Del la teoría de número aritmética de y, el menos múltiplo común o el múltiplo común más bajo (lcm del ) o el múltiplo común más pequeño dos del de los números enteros un y del b es el número entero positivo más pequeño que es un múltiplo del al y del b . Puesto que es un múltiplo, la divisoria un y de un b él sin el resto . Si no hay tal número entero positivo, e., si un   de ; =  0 o   del b ; =  0, entonces lcm ( un, b ) se define para ser cero.

Por ejemplo, el menos múltiplo común de los números 4 y 6 es 12.

Al agregar o restando las fracciones vulgares es útil encontrar el menos múltiplo común de los denominadores, a menudo llamado el el denominador común más bajo . Por ejemplo, $del\; \{2\; \backslash \; over21\}\; +\; \{1\; \backslash \; over6\}\; =\; \{4\; \backslash \; over42\}\; +\; \{7\; \backslash \; over42\}\; =\; \{11\; \backslash \; over42\},$ donde el denominador 42 fue utilizado porque el lcm (21, 6)  =  42.

Cálculo del menos múltiplo común

Si el un y el b no son ambo cero, el menos múltiplo común puede ser computado usando el divisor común más grande (gcd) un y del b : $del\; \backslash \; operatorname\; \{lcm\}\; (a,\; b)=\; \backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; cdot\; b\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{gcd\}\; (a,\; b)\}.$

Así, el algoritmo euclidiano para el gcd también nos da un algoritmo rápido para el lcm. Para volver al ejemplo arriba, $del$

l \ operatorname {lcm} (21.6)

{21 \ cdot6 \ sobre \ operatorname {gcd} (21.6)}

{21 \ cdot 6 \ sobre 3} {126 \ sobre 3} 42.

Porque ( ab ) /c = el un ( b / c ) = ( un /un c ) el b, uno pueden calcular el lcm usar la fórmula antedicha más eficientemente, primero explotando el hecho de que el b / c o un /un c será más fácil de calcular que el cociente del ab del producto y del c, porque el hecho de que el c es un factor de al y del b exige eso en la fracción, el un /un c o el b / c, uno puede cancelar totalmente el c . Ésta puede ser verdad si los cálculos son realizados por un ser humano, o una computadora, que puede tener requisitos de almacenaje en el de las variables un, el b, c, donde los límites pueden ser almacenaje de 4 octetos - el calculador ab puede causar un desbordamiento, si el espacio de almacenaje no se asigna correctamente.

Usar esto, podemos entonces calcular el lcm por cualquiera usar: $del$

l \ operatorname {lcm} (a, b)= \ ido ({a \ sobre \ operatorname {gcd} (a, b)} \) derecho \ cdot b

o $del$

l \ operatorname {lcm} (a, b)= \ ido ({b \ sobre \ operatorname {gcd} (a, b)} \) derecho \ cdot a

Hecho esta manera, el ejemplo anterior se convierte: $del$

l \ operatorname {lcm} (21.6) = {21 \ sobre \ operatorname {gcd} (21.6)}\ cdot6= {21 \ over3} \ cdot6=7 \ cdot6=42.

Incluso si los números son grandes y no rápidamente factorable, el gcd se puede calcular rápidamente con el algoritmo de Euclid.

Método alternativo

El teorema único de la facturización dice que cada número entero positivo número mayor de 1 se puede escribir en solamente unidireccional mientras que un producto de los números primeros los números primeros se puede considerar como los elementos atómicos que, cuando están combinados juntos, componen un número compuesto .

Por ejemplo: ¡

l $90\; =\; 2^1\; \backslash \; cdot\; 3^2\; \backslash \; cdot\; 5^1\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; 9\; \backslash \; cdot\; 5.\; \backslash ,\; \backslash !$

Aquí tenemos el número compuesto 90 compuesto de un átomo del 2 del número primero, de dos átomos del 3 del número primero y de un átomo del 5 del número primero.

Este conocimiento se puede utilizar para encontrar el lcm de un sistema de números.

Ejemplo: Encontrar el valor del lcm (8.

Primero, descomponer en factores hacia fuera cada número y expresarlo como un producto del número primero acciona .
$8\; del$
\; \, \; ¡\, = 2^3 \ cdot 3^0 \ cdot 5^0 \ cdot 7^0 \, \!
$9\; de$ \; \, \; ¡\, = 2^0 \ cdot 3^2 \ cdot 5^0 \ cdot 7^0 \, \!
$21\; de$ \; ¡\, = 2^0 \ cdot 3^1 \ cdot 5^0 \ cdot 7^1. \, \!

El lcm será el producto de multiplicar la energía más alta de cada categoría del factor primero junta. Fuera de las 4 categorías 2, 3, 5, y 7 del factor primero, las energías más altas de cada uno son 2³, 3², 5⁰, y 7¹. Así, $del$

l \ operatorname {lcm} (8.21) = 2^3 \ cdot 3^2 \ cdot 5^0 \ cdot 7^1 = 8 \ cdot 9 \ cdot 1 \ cdot 7 = 504. ¡\, \!

Otra manera de ver este método

Uno puede también encontrar el LCM (menos múltiplo común) encontrando la facturización primera de cada número (usando el árbol del factor). Una vez que se encuentra eso, usted puede crear y completar un diagrama de Venn de un círculo para cada número. Para encontrar el LCM, apenas multiplicar todos los números primeros en el diagrama.

Aquí está un ejemplo:

Nota: Esto también trabaja para el factor común más grande (GCF). Excepto, en vez de multiplicar todos los números en el diagrama de Venn, usted multiplica solamente los factores primeros que están en común con todos los números. Tan el GCF de 12 y 36 sería 2  ×   2  ×   3 o 12.

El lcm en anillos comutativos

El menos múltiplo común se puede definir generalmente sobre los anillos comutativos como sigue: Dejar el un y el b ser elementos de un R del anillo comutativo. Un múltiplo común del un y del b es un m del elemento del R tales que un m de la divisoria de y del b (es decir existen el x de los elementos y el y del R tales que hacha del = el m y por = el m ). Un menos múltiplo común del un y del b es un múltiplo común que es mínimo en el sentido que para cualquier otro n del múltiplo común del un y del b, m divide el n .

Generalmente dos elementos en un anillo comutativo no pueden tener ningún menos múltiplo común o más de. Sin embargo, cualquier dos múltiplos lo más menos posible comunes de los mismos pares de elementos son los asociados . En un dominio de facturización única, cualquier dos elementos tienen un menos múltiplo común. En un dominio de ideal principal, el menos múltiplo común del un y del b se puede caracterizar como generador de la intersección de los ideales generados por el un y el b (la intersección de una colección de ideales es siempre un ideal). En los dominios de ideal principal uno puede incluso hablar del menos múltiplo común de colecciones arbitrarias de elementos: es un generador de la intersección de los ideales generados por los elementos de la colección.

Ver también

El denominador común más bajo
Cancelación anómala

.

Zenithic

Scotland, Indiana

Random links:

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