^T) (Q \ en negrilla {p}) \ \ y {} = \ ^T {p} (Q^T Q) \ en negrilla en negrilla {p}. \ extremo {alinear}$ ¡Porque esta ecuación se sostiene para todos los vectores, p, concluimos que cada matriz de la rotación, Q, satisface la condición de la ortogonalidad del, el $Q^T del Q = I. \, \!$ ¡Uso de las manos porque no pueden cambiar ordenar de las hachas, que implica la condición especial de la matriz del, $del \ det del coto de las rotaciones Q = +1. \, \!$ Igualmente importante, podemos demostrar que cualquier matriz que satisface estos dos condiciona actúa como rotación.

Multiplicación

Lo contrario de una matriz de la rotación es su transporta, que es también una matriz de la rotación: el

del \ comienza {alinear} (Q^T)^T (Q^T) y {} = Q Q^T = I \ \ \ det Q^T y {} = \ det Q = +1 \ extremo {alinear}

El producto de dos matrices de la rotación es una matriz de la rotación: el

del \ comienza {alinear} (Q_1 Q_2) ^T (Q_1 Q_2) y {} = Q_2^T (Q_1^T Q_1) de Q_2 = de I \ \ \ det (Q_1 Q_2) y {} = (\ det Q_1) (\ det Q_2) = +1 \ extremo {alinear}

Para el n mayor de 2, multiplicación de las matrices de la rotación del n del × del n no es comutativo. el

del \ comienza {alinear} Q_1 y {} = \ comienzan {bmatrix} 0 y -1 y 0 0 \ \ 0 y 0 y 1 \ extremo {bmatrix} \ \ 1 y 0 y y Q_2 y {} = \ comienzan {bmatrix} 0 y 0 y 1 0 \ \ \ 0 y 1 y \ de -1 y de 0 y de 0 \ extremo {bmatrix} \ \ Q_1 Q_2 y {} = \ comienzan {bmatrix} 0 y -1 y 0 1 \ \ -1 y 0 y 0 \ extremo {bmatrix} \ \ 0 y 0 y y Q_2 Q_1 y {} = \ comienzan {bmatrix} 0 y 0 y 1 0 \ \ 0 y 1 y 0 \ extremo {el bmatrix} \ \ 1 y 0 y \ extremo {alinear}

Observando que cualquier matriz de identidad es una matriz de la rotación, y que la multiplicación de la matriz es el asociativo, podemos resumir todas estas características diciendo que las matrices de la rotación del n del × del n forman un grupo, que para el del n ; > 2 es el non- abeliano. Llamó un el grupo ortogonal especial, y denotado por ASÍ QUE (el n ), ASÍ QUE (el n, el R ), el n de SO_{, o el n} ( R ) de SO_{, el grupo de matrices de la rotación del n del × del n es isomorfo al grupo de rotaciones en un espacio dimensional del n . Esto significa que la multiplicación de las matrices de la rotación corresponde a la composición de rotaciones.
Ambigüedades
La interpretación de una matriz de la rotación puede estar conforme a muchas ambigüedades. ; El positivo o la rotación positiva negativa del
A del
del sentido puede significar el a la derecha o el contrario. ; La fila o la columna vectors el
A del
que la matriz cuadrada puede multiplicar un vector de la columna o un vector de fila . ; Alias o el de la transformación de la coartada el cambio en los coordenadas de un vector puede indicar una vuelta del sistema coordinado (alias) o una vuelta del vector (coartada). ; La derecha o
zurdo del
de los coordenadas la matriz pueden estar con respecto a un derecho o al sistema coordinado zurdo. ; La fila o los elementos de matriz columna-principales del del almacenaje se pueden almacenar en memoria de computadora en la orden Fila-principal o la orden columna-principal, dependiendo del lenguaje de programación y API . ; El mundo o el cuerpo disminuye el que las hachas coordinadas pueden ser fijas o girar con un cuerpo. ; Los coordenadas homogéneos de la representación del
cartesiano u homogéneo del
llevan una dimensión adicional comparada a los coordenadas cartesianos para permitir más flexibilidad. ; Los vectores o el de las formas el espacio de vector tiene un espacio dual de las formas lineares y la matriz puede actuar en vectores o formas.
En la mayoría de los casos el efecto de la ambigüedad es transportar o invertir la matriz.

Descomposiciones
Planos independientes
Considerar el $del de la matriz de la rotación 3×3 Q = \ comenzar {bmatrix} 0.60 \ extremo {bmatrix} \ \ -0.$ Si el Q actúa en cierta dirección, v, puramente como escalamiento por un &lambda del factor; ¡, entonces tenemos $Q \ {v} = en negrilla \ lambda \ {v}, en negrilla \, \! del$ de modo que $del \ en negrilla {0} = (\ lambda I - Q) \ en negrilla {v}. ¡\, \!$ Así λ es una raíz del polinomio característico para el Q, $del \ comienza {alinear} 0 y {} = \ del det (\ lambda I - Q) \ \ y {} = \ lambda^3 - \ tfrac {39} {25} \ lambda^2 + \ tfrac {39} {25} \ lambda - 1 \ \ y {} = (\ lambda-1) (\ lambda^2 - \ tfrac {14} {25} \ lambda + 1) \ extremo {alinear}$ Dos características son significativas. Primero, una de las raíces (o los valores propios es 1, que nos dice que una cierta dirección es inafectada por la matriz. Para las rotaciones en tres dimensiones, éste es el eje del de la rotación (un concepto que no tiene ninguÌn significado en ninguna otra dimensión). En segundo lugar, las otras dos raíces son pares de conjugaciones complejas, cuyo producto es 1 (el término constante de la ecuación cuadrática), y cuya suma es 2 cos θ (el término linear negado). Esta facturización está de interés para las matrices de la rotación 3×3 porque la misma cosa ocurre para todos. (Como casos especiales, para una rotación nula el " conjugates" complejo; es ambo 1, y para una rotación 180° que son ambos −1.) además, una facturización similar se sostiene para cualquier matriz de la rotación del n del × del n . Si la dimensión, n, es impar, habrá un " dangling" valor propio de 1; y para cualquie dimensión el resto de los factores polinómicos en términos cuadráticos como el aquí (con los dos casos especiales conocidos). Nos garantizan que el polinomio característico tendrá valores propios del n y así del n del grado. Y puesto que una matriz de la rotación conmuta con su transportar, él es una matriz normal, así que puede diagonalized. Concluimos que cada matriz de la rotación, cuando están expresados en un sistema coordinado conveniente, las particiones en rotaciones independientes de los subespacios de dos dimensiones, a lo más n &frasl del ^{; ₂ de ellos. La suma de las entradas en la diagonal principal de una matriz se llama el rastro ; no cambia si reorientamos el sistema coordinado, e iguala siempre la suma de los valores propios. Esto tiene la implicación conveniente para las matrices que el rastro revela el ángulo de la rotación, &theta de la rotación 2×2 y 3×3;, en el espacio (sub-) de dos dimensiones. Para una matriz 2×2 el rastro es 2 lechuga romana (θ), y para una matriz 3×3 es 1+2 lechuga romana (θ). En el caso tridimensional, el subespacio consiste en todos los vectores perpendiculares al eje de rotación (la dirección invariante, con el valor propio 1). Así podemos extraer de cualquier matriz de la rotación 3×3 un eje de rotación y un ángulo, y éstos determinan totalmente la rotación.

Ángulos secuenciales
Los apremios en una matriz de la rotación 2×2 implican que debe hacer que = \ comience del $Q del de la forma {bmatrix} a y - \ \ b y a \ extremo {bmatrix}$ de b con el un b ² de ²+; = 1. Por lo tanto podemos fijar el un de ; = cos θ y del b ; = sin θ, para alguÌn &theta del ángulo;. Para solucionar para el θ no es bastante para mirar el un solamente o el b solamente; debemos considerar ambos juntos para poner el ángulo en el cuadrante correcto, usar una función del arctangent de la dos-discusión. Ahora considerar la primera columna de una matriz de la rotación 3×3, $del \ comenzar {bmatrix} \ \ c \ extremo {bmatrix} \ \ b de a.$ Aunque el un b ² de ²+ no iguale probablemente 1, sino un cierto r ² del valor; < 1, podemos utilizar una variación leve del cómputo anterior para encontrar que una rotación supuesta de Givens que transforma la columna al $del \ comienza {bmatrix} \ \ 0 \ \ c \ extremo {bmatrix},$ de r centrado del b . Esto actúa en el subespacio atravesado por las hachas del x y del y . Podemos entonces repetir el proceso para el subespacio del xz del al cero c . Actuando en la matriz completa, el producto de estas dos rotaciones el $Q_ esquemático del de la forma {xz} Q_ Q {xy} = \ comienza {bmatrix} 1&0&0 \ \ \ \ 0& \ ast& \ ast \ extremo {bmatrix} de 0& \ del ast& \ del ast.$ La atención del desplazamiento a la segunda columna, una rotación de Givens del subespacio del yz del puede ahora poner a cero el valor del z . Esto trae la matriz completa al $Q_ del de la forma {yz} Q_ {xz} Q_ Q {xy} = \ comienza {bmatrix} \ 0&1&0 \ 1&0&0 \ \ 0&0&1 \ extremo {bmatrix},$ cuál es una matriz de identidad. Así hemos descompuesto el Q como ^ {xy} de Q_ del ^ de Q_ del $Q del = del ^ de Q_ {- 1} {xz} {- 1} {yz} {- 1}.$
Una matriz de la rotación del n del × del n tendrá (el n −1)+ ( n −2)+⋯+2+1, o = \ frac {n (n-1) del ^ del $\ del sum_ del {k=1} {n-1} k}¡{2} \, \!$ entradas debajo de la diagonal a cero. Podemos ponerlas a cero ampliando la misma idea del escalonamiento a través de las columnas con una serie de rotaciones en un de secuencia fija de planos. Concluimos que el sistema de matrices de la rotación del n del × del n, que tiene entradas del n ², se puede dar parámetros por el n (el n −1)/2 pesca con caña.

Dimensiones jerarquizadas
3×3 rotación matriz como

$Q_ {3 \ épocas 3} = \ comienzan {bmatrix} \ lechuga romano \ theta y - \ pecado \ theta y {\ color {CadetBlue} 0} \ \ \ pecado \ theta y \ lechuga romano \ theta y {\ color {CadetBlue} 0} \ \ {\ color {CadetBlue} 0} y {\ color {CadetBlue} 0} y {\ color {CadetBlue} 1} \ extremo {bmatrix}$ sugiere 2×2 rotación matriz,

$Q_ {2 \ épocas 2} = \ comienzan {} \ lechuga romana \ theta y - \ pecado \ theta \ \ \ y \ lechuga romana \ theta \ extremo {bmatrix},$ del pecado del bmatrix \ de la theta se encaja en la esquina superior izquierdo: = \ dejado del $Q_ del {3 \ épocas 3} \ comienza {matriz} Q_ {2 \ épocas 2} y \ {0} \ en negrilla \ \ {los 0} ^T en negrilla y 1 \ extremo {matriz} \ derecho.$ Ésta no es ninguna ilusión; no apenas uno, sino muchos, copias del n - rotaciones dimensionales se encuentran dentro (el n +1) - las rotaciones dimensionales, como los subgrupos cada encajadura salen de una dirección fijó, que en el caso de las matrices 3×3 es el eje de rotación. Por ejemplo, nosotros tiene

$Q_ {\ en negrilla {x}} (\ theta) = \ comienza {bmatrix} 1 y 0 y 0 \ \ 0 y \ lechuga romano \ theta y - \ pecado \ theta \ \ 0 y \ pecado \ theta y \ lechuga romano \ theta \ fin {bmatrix},$
$Q_ {\ en negrilla {y}} (\ theta) = \ comienza {} \ lechuga romana \ theta y 0 y \ \ \ - \ pecado \ theta y 0 y \ lechuga romana \ theta \ extremo {bmatrix} \ \ 0 y 1 del pecado del bmatrix \ de la theta y 0,$
$Q_ {\ en negrilla {z}} (\ theta) = \ comienza {} \ lechuga romana \ theta y - \ pecado \ theta y 0 \ \ \ y \ lechuga romana \ theta y 0 \ \ 0 y 0 y 1 \ extremo {bmatrix},$ del pecado del bmatrix \ de la theta fijación del eje del x, del eje del y, y del eje del z, respectivamente. El eje de rotación no necesita ser un eje coordinado; si del u ; = ( x, y, z ) es un vector de unidad en la dirección, después el $\ theta del bmatrix + (I - \ ^T) {u} \ lechuga romana \ theta en negrilla {u} \ en negrilla + \ del ^T {u} \ en negrilla {u} \ en negrilla \ y {} = \ comenzar {el bmatrix} (1-x^2) c_ {\ theta} + x^2 y - s_ de z {\ theta} - c_ de x y {\ theta} + s_ de x y y de y {\ theta} - c_ de x z {\ theta} + de x z \ \ s_ de z {\ theta} - c_ de x y {\ theta} + x y y (1-y^2) c_ {\ theta} + y^2 y - s_ de x {\ theta} - c_ de y z {\ theta} + de y z \ \ - s_ de y {\ theta} - c_ de x z {\ theta} + s_ de x z y de x {\ theta} - c_ de y z {\ theta} + y z y (1-z^2) c_ {\ theta} + z^2 \ del final {bmatrix} \ \ y {} = \ comenzar {el bmatrix} x^2 (1-c_ {\ theta}) + c_ {\ theta} y x y (1-c_ {\ theta}) - s_ de z {\ theta} y x z (1-c_ {\ theta}) + de y del s_ {\ theta} \ \ x y (1-c_ {\ theta}) + s_ de z {\ theta} y y^2 (1-c_ {\ theta}) + c_ {\ theta} y y z (1-c_ {\ theta}) - de x del s_ {\ theta} \ \ x z (1-c_ {\ theta}) - s_ de y {\ theta} y y z (1-c_ {\ theta}) + s_ de x {\ theta} y z^2 (1-c_ {\ theta}) + c_ {\ theta} \ extremo {bmatrix}, \ extremo {alinear}$ donde _{&theta del c ;} = cos θ, _{&theta del s ;} = sin θ, es una rotación por &theta del ángulo; dejar el u del eje fijó. Una dirección adentro (el n +1) - espacio dimensional será un vector de la magnitud de la unidad, que podemos considerar un punto en una esfera generalizada, el n del ^{del S . Así es natural describir al grupo de la rotación TAN (el n +1) como combinando TAN (el n ) y el n} del ^{del S . ¡Un formalismo conveniente es el paquete de fibra, $del TAN (n) \ hookrightarrow TAN (n+1) \ a, \, \! de S^n$ donde para cada dirección en el " space" bajo;, n}, el " del ^{del S ; fiber" sobre él en el " space" total;, ASÍ QUE (el n +1), es una copia del " space" de la fibra;, TAN (el n ), a saber las rotaciones que guardan esa dirección fijaron.}
Así podemos construir una matriz de la rotación del n del × del n comenzando con una matriz 2×2, apuntando su eje fijo en el S ² (la esfera ordinaria en espacio tridimensional), apuntando la rotación resultante en el S ³, y así sucesivamente para arriba a través del n −1 del ^{del S . Un punto en el n} del ^{del S se puede seleccionar usar números del n, así que tenemos otra vez n (el n −1)/2 numera para describir cualquier matriz de la rotación del n del × del n .}
De hecho, podemos ver la descomposición secuencial del ángulo, discutida previamente, como inversión de este proceso. La composición de las rotaciones del n −1 Givens trae la primera columna (y la fila) a (1.0,…, 0), de modo que el resto de la matriz sea una matriz de la rotación de la dimensión una menos, encajado para irse (1.

Parámetros oblicuos
Cuando una matriz de la rotación del n del × del n, el Q, no incluye −1 como valor propio, de modo que ningunas de las rotaciones planares cuyo se componen sean las rotaciones 180°, después el Q + el I es una matriz inversible . La mayoría de las matrices de la rotación caben esta descripción, y para ellas podemos demostrar que (el I ) ( Q del − del Q + el I ) ⁻¹ es una matriz Sesgar-simétrica, el A . Así A ^T = A del −; y puesto que la diagonal es necesario cero, y puesto que el triángulo superior determina el más bajo, el A contiene el n (independiente del n −1)/2 numera. Convenientemente, el A del − del I es inversible siempre que el A sea sesgar-simétrico; ¡así podemos recuperar la matriz original usar el Cayley del transformamos, $A \ mapsto del (I+A), \, \! del ^ (I-A) {- 1}$ qué mapas cualquie sesgar-simétrico A de la matriz a una matriz de la rotación. De hecho, aparte de las excepciones conocidas, podemos producir cualquier matriz de la rotación de esta manera. Aunque en usos prácticos poder permitirnos apenas no hacer caso de las rotaciones 180°, el Cayley transforma sigue siendo una herramienta potencialmente útil, dando una parametrización de la mayoría de las matrices de la rotación sin funciones trigonométricas. En tres dimensiones, por ejemplo, hacemos que el $\ frac {1} {1+x^2+y^2+z^2} \ comenzar {el bmatrix} 1+x^2-y^2-z^2 y 2 x y-2 z y 2 y+2 x de z \ \ 2 x y+2 z y 1 x^2+y^2-z^2 y 2 de y z-2 x \ \ 2 x z-2 y y 2 x+2 y z y 1 x^2-y^2+z^2 \ extremo {bmatrix}. \ extremo {alinear}$ Si condensamos las entradas oblicuas en un vector, (el x, el y, el z ), después nosotros producir una rotación del 90° alrededor del eje del x para (1.0), alrededor del eje del y para (0.0), y alrededor del eje del z para (0. Las rotaciones 180° son apenas fuera del alcance; para, en el límite como x entra al infinito, (el x, 0.0) se acerca a una rotación 180° alrededor del eje del x, y semejantemente para otras direcciones.

Teoría de la mentira
Grupo de mentira
Hemos establecido matrices de esa del n del × rotación del n formamos un grupo, el grupo ortogonal especial, TAN (el n ). Esta estructura algebraica se junta con una estructura topológica, en eso las operaciones de la multiplicación y tomando lo contrario (que aquí es simplemente transposición) ser funciones continuas de las entradas de la matriz. Así (el n ) está TAN un ejemplo clásico de un grupo topológico . (En los términos puramente topológicos, es un múltiple del acuerdo.) Además, las operaciones son no sólo continuas, pero el liso, tan ASÍ QUE (el n ) es un múltiple diferenciable y un grupo de mentira (; ). La mayoría de las características de las matrices de la rotación dependen muy poco de la dimensión, n ; con todo en teoría de grupo de mentira vemos diferencias sistemáticas entre incluso las dimensiones y las dimensiones impares. También, hay algunas irregularidades debajo de del n ; = 5; por ejemplo, ASÍ QUE (4) es, anómalo, no un grupo de mentira simple, sino que por el contrario el isomorfo al producto S ³ y TAN (3).

Álgebra de mentira
Se asocia a cada grupo de mentira una álgebra de mentira, un espacio linear con equipado de un producto de alternancia bilineario llamado un soporte. ¡La álgebra para TAN (el n ) es denotada por, \, \! del $\ del mathfrak del {tan} (n)$ y consiste en todas las matrices sesgar-simétricas del n del × del n (según lo implicado distinguiendo la condición, de la ortogonalidad I ; = Q DEL Q ^T). El soporte, de dos matrices sesgar-simétricas se define para ser el A ₁ del A ₂ del A ₂− del A ₁, que es otra vez una matriz sesgar-simétrica. Este soporte de la álgebra de mentira captura la esencia del producto del grupo de mentira vía infinitesimals. Para las matrices de la rotación 2×2, la álgebra de mentira es un espacio de vector unidimensional, múltiplos del $J del = \ comienza {bmatrix} 0&-1 \ \ 1&0 \ extremo {bmatrix}.$ Aquí el soporte desaparece siempre, que nos dice que, en dos dimensiones, las rotaciones conmutan. No tan en cualquie dimensión más alta. Para las matrices de la rotación 3×3, tenemos un espacio de vector tridimensional con el $(generadores) A_ {\ en negrilla {x}} = \ comienzan {bmatrix} \ 0&0&-1 \ 0&0&0 \ \, \ patio de 0&1&0 \ del final {bmatrix} A_ {\ en negrilla {y}} = \ comienzan {bmatrix} \ 0&0&0 \ 0&0&1 \ \ -, \ patio de 1&0&0 \ del final {bmatrix} A_ {\ en negrilla {z}} = \ comienzan {bmatrix} \ 1&0&0 \ 0&-1&0 \ \ 0&0&0 \ extremo {bmatrix}.$ La esencia del soporte para estos vectores de la base se resuelve para ser como sigue.

$A_ {\ en negrilla {x}} A_ {\ en negrilla {y}} =, \ patio de A_ {\ en negrilla {z}} A_ {\ en negrilla {z}} A_ {\ en negrilla {x}} =, \ patio de A_ {\ en negrilla {y}} A_ {\ en negrilla {y}} A_ {\ en negrilla {z}} = A_ {\ en negrilla {x}}.$
Podemos identificar convenientemente cualquier matriz en esta álgebra de mentira con un vector en el R ³, ${alinear} \ boldsymbol {\ Omega} y {} = (x, y, z) \ \ \ tilde {\ boldsymbol {\ Omega}} y {} = x A_ {\ en negrilla {x}} + y A_ {\ en negrilla {y}} + de z A_ {\ en negrilla {z}} \ \ y {} = \ comenzar {bmatrix} 0&-z&y \ \ - \ \ z&0&-x y&x&0 \ extremo {bmatrix}. \ extremo {alinear}$ Bajo esta identificación, el así que el soporte de (3) tiene una descripción memorable; es el producto cruzado, $del vector del = (\ en negrilla {u} \ las épocas \ en negrilla {v}) ^ {\ sim}. ¡\, \!$ La matriz identificada con un v del vector es también memorable, porque ${\ en negrilla {v}} \ en negrilla {u} = \ en negrilla {v} \ las épocas \ en negrilla {u}. ¡\, \!$ Notar que esto implica que el v está en el espacio nulo de la matriz sesgar-simétrica con la cual se identifica, porque el v del × del v es siempre el vector cero.

Mapa exponencial
La conexión de la álgebra de mentira con el grupo de mentira es el mapa exponencial, que definimos usar la serie de energía familiar para el x} del ^{del e, $del \ comienza {alinear} \ exp \ dos puntos \ mathfrak {tan} (n) y {} \ a TAN (n) \ \ A y {} \ mapsto I + A + \ + \ tfrac {1} del tfrac {1} {2} A^2 {6} A^3 + \ + \ tfrac {1} de los cdots {k!} A^k + \ de los cdots \ \ y {} = \ sum_ {k=0} ^ {\} infty \ frac {1} {k!} A^k \ extremo {alinear}$ Para cualquier sesgar-simétrico A, exp ( A ) está siempre una matriz de la rotación. Un ejemplo práctico importante es el caso 3×3, donde hemos visto que podemos identificar cada matriz sesgar-simétrica con un &omega del del vector; de ; = &theta del u ;, donde del u ; = ( x, y, z ) es un vector de la magnitud de la unidad. Recordar que el u está en el espacio nulo de la matriz asociada a &omega del ;, de modo que si utilizamos una base con el u como el eje del z la columna y la fila finales será cero. Así sabemos por adelantado que la matriz exponencial debe salir del u fijado. Es matemáticamente imposible suministrar una fórmula directa para tal base en función del u (su existencia violaría el teorema melenudo de la bola), pero la exponenciación directa es posible, y el $del de las producciones \ comienza {alinear} \ exp (\ tilde {\ boldsymbol {\ Omega}}) y {} = \ el exp \ dejó (\ comenzar {bmatrix} 0 y - \ \ z \ theta y 0&-x \ \ \ - de z \ de la theta y de y \ de la theta de la theta y \ theta y x \ theta y 0 \ extremo {bmatrix} \ derecho) \ \ y {} = \ comenzar {el bmatrix} 2 (x^2 - 1) s^2 + 1 y 2 x y s^2 - 2 z c s y 2 x z s^2 + 2 de y c s \ \ 2 x y s^2 + 2 z c s y 2 (y^2 - 1) s^2 + 1 y 2 y z s^2 - 2 de x c s \ \ 2 x z s^2 - 2 y c s y 2 y z s^2 + 2 x c s y 2 (z^2 - 1) s^2 + 1 \ extremo {bmatrix}, \ extremo {alinear}$ donde del c ; = cos ^θ⁄ ₂, del s ; = sin ^θ⁄ ₂. Reconocemos esto como nuestra matriz para una rotación alrededor del u del eje por &theta del ángulo;. También observamos que este trazado de matrices sesgar-simétricas es absolutamente diferente del Cayley transforma discutido anterior.
En cualquier dimensión, si elegimos un cierto diferente a cero A y consideramos todos sus múltiplos escalares, la exponenciación rinde matrices de la rotación a lo largo de un geodésico múltiple del grupo, formando a un subgrupo del Uno-parámetro del grupo de mentira. Más amplio, el mapa exponencial proporciona un homeomorfismo entre una vecindad del origen en la álgebra de mentira y una vecindad de la identidad en el grupo de mentira. De hecho, podemos producir cualquier matriz de la rotación como el exponencial de una cierta matriz sesgar-simétrica, así que para estos grupos el mapa exponencial es un Surjection del .

Fórmula de Panadero-Campbell-Hausdorff
Suponer que nos dan el A y el B en la álgebra de mentira. Sus exponentials, exp ( A ) y exp ( B ), son las matrices de la rotación, que podemos multiplicar. Puesto que el mapa exponencial es un surjection, sabemos eso para un cierto C en la álgebra de mentira, del exp ( A ) exp ( B ); ¡= el exp ( C ), y nosotros escribimos el $A \ ast del B = C. \, \!$ Cuando el exp ( A ) y el exp ( B ) conmutan (que sucede siempre para las matrices 2×2, pero no más arriba), entonces del C ; = A + B, mímico el comportamiento de la exponenciación compleja. El caso general es dado por la fórmula, una serie de BCH ampliada en términos de soporte (; ). Para las matrices, el soporte es la misma operación que el conmutador, que detecta la carencia del commutativity en la multiplicación. La fórmula general comienza como sigue. ¡ $A \ ast del B = A + B + \ tfrac12 + \ tfrac {1} {12}] - \ tfrac {1} {12}] - \ cdots \, \!$ La representación de una matriz de la rotación como descomposición secuencial del ángulo, como en Euler nos pesca, puede tentar con caña para tratar rotaciones como espacio de vector, pero los términos más altos de la orden en la fórmula de BCH revelan eso para ser un error. Tomamos otra vez interés especial en el caso 3×3, donde los iguales el producto cruzado, B del × del A . Si el A y el B es la independiente linear, después el B del × del A, del B, y del A se puede utilizar como base; si no, entonces el A y el B conmutan. Y convenientemente, en esta dimensión la adición en la fórmula de BCH tiene una forma cerrada como α A +β B +γ ( B DEL × DEL A ).

Grupo de la vuelta
El grupo de mentira de matrices de la rotación del n del × del n, ASÍ QUE (el n ), es un acuerdo y el múltiple trayectoria-conectado del, y así el localmente compacto y conectado . Sin embargo, no es el simplemente conectado, así que la teoría de la mentira nos dice que es una clase de " shadow" (una imagen homomórfica) de un grupo universal de la cubierta. A menudo el grupo de la cubierta, que en este caso es el grupo de la vuelta denotó por la vuelta ( n ), es más simple y más natural trabajar con (; ). En el caso de rotaciones planares, ASÍ QUE (2) es topológico un círculo, S ¹. Su grupo universal de la cubierta, vuelta (2), es isomorfo a la línea verdadera, R, bajo adición. Es decir siempre que utilicemos los ángulos de la magnitud arbitraria, que lo hacemos a menudo, esencialmente nos estamos aprovechando de la conveniencia del " space" de la madre;. Cada matriz de la rotación 2×2 es producida por un infinito contable de ángulos, separado por múltiplos de número entero de 2π. Correspondientemente, el grupo fundamental de TAN (2) es isomorfo a los números enteros, Z .
En el caso de rotaciones espaciales, ASÍ QUE (3) es topológico equivalente al espacio descriptivo verdadero, RP ³ tridimensional. Su grupo universal de la cubierta, vuelta (3), es isomorfo 3 a la esfera, S ³. Cada matriz de la rotación 3×3 es producida por dos puntos opuestos en la esfera. Correspondientemente, el grupo fundamental de TAN (2) es isomorfo al grupo del dos-elemento, Z ₂. Podemos también describir vuelta (3) como isomorfo al Quaternions de la norma de la unidad bajo multiplicación, o a ciertas matrices verdaderas 4×4, o a las matrices unitarias especiales complejo 2×2.
Concreto, un quaternion de la unidad, q, con el $del \ comienza {alinear} q y {} = w + \ en negrilla {i} x + \ en negrilla {j} y + \ {k} z en negrilla, \ \ 1 y {} = w^2 + x^2 + y^2 + z^2, \ extremo {alinear}$ produce el $del de la matriz de la rotación Q = \ comienza {bmatrix} 2 x^2 + 2 w^2 - 1 y 2 x y - 2 z w y 2 x z + 2 de y w \ \ 2 x y + 2 z w y 2 y^2 + 2 w^2 - 1 y 2 y z - 2 de x w \ \ 2 x z - 2 y w y 2 y z + 2 x w y 2 z^2 + 2 w^2 - 1 \ extremo {bmatrix}.$ Ésta es nuestra tercera versión de esta matriz, aquí como rotación alrededor del vector del eje de la no-unidad ( x, y, z ) por el ángulo 2θ, donde cos θ = w y sin θ = ||( x, y, z )||.
Muchas características de este caso son iguales para dimensiones más altas. Las cubiertas son todas dos-a-uno, con TAN (el n ), del n ; > 2, teniendo fundamental Z ₂ del grupo. El ajuste natural para estos grupos está dentro de una álgebra de Clifford. Y la acción de las rotaciones es producida por una clase de " sandwich", denotado por el ^{&lowast del qvq del ;}.

Rotaciones infinitesimales
Las matrices en la álgebra de mentira no son ellos mismos rotaciones; las matrices sesgar-simétricas son los derivados, diferencias proporcionales de rotaciones. Un " real; rotation" diferenciado; ¡, o la matriz infinitesimal de la rotación del tiene el $I del de la forma + A \, \, \! de d \ de la theta$ donde &theta del d ; es vanishingly pequeño. Estas matrices no satisfacen todas las mismas características que matrices finitas ordinarias de la rotación bajo tratamiento generalmente de infinitesimals. Para entender qué este los medios, consideran dA_ del $del {\ en negrilla {x}} = \ comienzan {bmatrix} 1 y 0 y 0 \ \ 0 y 1 y - \ \ 0 y d \ theta y 1 \ extremo {bmatrix} de d \ de la theta.$ Primero probamos la condición de la ortogonalidad, del Q del Q ^T; = I . El producto es el ^T \, dA_ {\ en negrilla {x}} = \ comienza {bmatrix} 1 y 0 y 0 \ \ 0 y 1+d \ theta^2 y 0 \ \ 0 y 0 y 1+d \ theta^2 \ extremo {bmatrix}, del dA_ del $del {\ en negrilla {x}} diferenciando de una matriz de identidad por los segundos infinitesimals de la orden, que desechamos. Tan a la primera orden, una matriz infinitesimal de la rotación es una matriz ortogonal. Examinamos después el cuadrado de la matriz. el dA_ del del {\ en negrilla {x}} ^2 = \ comienzan {bmatrix} 1 y 0 y 0 \ \ 0 y 2.o \ theta y 1 d \ theta^2 \ extremo {bmatrix} de la theta \ \ 0 y 1 d \ theta^2 y -2d \ Otra vez desechando los segundos efectos de la orden, vemos que el ángulo dobla simplemente. Esto hace alusión a lo más diferencia esencial en el comportamiento, que podemos exhibir con la ayuda de una segunda rotación infinitesimal, dA_ del del {\ en negrilla {y}} = \ comienza {bmatrix} 1 y 0 y \ \ - \ \ 0 y 1 de d \ de la phi y 0 d \ phi y 0 y 1 \ extremo {bmatrix}. Comparar el y$}} del _{de DA x} del _{de DA del de los productos y el x} del _{de DA y} del _{de DA del . el $del \ comienza {alinear} dA_ {\ {x}} en negrilla \, el dA_ {\ en negrilla {y}} y {} = \ comienzan {bmatrix} 1 y 0 y \ \ d \ theta de d \ de la phi \, d \ phi y 1 y - d \ \ \ - de la theta d \ phi y d \ theta y de 1 \ extremo {bmatrix} \ \ dA_ {\ {y}} en negrilla \, el dA_ {\ en negrilla {x}} y {} = \ comienzan {bmatrix} 1 y d \ theta \, d \ phi y \ \ 0 y 1 y - \ \ - de d \ de la theta d \ phi de d \ de la phi y d \ theta y de 1 \ extremo {bmatrix} \ \ \ extremo {alinear}$ Desde &theta del d ; &phi del d ; es la segunda orden, nosotros lo desecha; así, a la primera orden, la multiplicación de las matrices infinitesimales de la rotación es comutativa. ¡De hecho,

$dA_ {\ {x}} en negrilla \, dA_ {\ en negrilla {y}} = dA_ {\ en negrilla {x}} +, \, \! del dA_ {\ en negrilla {y}}$ otra vez a la primera orden. Pero debemos siempre tener cuidados de distinguir (el primer tratamiento de la orden de) estas matrices infinitesimales de la rotación de ambas matrices finitas de la rotación y de derivados de las matrices de la rotación (a saber matrices sesgar-simétricas). Poner en contraste el comportamiento de las matrices finitas de la rotación en la fórmula de BCH con el de las matrices infinitesimales de la rotación, donde estarán segundos infinitesimals todos los términos del conmutador de la orden así que que el hace tenemos un espacio de vector.

Conversiones
Hemos visto la existencia de varias descomposiciones que se aplican en cualquier dimensión, a saber planos independientes, ángulos secuenciales, y dimensiones jerarquizadas. En todos estos casos podemos descomponer una matriz o una construcción una. También hemos prestado especial atención a las matrices de la rotación 3×3, y éstas autorizan la atención adicional, en ambas direcciones.
Quaternion
Reescribir la matriz de la rotación 3×3 otra vez, como el $del Q = \ comienza {bmatrix} 1 - 2 y^2 - 2 z^2 y 2 x y - 2 z w y 2 x z + 2 de y w \ \ 2 x y + 2 z w y 1 - 2 x^2 - 2 z^2 y 2 y z - 2 de x w \ \ 2 x z - 2 y w y 2 y z + 2 x w y 1 - 2 x^2 - 2 y^2 \ extremo {bmatrix}.$ Ahora cada componente del quaternion aparece multiplicado por dos en un término del grado dos, y si son todos tales términos cero se deja qué es una matriz de identidad. Esto lleva a una conversión de cualquier quaternion - si unidad, a un nonunit, o aún a un cero eficiente, robusto - a una matriz de la rotación 3×3. Nq = w^2 + x^2 + y^2 + z^2 si Nq > 0.0 entonces s = 2/Nq otro s = 0.0 X = x*s; Y = y*s; Z = z*s wX = w*X; wY = w*Y; wZ = w*Z xx = x*X; xY = x*Y; xZ = x*Z yY = y*Y; yZ = y*Z; zZ = z*Z 1.0- (yY+zZ) xZ+wY xY-wZ yZ-wX de xY+wZ 1.0- (xX+zZ) xZ-wY yZ+wX 1.0- (xX+yY)
Liberado de la demanda para un quaternion de la unidad, encontramos que los quaternions diferentes a cero actúan como coordenadas homogéneos para las matrices de la rotación 3×3. El Cayley transforma, discutido anterior, es obtenido escalando el quaternion de modo que su componente del w sea 1. Para una rotación 180° alrededor de cualquier eje, el w será cero, que explica la limitación de Cayley.
La suma de las entradas a lo largo de la diagonal principal (el rastro ), más uno, iguala 4−4 ( z ² del y ²+ del x ²+), que es 4 el w ². Así podemos escribir el rastro sí mismo como 2 w ²−1 del w ²+2; y de la versión previa de la matriz vemos que las entradas diagonales ellos mismos tienen la misma forma: 2 w ²−1, 2 w ²−1. del w ²−1 del y ²+2 del x ²+2, y 2 del z ²+2. Podemos comparar tan fácilmente las magnitudes de los cuatro componentes del quaternion usar la diagonal de la matriz. Podemos, de hecho, obtenemos las cuatro magnitudes usar sumas y raíces cuadradas, y elegimos muestras constantes usar la parte sesgar-simétrica de las entradas apagado-diagonales.5*sqrt (1+Q_xx+Q_yy+Q_zz) x = copysign (0.5*sqrt (1+Q_xx-Q_yy-Q_zz), Q_zy-Q_yz) y = copysign (0.5*sqrt (1-Q_xx+Q_yy-Q_zz), Q_xz-Q_zx) z = copysign (0.5*sqrt (1-Q_xx-Q_yy+Q_zz), Q_yx-Q_xy) Alternativo, utilizar una solas raíz cuadrada y división t = Q_xx+Q_yy+Q_zz r = raíz cuadrada (1+t) s = 0.5*r x = *s (Q_zy-Q_yz) y = *s (Q_xz-Q_zx) z = *s (Q_yx-Q_xy) Esto es numéricamente estable siempre y cuando el rastro, t, no es negativo; si no, arriesgamos el dividir por (casi) cero. En ese caso, suponer que Q_xx es la entrada diagonal más grande, así que el x tendrá la magnitud más grande (los otros casos son similares); entonces lo que sigue es seguro. r = raíz cuadrada (1+Q_xx-Q_yy-Q_zz) s = 0.5/r w = *s (Q_zy-Q_yz) x = 0.5*r y = *s (Q_xy+Q_yx) z = *s (Q_zx+Q_xz) Si la matriz contiene error significativo, tal como error numérico acumulado, nosotros puede construir una matriz simétrica 4×4, = \ frac13 del $del K \ comenzar {el bmatrix} Q_ {xx} - Q_ {yy} - Q_ {zz} y Q_ {yx} +Q_ {xy} y Q_ {zx} +Q_ {xz} y Q_ {yz} - de Q_ \ {zy} \ Q_ {yx} +Q_ {xy} y Q_ {yy} - Q_ {xx} - Q_ {zz} y Q_ +Q_ {zy} {yz} y Q_ {zx} - de Q_ {xz} \ \ Q_ {zx} +Q_ {xz} y Q_ +Q_ {zy} {yz} y Q_ {zz} - Q_ {xx} - de Q_ {yy} y de Q_ {xy} - Q_ {yx} \ \ Q_ {yz} - Q_ {zy} y Q_ {zx} - Q_ {xz} y Q_ {xy} - Q_ {yx} y Q_ {xx} +Q_ {yy} +Q_ {zz} \ extremo {bmatrix},$ y encontrar el vector propio, (el x, el y, el z, el w ), de su valor propio más grande de la magnitud. (Si el Q es verdad una matriz de la rotación, ese valor será 1.) el quaternion así que obtenido corresponderá a la matriz de la rotación más cercana a la matriz dada.

Descomposición polar
Si el M de la matriz del n del × del n es no singular, sus columnas son linear vectores independientes; así el Gramo-Schmidt de proceso puede ajustarlas para ser una base ortonormal. Indicado en términos de álgebra linear numérica, convertimos el M a una matriz ortogonal, Q, usar la descomposición QR. Sin embargo, preferimos a menudo un " del Q ; closest" al M, que este método no logra. Para ese, la herramienta que queremos es la descomposición polar (; ). Para medir proximidad, podemos utilizar cualquier transformación ortogonal inferior invariante de la norma de la matriz. Una opción conveniente es la norma de Frobenius, || M DEL − DEL Q ||_F, ajustado, que es la suma de los cuadrados de las diferencias del elemento. Escribiendo esto en términos de rastro, el Tr, nuestra meta es,
Encontrar el Q el reducir al mínimo del Tr ((el M del − del Q ) ^T ( M del − del Q )), conforme a del Q del Q ^T; = I . Escrito sin embargo en términos de la matriz, la función objetiva es apenas un polinomio cuadrático. Podemos reducirla al mínimo de la manera habitual, encontrando donde está cero su derivado. Para una matriz 3×3, el constreñimiento de la ortogonalidad implica seis igualdades escalares que las entradas del Q deban satisfacer. Para incorporar los apremios, podemos emplear una técnica estándar, multiplicadores de Lagrange, montados como matriz simétrica, el Y . Así nuestro método es:
Distinguir el Tr ((el M del − del Q ) ^T ( M del − del Q ) + (el I del − del Q del Q ^T) el Y ) con respecto (las entradas de) al Q, y compararlo a cero. style=" del sólido 1px; acolchado: 1em" > Considerar un ejemplo 2×2. Incluyendo apremios, intentamos reducir al mínimo el $del \ comenzamos {alinear} y \ scriptstyle {(Q_ {xx} - M_ {xx}) ^2 + (Q_ {xy} - M_ {xy}) ^2} \ \ y \ scriptstyle {{} + (Q_ {yx} - M_ {yx}) ^2 + (Q_ {yy} - M_ {yy}) ^2} \ \ y \ scriptstyle {{} + (Q_ {xx} ^2+Q_ {yx} ^2-1) Y_ {xx} + (Q_ ^2+Q_ {xy} {yy} ^2-1) de Y_ {yy}} \ \ y \ scriptstyle {{} + 2 (Q_ {xx} Q_ {xy} + Q_ {yx} Q_ {yy}) Y_ {xy}. } \ extremo {alinear}$ Tomando el derivado con respecto al Q _xx, Q _xy, Q _yx, Q _yy alternadamente, montamos una matriz. $del \ scriptstyle {2 \ comenzar {el bmatrix} \ scriptstyle {Q_ {xx} - M_ {xx} + Q_ {xx} Y_ {xx} + Q_ Y_ {xy} {xy}} y \ del scriptstyle {Q_ {xy} - M_ {xy} + Q_ {xx} Y_ {xy} + Q_ Y_ {xy} {yy}} \ \ \ y \ scriptstyle {Q_ {yy} del scriptstyle {Q_ {yx} - M_ {yx} + Q_ {yx} Y_ {xx} + Q_ {yy} Y_ {xy}} - M_ {yy} + Q_ {yx} Y_ {xy} + Q_ {yy} Y_ {yy}} \ extremo {bmatrix}}$}

¡Obtenemos generalmente el

0 = 2 del de la ecuación (Q-M) + 2QY, \, \!

¡de modo que

del M = Q (I+Y) =, \, \! de QS

donde está ortogonal el Q y el S es simétrico. Para asegurar un mínimo, la matriz del Y (y por lo tanto el S ) deben ser definidos positivo. La álgebra linear llama el QS el la descomposición polar del M, con el S la raíz cuadrada positiva del S ² = M DEL M ^T. ¡

del S^2 = (Q^T M)^T (Q^T M) = M^T Q Q^ T M = M^T M \, \!

Cuando el M es el no singular, los factores del Q y del S de la descomposición polar son únicamente resueltos. Sin embargo, el determinante del S es positivo porque el S es definido positivo, así que el Q hereda la muestra del determinante del M . Es decir, el Q se garantiza solamente para ser ortogonal, no una matriz de la rotación. Esto es inevitable; un M con determinante negativo no tiene ninguna matriz más cercana único-definida de la rotación.

Eje y ángulo

Para construir eficientemente una matriz de la rotación de un &theta del ángulo; y un u del eje de la unidad, podemos aprovecharnos de simetría y de sesgar-simetría dentro de las entradas. c = lechuga romana (θ); s = pecado (θ); C = 1 c xs = x*s; ys = y*s; zs = z*s xC = x*C; yC = y*C; zC = z*C xyC = x*yC; yzC = y*zC; zxC = z*xC xyC-zs zxC+ys de x*xC+c yzC-xs de xyC+zs y*yC+c zxC-ys yzC+xs z*zC+c La determinación de un eje y de un ángulo, como la determinación de un quaternion, es solamente posible hasta muestra; es decir, ( u, θ) y ( u del −, −θ) corresponder a la misma matriz de la rotación, apenas como el q y el q del −. También, la extracción del eje-ángulo presenta dificultades adicionales. El ángulo se puede restringir para ser de 0° a 180°, pero los ángulos son formalmente ambiguos por múltiplos de 360°. Cuando el ángulo es cero, el eje es indefinido. Cuando el ángulo es 180°, la matriz llega a ser simétrica, que tiene implicaciones en la extracción del eje. Los múltiplos cercanos de 180°, cuidado son necesarios evitar problemas numéricos: en la extracción del ángulo, un arctangent de la dos-discusión con atan2 (sin θ, cos θ)igual de al θ evita la insensibilidad del arccosine; y en la computación de la magnitud del eje a la magnitud de la unidad de fuerza, un acercamiento de la fuerza bruta puede perder exactitud con desbordamiento de capacidad inferior.

Un acercamiento parcial está como sigue. x = Q_zy-Q_yz y = Q_xz-Q_zx z = Q_yx-Q_xy r = hypot (x, hypot (y, z)) t = Q_xx+Q_yy+Q_zz θ = atan2 (r, t−1) Los componentes del x, del y, y del z del eje entonces serían divididos por r. Un acercamiento completamente robusto utilizará diverso código cuando t es negativo, como con la extracción del quaternion. Cuando r es cero porque el ángulo es cero, un eje se debe proporcionar de una cierta fuente con excepción de la matriz.

Ángulos de Euler

La complejidad de la conversión se extiende con los ángulos de Euler (usados aquí en el sentido amplio). La primera dificultad es establecer cuáles de las veinticuatro variaciones de la orden cartesiana del eje utilizaremos. Suponer que los tres ángulos son θ ₁, θ ₂, θ ₃; la física y la química pueden interpretar éstos como ¡

Q del, \ theta_2, (\ theta_1 \ theta_3) =, \, \! de Q_ {\ en negrilla {z}} (\ theta_1) Q_ {\ en negrilla {y}} (\ theta_2) Q_ {\ en negrilla {z}} (\ theta_3)

¡ mientras que la dinámica de los aviones puede utilizar el

Q del, \ theta_2, (\ theta_1 \ theta_3) = Q_ {\ en negrilla {z}} (\ theta_3) Q_ {\ en negrilla {y}} (\ theta_2) Q_ {\ en negrilla {x}} (\ theta_1). ¡\, \!

Un acercamiento sistemático comienza con elegir el eje de derecha. Entre todas las permutaciones de (el x, el y, el z ), solamente dos ponen ese eje primero; uno es incluso una permutación y la otra impares. Eligiendo paridad establece así el eje medio. Ese deja dos opciones para el eje extremo izquierdo, duplicando el primer o no. Estas tres opciones nos dan 3×2×2 = 12 variaciones; doblamos eso a 24 eligiendo las hachas estáticas o giratorias.

Éste es bastante para construir una matriz de ángulos, pero los triples que diferencian en gran medida pueden dar la misma matriz de la rotación. Por ejemplo, suponer que utilizamos la convención del zyz arriba; entonces tenemos los pares equivalentes siguientes:

Matrices al azar uniformes de la rotación

Necesitamos a veces generar una matriz al azar uniformemente distribuida de la rotación. Parece que intuitivo claro en dos dimensiones que éste significa el ángulo de la rotación está distribuido uniformemente entre 0 y 2π. Que la intuición está correcta, pero no transporta a dimensiones más altas. Por ejemplo, si descomponemos matrices de la rotación 3×3 en forma del eje-ángulo, el ángulo si el no se distribuye uniformemente; la probabilidad que (la magnitud de) el ángulo es a lo más θ debe ser ¹⁄ _π (θ − sin θ), para 0 ≤ θ ≤ π.

Puesto que (el n ) está TAN un grupo de mentira conectado y localmente compacto, tenemos un criterio estándar simple para la uniformidad, a saber que la distribución sea sin cambios cuando está compuesta con cualquier rotación arbitraria (un " del grupo de mentira; translation"). Esta definición corresponde a qué se llama la medida de Haar. demostrar cómo utilizar el Cayley transforman para generar y para probar matrices según este criterio.

Podemos también generar una distribución uniforme en cualquier dimensión usar el algoritmo del subgrupo del de. Esto explota recurrentemente la estructura jerarquizada del grupo de las dimensiones de TAN (el n ), como sigue. Generar un ángulo uniforme y construir una matriz de la rotación 2×2. Para caminar del n a el n +1, generar un v del vector distribuido uniformemente en la esfera del n, el n del ^{del S, encajar la matriz del n del × del n en el tamaño más grande siguiente con la columna pasada (0,…, 0.1), y girar la matriz más grande así que la columna pasada se convierte en el v .}

Como de costumbre, tenemos alternativas especiales para el caso 3×3. Cada uno de estos métodos comienza con tres escalares al azar independientes distribuidos uniformemente en el intervalo de unidad. se aprovecha de la dimensión impar para cambiar una reflexión del cabeza de familia a una rotación por la negación, y las aplicaciones que apuntar el eje de una rotación planar uniforme.

Otro método utiliza quaternions de la unidad. La multiplicación de las matrices de la rotación es homomórfica a la multiplicación de quaternions, y la multiplicación por un quaternion de la unidad gira la esfera de unidad. Puesto que el homomorfismo es un isometry local, concluimos inmediatamente eso para producir una distribución uniforme en ASÍ QUE (3) podemos utilizar una distribución uniforme en el S ³.

Los ángulos de Euler se pueden también utilizar, aunque no con cada ángulo distribuido uniformemente (; ).

Para la forma del eje-ángulo, el eje se distribuye uniformemente sobre la esfera de unidad de direcciones, S ², mientras que el ángulo tiene la distribución no uniforme sobre observado previamente.

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