En las matemáticas financieras, el modelo Casco-Blanco es un modelo de los tipos de interés futuros que es relativamente directo traducir la descripción matemática de la evolución de los tipos de interés futuros sobre un árbol o un enrejado y así que los derivados del tipo de interés tal como swaptions bermude6nos se pueden valorar en el modelo.

El primer modelo Casco-Blanco fue descrito por el casco de Juan y el Alan blanco en 1990. El modelo es todavía popular en el mercado hoy.

El modelo

$dr\; (t)\; =\; (\backslash \; theta\; (t)\; -\; \backslash \; alfa\; (t)\; r\; (t))\; \backslash ,\; despegue\; +\; \backslash \; sigma\; (t)\; \backslash ,\; dW\; (t)\; \backslash ,\; \backslash !$

Hay un grado de ambigüedad entre los médicos sobre exactamente que los parámetros en el modelo son dependientes del tiempo en qué nombre a aplicarse al modelo en cada caso. La jerarquía lo más comúnmente posible aceptada tiene

θ constante - el &theta modelo del
de Vasicek ; tiene dependencia de t - el &theta Casco-Blanco modelo ; y α también dependiente del tiempo - el extendido Vasicek modelo

Para el resto de este artículo asumimos que solamente la theta tiene t-dependencia. El descuido del término estocástico por un momento, nota que el cambio en r es negativo si r es actual " large" (mayor que el θ ( t )/α) y positivo si el valor actual es pequeño. Es decir, el proceso estocástico es un Ornstein-Uhlenbeck de proceso de la significar-inversión .

el θ se calcula de la curva de producción inicial que describe la estructura de término actual de los tipos de interés. El α se deja típicamente como entrada del usuario (por ejemplo puede ser estimado de datos históricos). el σ es resuelto vía la calibración a un sistema de Caplets y de Swaptions fácilmente comercializable en el mercado.

Cuando, \ theta y $\backslash \; sigma$ del $\backslash \; de\; la\; alfa\; es\; constante,\; el\; lema\; de\; Itô\; se\; puede\; utilizar\; para\; probar\; eso\; ¡$

$r\; (t)\; =\; e^\; \{-\; \backslash \; alfa\; t\}\; r\; (0)\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; dejado\; de\; la\; alfa\; (1\; -\; e^\; \{-\; \backslash \; alfa\; t\}\; \backslash \; derecho)\; +\; \backslash \; sigma\; e^\; \{-\; \backslash \; alfa\; t\}\; \backslash \; int\_0^t\; e^\; \{\backslash \}\; \backslash ,\; de\; la\; alfa\; u\; dW\; (u)\; \backslash ,\; \backslash !$

cuál tiene distribución

$r\; (t)\; \backslash \; sim\; N\; (e^\; \{-\; \backslash \; alfa\; t\}\; r\; (0)\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; de\; la\; alfa\; (1\; -\; e^\; \{-\; \backslash \; alfa\; t\}\; \backslash \; derecho),\; \backslash \; frac\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \{\backslash \; sigma^2\}\; \{2\; \backslash \; alfa\; (1-e^\; \{-\; 2\; \backslash \; alfa\; t\}\; \backslash \; derecho)).$

Tasación en enlace usar el modelo Casco-Blanco

Resulta que el valor de tiempos del enlace de descuento de la T-madurez tiene distribución (observar el afinan la estructura del término aquí!) ¡

$P\; (S,\; T)\; =\; A\; (S,\; T)\; \backslash \; exp\; (-)\; \backslash !\; de\; B\; (S,\; T)\; r$

donde $B\; (S\; del$

l, T) = \ frac {1 \ exp (- \ alfa (T-S))}{\} \, de la alfa $A\; (S\; del$
de , T) = \ frac {P (0, T)} {P (0, S)}\ exp (\, $del$
de - B (S, T) \ frac {\ parcial \ registro (P (0, t))}{despegue} - \ frac {\ sigma^2 (\ exp (- \ alfa T) - \ exp (- como))^2 (\ exp (2aS) - 1)}{4a^3}) \,

Observar que su distribución terminal para el P ( S, T ) es el registro-normal distribuido .

Tasación derivada

Seleccionando como Numeraire el enlace time- del S (que corresponde a cambiar a la medida S-delantera), tenemos del teorema fundamental de la tasación arbitraje-libre, el valor en la época 0 de un derivado que tenga rentabilidad en el S del tiempo. $V\; del$

l (t) = P (t, S) \ _S del mathbb {E} \ {F} (t) mathcal \, .

Aquí, el $\backslash \; el\; mathbb\; \{E\}\; \_S$ es la expectativa tomada con respecto al adelante miden . Por otra parte que las discusiones estándar del arbitraje demuestran que el T del tiempo remite el $F\_V\; del\; precio\; (t,\; T)$ para una rentabilidad en el T del tiempo dado por el V (T) debe satisfacer el $F\_V\; (t,\; T)\; =\; V\; (t)/P\; (t,\; S)$, así $F\_V\; del\; (t,\; T)\; =\; \backslash \; \_T\; del\; mathbb\; \{E\}.\; \backslash ,$

Así es posible valorar muchos al dependiente del V de los derivados solamente en un P ( S, T ) del solo enlace analítico al trabajar en el modelo Casco-Blanco. Por ejemplo en el caso de un enlace puso de ¡\, \!

Porque el P ( S, T ) lognormally se distribuye, el cálculo general utilizado para Negro-Scholes demuestra eso _S del $del$

l {E} = KN (- d_2) - F (t, S, T) N (d_1) \,

donde = \ registro del

l $d\_1\; (F/K)\; +\; \backslash \; sigma\_P^2S/2\; \backslash ,$

y

l $d\_2\; =\; d\_1\; -\; \backslash \; sigma\_P\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{S\}.\; \backslash ,$

Así el valor de hoy (con el P (0, S ) multiplicado detrás adentro) es: $P\; del$

l (0, S) KN (- d_2) - P (0, T) N (- d_1) \,

Aquí el P del σ _{es la desviación estándar del distribución logarítmico normal para el P ( S, T ). Una cantidad bastante substancial de álgebra demuestra que está relacionado con los parámetros originales vía}

$\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\}\; \backslash \; sigma\_P$

de S \ frac {\ sigma} {\ alfa} (1 \ exp (- \ alfa (T-S)))\ raíz cuadrada {\ frac {1 \ exp (- 2 \ alfa S)}{2 \ alfa}} \,

Observar que esta expectativa fue hecha en S-enlaza medida, mientras que no especificamos una medida en absoluto para el proceso Casco-Blanco original. Esto no importa - la volatilidad es toda que importa y es medida-independiente.

Porque los casquillos del tipo de interés/los pisos son equivalentes al enlace ponen y llaman respectivamente, el análisis antedicho demuestra que los casquillos y los pisos se pueden tasar analítico en el modelo Casco-Blanco. El truco de Jamshidian se aplica a Casco-Blanco (pues el valor de hoy de un swaption en HW es una función monotónica de la tarifa corta de hoy). Así está sabiendo a los casquillos de precio también suficiente para los swaptions de la tasación.

Árboles y enrejados

Al menos la valoración de los instrumentos de la vainilla tales como casquillos y swaptions es útil sobre todo para la calibración. El uso verdadero del modelo es valorar opciones algo más exóticas tales como swaptions bermude6nos en un enrejado.

Ver también

$cox-Ingersoll-Ross modelo
Chen modelo

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