Modelo de Ising - Enciclopedia España

El modelo de Ising del, nombrado después Ernst Ising del físico, es un modelo matemático en los mecánicos estadísticos . Se ha utilizado desde entonces para modelar los fenómenos diversos en los cuales los pedacitos de la información, obrando recíprocamente en pares, producen a colectividad efectos.

Definición

El modelo de Ising se define en una colección discreta de variables llamadas las vueltas del, que pueden adquirir el valor 1 o −1. Las vueltas $S_i$ obran recíprocamente en pares, con una energía que tenga un valor cuando las dos vueltas son iguales, y un segundo valor cuando las dos vueltas son diferentes.

Función de la energía

La energía del modelo de Ising se define para ser:

E = - \ sum_ {ij} J_ {ij} S_i S_j \.

Notar que el producto de vueltas es cualquiera +1 si las dos vueltas son iguales, o alineado, y −1 si él es diferente, antialigned . J es mitad de la diferencia en energía entre las dos posibilidades.

Cada par, si el $J_ del del {ij} > 0$ la interacción se llama el $J_ ferromagnético {ij} < 0$ la interacción se pide el $J_ antiferromagnético {ij} = 0$ que las vueltas son noninteracting

Una interacción ferromagnética tiende a alinear vueltas, y un antiferromagnético las tiende al antialign.

Las vueltas pueden ser pensadas en como la vida en un gráfico, donde cada nodo tiene exactamente una vuelta, y cada borde conecta dos vueltas con un valor diferente a cero del J. Si todo el Js es igual, es conveniente medir energía en unidades de J. Entonces un modelo es especificado totalmente por el gráfico y la muestra del J.

Ejemplos simples

El modelo de Ising unidimensional antiferromagnético del tiene la función de la energía:

E = \ sum_ {i} S_ {i} S_ {i+1} \,

donde i funciona con encima todos los números enteros. Esto liga a cada par de los vecinos más cercanos.

El modelo de Ising de dos dimensiones ferromagnético del en un enrejado cuadrado es una colección del $S_ de las vueltas {i, j}$ en cada nodo (i, j) de un enrejado cuadrado de dos dimensiones y de la energía es:

$- \ Sum_ {ij} S_ {i, j} de E= S_ {i, j+1} + S_ {i, j} S_ {i+1, j} \,$

Notar que la suma liga cada sitio a su derecho-vecino y a su abajo-vecino. De esta manera, cada borde se cuenta solamente una vez.

El modelo de Ising del campo del medio del es el modelo de Ising en un gráfico completo, donde todos los nodos están conectados con el resto de nodos:

$E = \ sum_ {ij} S_i S_j \.$

Campo magnético

La energía del modelo de Ising se puede modificar para predisponer el sistema entero. Normalmente, un modelo de Ising es inferior totalmente simétrico intercambio de + y −. Un h_i del

del campo magnético del se puede agregar a la energía, y rompe la simetría, La función completa de la energía es: E= \ sum_ {} J_ {ij} S_i S_j + \ h_i S_i del sum_i \,

donde los soportes indican que i y j ponen en un índice posiciones vecinas respecto al gráfico.

Estadísticas

El modelo es un modelo estadístico, así que la energía es realmente el logaritmo de la probabilidad. La probabilidad de cada configuración de vueltas es la distribución de Boltzmann con el β inverso de la temperatura.

E^ de P \ del propto {- \ E beta} \.

Para generar realmente configuraciones usar esta distribución de probabilidad está conceptual el más fácil usar el algoritmo de la metrópoli: Escoger una vuelta al azar y calcular la contribución a la energía que implica esta vuelta.

mover de un tirón el valor de la vuelta y calcular la nueva contribución.

si la nueva energía es menos, guardar el valor movido de un tirón.

si la nueva energía es más, sólo subsistencia con el

del

{- \ beta \ el delta E}

Repetir

El cambio en el $\ el delta E$ de la energía depende solamente del valor de la vuelta y de sus vecinos más cercanos del gráfico. Tan si el gráfico no está conectado también, el algoritmo es rápido. Este proceso producirá eventual una selección de la distribución.

Preguntas

Las preguntas estadísticas interesantes a pedir están todas en el límite de una gran cantidad de vueltas: ¿En una configuración típica, están la mayor parte de las vueltas +1 o −1, o son fracturas igualmente?

¿Si una vuelta en cualquier posición dada es 1, cuál es la probabilidad que la vuelta en la posición j es también 1?

¿Si se cambia el β, hay una transición de fase?

¿Si J es al azar, cuántas diversas configuraciones hay en cualesquiera da temperatura inversa?

¿En un enrejado, cuál es la dimensión del fractal de la forma de un racimo grande de +1 vueltas?

Discusión general

En su tesis 1925 PhD, Ising solucionó el modelo para el caso 1D. En una dimensión, la solución no admite ninguna transición de fase . En base de este resultado, él concluyó incorrectamente que su modelo no exhibe comportamiento de la fase en ninguna dimensión.

La mayoría de las soluciones numéricas utilizan el algoritmo de la Metrópoli-Hastings funcionado con dentro de un lazo de Monte Carlo. Dependiendo de complejidad solamente las cimas adyacentes pueden ser consideradas o para los modelos de largo alcance otras cimas pueden ser incluidas.

El modelo de Ising experimenta una transición de fase entre un pedido y una fase desordenada en 2 dimensiones o más. En 2 dimensiones, el modelo de Ising tiene un fuerte/la dualidad débil (entre las altas temperaturas y el punto bajo unos) llamada la dualidad de Kramers-Wannier. El punto fijo de esta dualidad está en la temperatura second-order de la transición de fase .

Mientras que el modelo de Ising es una descripción extremadamente simplificada del Ferromagnetism, su importancia es subrayada por el hecho de que otros sistemas se pueden trazar exactamente o aproximadamente al sistema de Ising. La formulación magnífica del conjunto canónico del modelo del gas de enrejado, por ejemplo, se puede trazar exactamente a la formulación del conjunto canónico del modelo de Ising. El trazado permite que uno explote la simulación y los resultados analíticos del modelo de Ising para contestar a preguntas sobre los modelos relacionados.

El modelo de Ising en un enrejado cuadrado de dos dimensiones sin campo magnético fue solucionado analítico en 1944 por el Lars Onsager . Onsager demostró que las funciones de correlación y la energía libre del modelo de Ising localmente son determinadas por un fermio noninteracting del enrejado. El modelo de 3D Ising no tiene una representación en términos de campos libres.

En 2000, Sorin Istrail estableció eso que computaba la energía libre del modelo de Ising en un sublattice arbitrario de un enrejado cuadrado tridimensional es el de cómputo insuperable. Mientras que esto significa que es imposible computar eficientemente todas las cantidades termodinámicas posibles con los campos externos arbitrarios, no significa que los exponentes críticos ni hacer girar-hace girar correlaciones no puede ser computado cerca de criticalidad. Particularmente, la prueba de Istrail es válida en cuatro o dimensiones más altas, donde está también exactamente criticalidad el modelo cercana soluble, puesto que sus funciones de correlación en las distancias largas son las de un campo escalar libre.

Sistemas físicos

Magnetismo

La motivación original para el modelo era el fenómeno del Ferromagnetism . El hierro es magnético; una vez que se magnetiza permanece magnetizado comparado durante mucho tiempo a atómico tiempo.

Desde el siglo XIX, estaba claro que los campos magnéticos son debido a las corrientes en materia, y el amperio postuló que los imanes permanentes son causados por las corrientes atómicas permanentes. El movimiento de partículas cargadas clásicas no podía explicar corrientes permanentes sin embargo, como se muestra por el Larmor . Para tener ferromagnetism, los átomos deben tener momentos magnéticos permanente que no sean debido al movimiento de cargas clásicas.

Una vez que la vuelta del electrón fue descubierta, estaba claro que el magnetismo debe ser debido a una gran cantidad de electrones que hacen girar en la misma dirección. Era natural preguntar cómo los electrones todos saben qué dirección a hacer girar, porque los electrones en un lado de un imán no obrar recíprocamente directo con los electrones en el otro lado. Pueden influenciar solamente a sus vecinos. El modelo de Ising fue diseñado para investigar si una fracción grande de los electrones se podría hacer para hacer girar en la misma dirección usar solamente fuerzas locales.

Gas de enrejado

El modelo de Ising se puede reinterpretar como modelo estadístico para el movimiento de átomos. Puesto que la energía cinética no depende de la posición solamente respecto al ímpetu, las estadísticas de las posiciones dependen solamente de la energía potencial, la termodinámica del gas dependen solamente de la energía potencial para cada configuración de átomos.

Un modelo grueso es hacer espacio-tiempo un enrejado e imaginarse que cada posición o contiene un átomo o no lo hace. El espacio de la configuración es el de los pedacitos independientes $B_i$ , dependiendo de donde está 0 o 1 cada pedacito si la posición está ocupada o no. Una interacción atractiva reduce la energía de dos átomos próximos. Si la atracción está solamente entre los vecinos más cercanos, la energía es reducida por el $- 4J B_i B_j$ para cada par vecino ocupado.

La densidad de los átomos puede ser controlada agregando un potencial químico, que es una probabilidad multiplicativa costada para agregar un más átomo. Un factor multiplicativo en probabilidad se puede reinterpretar como término aditivo en el logaritmo - la energía. La energía adicional de una configuración con los átomos de N es cambiada por el $\ MU N$ . El coste de la probabilidad de un más átomo es un factor del $\ exp {(- \ beta \ MU)}$ .

La energía del gas de enrejado está tan:

$E = - \ + \ sum_i \ MU B_i del sum_ {} 4J B_i B_j \,$

Reescribiendo los pedacitos en términos de vueltas, $B_i = (S_i + 1)/2$ .

$E = \ sum_ {} J S_i S_j + \ + \ sum_i \ MU S_i del sum_ {} 2J S_i \,$

Para los enrejados donde cada sitio tiene un número igual de vecinos, éste es el modelo de Ising con = \ MU + KJ del $del campo magnético h, donde está el número K de vecinos.$

Actividad de los nervios

La actividad de neuronas en el cerebro se puede modelar estadístico. Cada neurona en cualquier momento es el active + o el − inactivo. Las neuronas activas son las que envían un potencial de acción abajo del axón en cualquier ventana dada del tiempo, y los inactivos son los que no lo hacen. Porque la actividad de los nervios es modelada a cualquier momento por los pedacitos independientes, el campo de lúpulo sugirió que un modelo de Ising dinámico proporcionara una primera aproximación a una red de los nervios que es capaz del aprendizaje. Una interpretación reciente de Schneidman, baya, de Segev y de Bialek es eso que el modelo de Ising es útil para cualquier modelo de la función de los nervios, porque un modelo estadístico para la actividad de los nervios se debe elegir usar el principio de la entropía máxima . Dado una colección de neuronas, un modelo estadístico que puede reproducir la tarifa de leña media para cada neurona introduce un multiplicador de Lagrange para cada neurona:

E= \ h_i S_i de la suma

Pero la actividad de cada neurona en este modelo es estadístico independiente. Para tener en cuenta aparear las correlaciones, cuando una neurona tiende a encender (o no encender) junto con otra, introducen en parejas los multiplicadores de lagrange:

E= \ suma J_ {ij} S_i S_j + \ h_i S_i de la suma

Esta función de la energía introduce solamente los diagonales de la probabilidad para una vuelta que tiene un valor y para un par de vueltas que tienen el mismo valor. Correlaciones más altas de la orden unconstrained por los multiplicadores. Un patrón de la actividad muestreado de esta distribución requiere el número más grande de pedacitos almacenar en una computadora, en el esquema de codificación más eficiente imaginable, con respecto a cualquier otra distribución con la misma actividad y en parejas correlaciones medias.

Desarrollo matemático

Una dimensión - tirones de vuelta independientes

La energía del modelo de Ising ferromagnético unidimensional es:

$\ sum_i S_i S_ {i+1} \.$

Donde $i$ funciona de $0$ a $L$ , donde está la longitud $L$ de la línea. La energía del estado más bajo es $-L$ , cuando todas las vueltas son iguales. Para cualquier otra configuración, la energía adicional es igual al número de cambios de la muestra pues usted explora la configuración de izquierda a derecha.

Si llamamos el número de muestra cambia en una configuración $k$ , la diferencia en energía del estado de la energía más baja es $2k$ . Puesto que la energía es aditiva en el número de tirones, la probabilidad $p$ del tener hacer girar-mueve de un tirón en cada posición es independiente. El cociente de la probabilidad de encontrar un tirón a la probabilidad de no encontrar uno es el factor de Boltzmann:

${p \ sobre 1 p} = e^ {- 2 \ beta} \.$

El problema se reduce a las sacudidas en polarización negativa independientes de la moneda que éste esencialmente termina la descripción matemática.

De la descripción en términos de sacudidas independientes, las estadísticas del modelo para las largas colas pueden ser entendidas. La línea parte en dominios. Cada dominio está del $medio \ exp (2 \ beta)$ de la longitud. La longitud de un dominio se distribuye exponencial, desde entonces hay una probabilidad constante en cualquier paso de encontrar un tirón. Los dominios nunca llegan a ser infinitos, así que un sistema largo nunca se magnetiza. Cada paso reduce la correlación entre una vuelta y su vecino por una cantidad proporcional a $p$ , así que las correlaciones se caen exponencial.

$< > \, \ propto de S_i S_j \, e^ {- p|i-j|} \.$

La función de partición es el volumen de configuraciones, cada configuración cargada por su peso de Boltzmann. Puesto que cada configuración es descrita por muestra-cambia, la función de partición descompone en factores:

$Z = \ = \ prod_k (1 del e^ del sum_ {\ mathrm {configs}} {\ sum_k S_i} + p) = (1+p)^L \.$

El logaritmo dividido por $L$ es la densidad de energía libre:

$\ beta f = \ registro (1+p) = \ registro (1 + {e^ {- 2 \} beta \ sobre 1+e^ {- 2 \ beta}}) \.$

cuál es analítico lejos del $\ del beta= \ infty$ . Una muestra de una transición de fase es una energía libre no-analítica, así que el modelo unidimensional no tiene una transición de fase.

Dimensiones infinitas - campo malo

El comportamiento de un modelo de Ising en un gráfico completamente conectado se puede entender totalmente por teoría de campo malo. Este tipo de la descripción es apropiada a los enrejados cuadrados dimensionales muy altos, porque entonces cada sitio tiene un número muy grande de vecinos.

La idea es que si cada vuelta está conectada con una gran cantidad de vueltas, sólo el número medio de + las vueltas a las vueltas del − es importante, puesto que las fluctuaciones sobre este medio serán pequeñas. El campo H del medio es la fracción media de las vueltas que son +. El coste energético de mover de un tirón una sola vuelta en el campo malo H es 2JNH. Es conveniente redefinir J para absorber el factor N, de modo que el $del límite \ el scriptstyle N \ rightarrow \ infty$ sea lisos. En términos de nuevo J, el coste energético para mover de un tirón una vuelta es el $2JH$ .

Este coste energético da el cociente de la probabilidad p que la vuelta está + a la probabilidad 1 p que la vuelta es −. Este cociente es el factor de Boltzmann.

${p \ sobre 1 p} = e^ {- 2 \ JH beta} \,$

de modo que $del p = {1 \ sobre 1 + e^ {- 2 \ JH beta}} \,$

El valor medio de la vuelta es dado haciendo un promedio de 1 y de −1 con los pesos p y 1 p, así que el valor medio es 2p-1. Pero este promedio es igual para todas las vueltas, y es por lo tanto igual al $del del H. H = 2p - 1 = {1 - e^ {- 2 \} beta \ sobre de JH 1 + e^ {- 2 \ JH beta}} = \ tanh (\ JH beta) \,$

Las soluciones a esta ecuación son los campos malos constantes posibles. Para el $\ J beta <1$ hay solamente la una solución en H=0. Para valores más grandes del β hay tres soluciones, y la solución en H=0 es inestable.

La inestabilidad significa que eso el aumento del campo malo sobre cero un poco produce una fracción estadística de las vueltas que son + que es más grande que el valor del campo malo. Un campo malo que fluctúa sobre cero producirá tan un campo malo incluso mayor, y colocará eventual en la solución estable. Esto significa que para las temperaturas debajo del $\ del J=1 beta$ del valor crítico el modelo de Ising malo del campo experimenta una transición de fase en el límite de N.

Sobre la temperatura crítica, las fluctuaciones en H se humedecen porque el campo del medio restaura la fluctuación al campo cero. Debajo de la temperatura crítica, el campo malo se conduce a un nuevo valor del equilibrio, que es el H positivo o solución negativa de H a la ecuación.

Para el $\ beta J = 1+ \ epsilon$ , apenas debajo de la temperatura crítica, el valor de H se pueden calcular de la extensión de Taylor de la tangente hiperbólica:

$H = \ tanh (\ J beta H) = (1+ \ épsilon) H - {(1+ \ épsilon) ^3H^3 \ sobre 3} \,$

dividiendo por H para desechar la solución inestable en H=0, las soluciones estables son:

${3 \ épsilon} \,$

La magnetización espontánea H crece cerca del punto crítico como la raíz cuadrada del cambio en temperatura. Esto es verdad siempre que H se pueda calcular de la solución de una ecuación analítica que sea simétrica entre los valores positivos y negativos, que llevaron el landó a sospechar que todo el tipo transiciones de Ising de fase en todas las dimensiones debe seguir esta ley.

El exponente malo del campo es el universal porque los cambios en el carácter de las soluciones de ecuaciones analíticas son descritos siempre por las catástrofes en la serie de Taylor, que es una ecuación polinómica. Por simetría, la ecuación para H debe solamente tener energías impares de H en el lado derecho. El β cambiante debe cambiar solamente suavemente los coeficientes. La transición sucede cuando el coeficiente de H en el lado derecho es 1. cerca de la transición:

$H = {\ F) parcial (\ beta \ sobre \ h parcial} = (1+A \ épsilon) H + B H^3 +… \,$

Lo que A y B son, siempre y cuando ni unos ni otros de ellos se templan a cero, la magnetización sponetaneous crecerá como la raíz cuadrada del ε. Esta discusión puede fallar solamente si el $de la energía libre \ el F$ beta es no-analíticos o no-genéricos en el β exacto donde ocurre la transición. Pero la magnetización espontánea en sistemas magnéticos y la densidad en gases cerca del punto crítico se miden muy accuratedly. La densidad y la magnetización en tres dimensiones tienen la misma dependencia de la energía-ley de la temperatura cerca del punto crítico, pero el comportamiento de experimentos es:

$H \ propto \ epsilon^ {0.308} \,$

El exponente es también universal, está igual en el modelo de Ising que en el imán y el gas experimentales. pero no es igual al valor malo del campo. Esto era una gran sorpresa.

Está también verdad esto en dos dimensiones, donde el $del H \ propto \ epsilon^ {0.125} \,$

Pero allí no era una sorpresa, porque fue predicho por el Onsager .

Dos dimensiones - solución de Onsager

La función de partición del modelo de Ising en dos dimensiones en un enrejado cuadrado se puede trazar a un fermio libre de dos dimensiones. Esto permite que el calor específico sea calculado exactamente.

Matriz de transferencia

Comenzar con una analogía con los mecánicos de quántum. El modelo de Ising en un enrejado periódico largo tiene un $del de la función de partición \ sum_S \ exp (\ sum_ {ij} S_ {i, j} S_ {i, j+1} + S_ {i, j} S_ {i+1, j}) \,$

Pensar en la dirección de i como espacio del, y la dirección de j como tiempo del . Esto es una suma independiente sobre todos los valores que las vueltas pueden tomar en cada vez rebanan. Éste es un tipo de la trayectoria integral, él es la suma sobre todas las historias de la vuelta.

Un integral de la trayectoria se puede reescribir como evolución hamiltoniana. Los pasos hamiltonianos con tiempo realizando una rotación unitaria entre el tiempo $t$ y el tiempo $t+ \ delta t$ : $del U = e^ {i H \ delta t} \,$

El producto de las matrices de U, uno después del otro, es el operador de la evolución del tiempo total, que es el integral de la trayectoria que comenzamos con. $del U^N = (e^ {i H \ delta t}) e^ = \ internacional DX del ^N {IL} \,$

Donde está el número N de rebanadas de tiempo. La suma sobre todas las trayectorias es dada por un producto de matrices, cada elemento de matriz es la probabilidad de transición a partir de una rebanada al siguiente.

Semejantemente, uno puede dividir la suma sobre todas las configuraciones de la función de partición en rebanadas, donde está la configuración cada rebanada unidimensional en el tiempo 1. Esto define la matriz de transferencia :

$T_ {C_1 C_2} \,$

Las configuraciones en cada rebanada son una colección unidimensional de vueltas. En cada vez que la rebanada, T tiene elementos de matriz entre dos configuraciones de vueltas, una del futuro inmediato y una del pasado inmediato. Estas dos configuraciones son $C_1$ y $C_2$ , y son todas configuraciones unidimensionales de la vuelta. Podemos pensar en el espacio de vector que T actúa encendido como todas las combinaciones lineares complejas de éstos. Usar la notación mecánica del quántum:

$|= \ sum_S. (S) de A> |S> \,$

Donde cada $del vector de la base|S>$ es una configuración de la vuelta de un modelo de Ising unidimensional.

Como el hamiltoniano, la matriz de transferencia actúa en todas las combinaciones lineares de estados. La función de partición es una función de la matriz de T, que es definido por la suma sobre todas las historias que vuelvan a la configuración original después de pasos de N:

$Z= \ mathrm {rastro} (T^N) \,$

Puesto que esto es una ecuación de la matriz, puede ser evaluada en cualquier base. Tan si podemos diagonalize la matriz T, podemos encontrar Z.

T en términos de matrices de Pauli

La contribución a la función de partición para cada uno el par del pasado/futuro de configuraciones en una rebanada es la suma de dos términos. Hay el número de tirones de vuelta en la última rebanada y hay el número de tirones de vuelta entre la rebanada última y futura. Definir a operador en configuraciones que mueve de un tirón la vuelta en el sitio i:

\ sigma^x_i \,

En la base generalmente de Ising, actuando en cualquier combinación linear de últimas configuraciones, produce la misma combinación linear pero con la vuelta en la posición i de cada vector de la base movido de un tirón.

Definir a segundo operador que multiplica el vector de la base por +1 y −1 según la vuelta en la posición i:

$\ sigma^z_i \,$

T se puede escribir en términos de éstos:

$\ sum_i A \ sigma^x_i + B \ sigma^z_i \ sigma^z_ {i+1} \,$

Donde están los constantes A y B que deben ser determinados para reproducir la función de partición. La interpretación es que la configuración estadística en esta rebanada contribuye según ambos el número de tirones de vuelta en la rebanada, e independientemente de si la vuelta en la posición i ha movido de un tirón.

Operadores de la creación y de la aniquilación del tirón de vuelta

Apenas como en el caso unidimensional, cambiaremos de puesto la atención de las vueltas a hacer girar-movemos de un tirón. El término del

\ sigma_z

en T cuenta el número de tirones de vuelta, en términos de los cuales podemos escribir hacer girar-movemos de un tirón a operadores de la creación y de la aniquilación:

del \ suma C \ psi^ \ dagger_i \ psi_i \,

El primer término mueve de un tirón una vuelta, tan dependiendo del estado de la base él cualquiera: mueve hacer girar-mueven de un tirón una unidad al

correcto mueve hacer girar-mueven de un tirón una unidad al

izquierdo produce dos hacer girar-mueve de un tirón en

vecino de los sitios destruye dos hacer girar-mueve de un tirón en sitios vecinos.

Escribiendo esto en términos de operadores de la creación y de la aniquilación: _i del $del {\ sigma^x} = _i de D {\ psi^ \ daga} \ psi_ {i+1} + _i de D^* {\ psi^ \ daga} \ psi_ {i-1} + C \ psi_i \ psi_ {i+1} + _ del _i de C^* {\ psi^ \ daga} {\ psi^ \ daga} {i+1} \,$

No hacer caso de los coeficientes constantes, y de la atención del foco en la forma. Son todos cuadráticos. Puesto que los coeficientes son constantes, éste significa que la matriz de T se puede diagonalized por Fourier transforma.

La realización del diagonalization produce la energía libre de Onsager.

Dimensiones 5 y arriba - campo libre

En cualquier dimensión, el modelo de Ising se puede describir productivo por un campo malo localmente diverso. El campo se define como el el valor medio de la vuelta sobre una región grande, pero no tan grande para incluir el sistema entero. El campo todavía tiene variaciones lentas de punto a punto, pues el volumen que hace un promedio se mueve. Estas fluctuaciones en el campo son descritas por una teoría de campo de la serie continua en el límite de sistema infinito.

Campo local

El campo H se define como los componentes de Fourier de la longitud de onda larga de la variable de la vuelta, en el límite que las longitudes de onda son largas. Hay muchas maneras de tomar el promedio de la longitud de onda larga, dependiendo de los detalles de cómo se cortan las altas longitudes de onda. Los detalles no son demasiado importantes, puesto que la meta es encontrar las estadísticas de H y no de las vueltas. Una vez que las correlaciones en H se saben, las correlaciones interurbanas entre las vueltas serán proporcionales a las correlaciones interurbanas en el H.

Para cualquier valor del campo lentamente diverso H, la energía libre (registro-probabilidad) es una función analítica local de H y de sus gradientes. La energía libre F (H) se define para ser la suma sobre todas las configuraciones de Ising que sean constantes con el campo de la longitud de onda larga. Puesto que H es una descripción gruesa, hay muchas configuraciones de Ising constantes con cada valor de H, siempre y cuando no demasiada exactitud se requiere para el fósforo.

Puesto que la gama permitida de valores de la vuelta en cualquier región depende solamente de los valores de H dentro de un volumen que hace un promedio de esa región, la contribución de la energía libre de cada región depende solamente del valor de H allí y en las regiones vecinas. F es tan una suma sobre todas las regiones de una contribución local, que depende solamente de H y de sus derivados.

Por simetría en H, solamente incluso las energías contribuyen. Por simetría de la reflexión en un enrejado cuadrado, solamente incluso las energías de gradientes contribuyen. Poniendo los términos de los primeros en escrito en la energía libre k y H presuntuosos ser pequeño:

$H^4 del partial_i H)^2… \,$

En un enrejado cuadrado, garantía de las simetrías que los coeficientes $Z_i$ de los términos derivados son todos igual. Pero incluso para un modelo de Ising anisotrópico, donde están diferentes los z en diversas direcciones, las fluctuaciones en H son isotrópicas en un sistema coordinado donde las diversas direcciones del espacio rescaled.

En cualquie enrejado, derivado término $\ scriptstyle Z_ {} \ partial_i H \ partial_j H$ del ij está una forma cuadrático definida positiva, y se puede utilizar al define el métrico para el espacio. Tan cualquier modelo de Ising de translación invariante es rotatorio invariante en las distancias largas, en los coordenadas que hacen = \ delta_ {ij} del $Z_ {ij}. La simetría rotatoria emerge espontáneo en las distancias grandes apenas porque no hay muchos términos de orden inferior. En los puntos multicritical de una orden más alta, se pierde esta simetría accidental . Puesto que el \ F beta es una función de un campo lentamente espacial diverso. La probabilidad de cualquier configuración del campo es:$

$P (H) \ e^ del propto {d^dx - \ internacional AH^2 + Z |\ nabla H|^2 + \ lambda H^4} \,$

El promedio estadístico de cualquier producto de los h es igual a:

$= ADO P {\ internacional (H) H (x_1) H (x_2)… H (x_n) \ ADO P sobre \ internacional (H)} \,$

El denominador en esta expresión se llama la función de partición del, y el integral sobre todos los valores posibles de H es un integral estadístico de la trayectoria. Integra el $\ exp (\ F)$ beta sobre todos los valores de H, sobre todos los componentes de fourier de la longitud de onda larga de las vueltas. F es una de Lagrange euclidiano para el campo H, la única diferencia entre el y la teoría de campo de Quantum de un campo escalar es que todos los términos derivados entran con un signo positivo, y no hay factor total del $del del I. Z ^ del ADO e = \ internacional d^dx A {\ internacional H^2 + Z |\ nabla H|^2 + \ lambda H^4} \,$

Análisis dimensional

La forma de F se puede utilizar para predecir qué términos son los más importantes por análisis dimensional. El análisis dimensional no es totalmente directo, porque el escalamiento de H necesita ser determinado.

En el caso genérico, elegir la ley de escalamiento para H es fácil. Cuando k es pequeña y H es pequeño, el único término que contribuye primer, $del F d^dx A H^2 = \ internacional \,$

Este término es el más significativo, pero da comportamiento trivial. Esta forma de la energía libre es ultralocal, significando que es una suma de una contribución independiente de cada punto. Esto es como hacer girar-mueve de un tirón en el modelo de Ising unidimensional. Cada valor de H en cualquier momento fluctúa totalmente independiente del valor en cualquier otro punto.

La escala del campo se puede redefinir para absorber el coeficiente A, y entonces está claro que A determina solamente la escala total de fluctuaciones. El modelo ultralocal describe el comportamiento de alta temperatura de la longitud de onda larga del modelo de Ising, puesto que en este límite los promedios de la fluctuación son independientes de punto a punto.

Para encontrar el punto crítico, bajar la temperatura. Mientras que va la temperatura abajo, las fluctuaciones en H suben porque las fluctuaciones son correlacionadas. Esto significa que el promedio de una gran cantidad de vueltas no llega a ser pequeño como rápidamente como si fueran sin correlación, porque tienden a ser iguales. Esto corresponde a disminuir A en el sistema de unidades donde H no absorbe el A. La transición de fase puede suceder solamente cuando los términos subleading en F pueden contribuir, pero puesto que el primer término domina en las distancias largas, el coeficiente A se debe templar a cero. Ésta es la localización del punto crítico:

$+ \ lambda del d^dx t de F= \ internacional H^2 H^4 + Z (\ nabla H)^2 \,$

Donde está un parámetro t que pasa con cero en la transición.

Puesto que t es vanishing, la fijación de la escala del campo usar este término hace la otra explosión de los términos. Una vez que t es pequeño, la escala del campo se puede cualquiera fijar para fijar el coeficiente del término de $H^4$ o del $\ del scriptstyle (\ del término del nabla H)^2$ a 1.

Magnetización

Para encontrar la magnetización, fijar el escalamiento de H de modo que el λ sea uno. Ahora el campo H tiene dimensión −d/4, de modo que $H^4 d^dx$ sea sin dimensiones, y Z tiene dimensión 2−d/2. En este escalamiento, el término del gradiente es solamente importante en las distancias largas para el $\ el scriptstyle d \ le 4$ . Sobre cuatro dimensiones, en las longitudes de onda largas, la magnetización total es afectada solamente por los términos ultralocal.

Hay un punto sutil. El campo H está fluctuando estadístico, y las fluctuaciones pueden cambiar de puesto el punto cero del T. Para ver cómo, considerar $H^4$ partir así:

$H (x)^4 =^2 + 2 H (x)^2 + (H (x)^2-) ^2 \,$

El primer término es una contribución constante a la energía libre, y puede ser no hecho caso. El segundo término es un cambio finito en el T. El tercer término es una cantidad que escala a cero en las distancias largas. Esto significa eso al analizar el escalamiento de t por análisis dimensional, es el t cambiado de puesto que es importante. Esto era históricamente muy confuso, porque el cambio en t en cualquier λ finito es finito, pero cerca de la transición t es muy pequeño. El cambio fraccionario en t es muy grande, y en las unidades donde t se fija las miradas del cambio infinitas. La magnetización está en el mínimo de la energía libre, y esto es una ecuación analítica. En términos de t cambiado de puesto, $del {\ parcial \ sobre \ H parcial} (+ de t H^2 \ lambda H^4) = 2t H + 4 \ lambda H^3 = 0 \,$

Para t<0, los mínimos están en H proporcional a la raíz cuadrada del T. La discusión de la catástrofe del landó está tan correcta en las dimensiones más en gran parte de 5. El exponente de la magnetización en las dimensiones más arriba de 5 es igual al valor malo del campo.

Cuando t es negativo, las fluctuaciones sobre el nuevo mínimo son descritas por un nuevo coeficiente cuadrático positivo. Puesto que este término domina siempre, en las temperaturas debajo de la transición los flucuations llegan a ser otra vez ultralocal en las distancias largas.

Fluctuaciones

Para encontrar el comportamiento de fluctuaciones, rescale el campo para fijar el término del gradiente. Entonces la dimensión del escalamiento de la longitud del campo es 1−d/2. Ahora el campo tiene fluctuaciones espaciales cuadráticos constantes en todas las temperaturas. La dimensión de la escala del término de

H^2

es 2, mientras que la dimensión de la escala del término de

H^4

es 4−d. Para d<4, el término de

H^4

tiene dimensión positiva de la escala. En las dimensiones más arriba de 4 tiene dimensiones negativas de la escala.

Esto es una diferencia esencial. En las dimensiones más arriba de 4, la fijación de la escala del término del gradiente significa que el coeficiente del término de $H^4$ es cada vez menos importante en longitudes de onda más largas y más largas. La dimensión en la cual las contribuciones nonquadratic comienzan a contribuir se conoce como la dimensión crítica. En el modelo de Ising, la dimensión crítica es 4.

En dimensiones sobre 4, las fluctuaciones críticas son descritas por puramente una energía libre de la ecuación cuadrática en las longitudes de onda largas. Esto significa que las funciones de correlación son todas computables de pues el gausiano hace un promedio:

~~\ del propto (x) H (y)> = = (x-y) \ internacional {DK de G \ sobre (2 \ pi) el ^d} {e^ {ik (x-y)}\ sobre k^2 + t} \,~~

válido cuando es x-y es grande. La función G (x-y) es la continuación analítica a la época imaginaria del propagador de Feynman, puesto que la energía libre es la continuación analítica de la acción del campo de quántum para un campo escalar libre. Para las dimensiones 5 y más alto, el resto de funciones de correlación en las distancias largas entonces son determinadas por el teorema del fieltro. Todos los momentos impares son cero, por +/- simetría. Incluso los momentos son la suma sobre toda la partición en los pares del producto de G (x-y) para cada par.

~~= C^n \ suma G (x_ {i1}, x_ {j1}) G (x_ {i2}, X_ {j2})… G (x_ {adentro}, x_ {jn}) \,~~

~~Donde está el constante C de la proporcionalidad. Tan saber G es bastante. Determina todas las correlaciones de múltiples puntos del campo.~~

La función crítica de dos puntos

Para determinar la forma de G, considerar que los campos en un integral de la trayectoria obedecen las ecuaciones del movimiento clásicas derivadas variando la energía libre:

$(- \ nabla_x^2 + t) = 0 \ rightarrow \ nabla^2 G (x) +t G (x) = 0 \,$ Esto es válido en los puntos noncoindent solamente, puesto que las correlaciones de H son singulares cuando chocan los puntos. H obedece ecuaciones del movimiento clásicas por la misma razón que los operadores mecánicos del quántum las obedecen - sus fluctuaciones son definidas por un integral de la trayectoria.
En el punto crítico t=0, ésta es la ecuación de Laplace, que se puede solucionar por el método del gauss de la electrostática. Definir un análogo del campo eléctrico por el $del E = \ nabla G \,$
lejos del origen:

$\ nabla \ cdot E = 0 \,$
puesto que G es esférico simétrico en dimensiones de d, E es el gradiente radial del G. que integra sobre d-1 una esfera dimensional grande, $del \ internacional = \ mathrm del d^ {d-1} S E_r {constante} \,$
Esto da:

$E = {C \ sobre el r^ {d-1}} \,$
y G puede ser encontrado integrando con respecto al $del del R. G (r) = {C \ sobre el r^ {d-2}} \,$
La C constante fija la normalización total del campo.
G (r) lejos del punto crítico
Cuando t no iguala cero, de modo que H esté fluctuando en una temperatura levemente lejos de crítico, la función de dos puntos decae en las distancias largas. Se altera la ecuación que obedece:

$\ nabla^2 G + t G = 0 \ rightarrow {1 \ sobre el r^ {d-1}} {d \ sobre el Dr.} (r^ {d-1} {dG \ sobre el Dr.}) + t G (r) =0 \,$
Para pequeño de r comparado con el $\ raíz cuadrada {t}$ , la solución diverge exactamente la misma manera que en el caso crítico, pero se modifica el comportamiento interurbano.
Para ver cómo, es conveniente representar la función de dos puntos como integral, introducido por Schwinger en el campo de quántum contexto de la teoría:

$E^ del ^d de G (x) = \ internacional d \ tau {1 \ encima (\ raíz cuadrada {2 \ pi \ tau})} {- {x^2 \ sobre 4 \ tau} - t \ tau} \,$
Éste es G, puesto que el fourier transforma de este integral es fácil. Cada contribución fija del τ es una gausiana en x, cuyo fourier transforma es otro gausiano de anchura recíproca en el $del del K. G (k) = \ e^ de la internacional d \ del tau {- (k^2 - t) \ tau} = {1 \ sobre k^2 - t} \,$
Éste es lo contrario del $\ del scriptstyle \ nabla^2 del operador - t$ en el espacio de k, actuando en la función de unidad en el espacio de k, que es el fourier transforma de una fuente de la función de delta localizada en el origen. Satisface tan la misma ecuación que G con las mismas condiciones de límite que determinan la fuerza de la divergencia en 0.
La interpretación de la representación integral sobre el τ apropiado del tiempo del es que la función de dos puntos es la suma sobre todas las trayectorias de la caminata al azar que liguen la posición 0 para colocar el τ de x en un cierto plazo. La densidad de estas trayectorias en el τ del tiempo en la posición x es gausiana, pero los caminante al azar desaparecen a una tarifa constante proporcional a $t$ de modo que el gausiano en el τ del tiempo sea disminuido en altura por un factor que disminuya constantemente exponencial. En el contexto de la teoría de campo de quántum, éstas son las trayectorias de quanta relativistically localizados en un formalismo que siga las trayectorias de partículas individuales. En el contexto estadístico puro, estas trayectorias todavía aparecen por la correspondencia matemática con los campos de quántum, pero su interpretación es menos directo comprobación.
La representación integral demuestra inmediatamente que G (r) es positivo, puesto que se representa como suma cargada de Gaussians positivo. También da el índice de decaimiento en r grande, desde la época apropiada para que una caminata al azar alcance el τ de la posición es r² y en este tiempo, la altura gausiana ha decaído por el =e^ del $e^ {- t \ tau} {- tr^2}$ . El factor de decaimiento apropiado para la posición r es por lo tanto $e^ {- \ raíz cuadrada t r}$ .
Una aproximación heurística para G (r) es:

$G (r) \ aproximadamente {e^ {} \ sobre - \ raíz cuadrada t r el r^ {d-2}} \,$
Esto no es una forma exacta, excepto en tres dimensiones, donde las interacciones entre las trayectorias llegan a ser importantes. Las formas exactas en altas dimensiones son variantes de las funciones de Bessel Del .

Interpretación del polímero de Symanzik
La interpretación de las correlaciones como quanta de tamaño fijo que viajan a lo largo de caminatas al azar da una manera de entender porqué la dimensión crítica de la interacción de $H^4$ es 4. El término H⁴ se puede pensar en como el cuadrado de la densidad de los caminante al azar en cualquier momento. Para que tal término altere las funciones de correlación finitas de la orden, que introducen solamente algunas nuevas caminatas al azar en el ambiente que fluctúa, las nuevas trayectorias deben intersecarse. Si no, el cuadrado de la densidad es apenas proporcional a la densidad y cambia de puesto solamente el coeficiente de H² por un constante. Pero la probabilidad de la intersección de caminatas al azar depende de la dimensión, y de caminatas al azar en la dimensión más arriba de 4 no se intersecan.
La dimensión del fractal de una caminata al azar ordinaria es 2. El número de bolas del ε del tamaño requeridas para cubrir el aumento de la trayectoria como $1/\ epsilon^2$ . Dos objetos de la dimensión 2 del fractal se intersecarán con probabilidad razonable solamente en un espacio de la dimensión 4 o menos, la misma condición que para un par genérico de planos. El Kurt Symanzik sostuvo que éste implica que las fluctuaciones críticas de Ising en las dimensiones más arriba de 4 se deben describir por un campo libre. Esta discusión se convirtió en eventual una prueba matemática.

4 dimensiones del ε - grupo de la renormalización

El modelo de Ising en cuatro dimensiones es descrito por un campo que fluctúa, pero ahora las fluctuaciones están obrando recíprocamente. En la representación del polímero, las intersecciones de caminatas al azar son marginal posibles. En el quántum la continuación del campo, los quanta obra recíprocamente.
El logaritmo negativo de la probabilidad de cualquier configuración H del campo es el $del de la función de la energía libre F= \ internacional d^4 x {Z \ sobre 2} |\ nabla H|^2 + {t \ sobre 2} H^2 + {\ lambda \ sobre 4!} H^4 \,$
Los factores numéricos son allí simplificar las ecuaciones del movimiento. La meta es entender las fluctuaciones estadísticas. Como cualquier otro integral no-cuadrático de la trayectoria, las funciones de correlación tienen una extensión de Feynman como partículas que viajan a lo largo de caminatas al azar, partiendo y contestando en las cimas. La fuerza de la interacción parametrized cerca el λ clásico sin dimensiones de la cantidad.
Aunque el análisis dimensional demuestre que es el λ y Z sin dimensiones, éste engaño. Las fluctuaciones estadísticas de la longitud de onda larga no son exactamente escala invariante, y se convierten en solamente escala invariante cuando la fuerza de la interacción desaparece.
La razón es que hay un atajo usado para definir H, y el atajo define la longitud de onda más corta. Fluctuaciones de H en las longitudes de onda cerca del atajo puede afectar a las fluctuaciones de la largo-longitud de onda. Si el sistema se escala junto con el atajo, los parámetros escalarán por análisis dimensional, pero por otra parte comparar parámetros no compara comportamiento porque el sistema rescaled tiene más modos. Si el sistema rescaled de una manera tal que el atajo corto de la longitud de onda siga siendo fijo, se modifican las fluctuaciones de la largo-longitud de onda.
Renormalización de Wilson
Una manera heurística rápida de estudiar el escalamiento es cortar los wavenumbers de H en un λ del punto. Fourier los modos de H con los wavenumbers más grandes que λ no se permiten fluctuar. El rescaling de la longitud eso hacer el sistema entero aumentos más pequeños todos los wavenumbers, y los movimientos algunas fluctuaciones sobre el atajo.
Para restaurar el viejo atajo, realizar una integración parcial sobre todos los wavenumbers que eran prohibidos, pero ser ahora fluctuando. En Feynman diagrams, integrando sobre un modo que fluctúa en los acoplamientos del wavenumber k encima de líneas ímpetu que lleva k en una función de correlación en pares, con un factor del propagador inverso.
Bajo rescaling, cuando el sistema es encogido por un factor de (1+b), el coeficiente de t aumenta proporcionalmente por un factor (1+b)^2 cerca análisis dimensional. El cambio en t para b infinitesimal es 2bt. Los otros dos coeficientes son sin dimensiones y no cambiar en absoluto.
El efecto más bajo de la orden de la integración hacia fuera se puede calcular de las ecuaciones del movimiento:

$\ nabla^2 H + t H = - {\ lambda \ sobre 6} H^3 \,$ Esta ecuación es una identidad dentro de cualquier función de correlación lejos de otras inserciones. Después de integrar hacia fuera modos con el $\ Lambda< k < (1+b) \ Lambda$ , será una identidad levemente diversa.
Puesto que la forma de la ecuación será preservada, para encontrar el cambio en coeficientes es suficiente analizar cambiar en el término de $H^3$ . En un Feynman diagram la extensión, el término de $H^3$ adentro una función de correlación dentro de una correlación tiene tres líneas que cuelgan. Ensamblar dos de ellos en el wavenumber grande k da un cambio $H^3$ con una línea que cuelga, tan proporcional a H:

$\ delta H^3 = 3H \ int_ {\ Lambda<|k|< (1+b) \ lambda} {d^4k \ sobre (2 \ pi) ^4} {1 \ sobre (k^2 + t)}$
El factor de 3 viene del hecho de que el lazo se puede cerrar en tres maneras diferentes.
El integral se debe partir en dos porciones:

$\ internacional DK {1 \ sobre k^2} - t \ internacional DK {1 \ sobre k^2 (k^2 + t)} = A \ Lambda^2 b + B b t \,$
la primera parte no es proporcional a t, y en la ecuación del movimiento puede ser absorbida por un cambio constante en el T. Es causado por el hecho de que el término de $H^3$ tiene una pieza linear de la partición es independiente del valor del T. Solamente el segundo término, que varía t a t, contribuye al escalamiento crítico.
Este nuevo término linear agrega al primer término en el lado de mano izquierda, cambiando t por una cantidad proporcional al T. el cambio total en t es la suma del término del análisis dimensional y de este segundo término de productos del operador:

$\ delta t = (2 - {B \ lambda \ sobre 2}) b t$ T rescaled tan, pero su dimensión es el anómalo, él es cambiada por una cantidad proporcional al valor del λ.
Pero del λ cambios también. El cambio en la lambda requiere en vista de las líneas que parten y entonces rápidamente contestando. El proceso más bajo de la orden es uno en donde una de las tres líneas de $H^3$ parte tres, que ensambla rápidamente con una de las otras líneas de la misma cima. La corrección a la cima es el $del \ delta \ lambda = - {3 \ lambda^2 \ sobre 2} \ int_k DK {1 \ sobre (k^2 + t)^2} = - {3 \ lambda^2 \ sobre 2} b \,$ El factor numérico es tres veces más grande porque hay un factor adicional de tres en elegir que de los tres nuevas líneas al contrato.
Tan $del \ delta \ lambda = - 3 B \ lambda^2 b \,$
Estas dos ecuaciones juntas definen las ecuaciones del grupo de la renormalización en cuatro dimensiones:

${d \ lambda \ sobre \ lambda} = {- 3 B \ lambdas \ sobre 2} b \,$
El coeficiente B es determinado por el $del de la fórmula = \ int_ de B b {\ Lambda<|k|< (1+b) \ lambda} {d^4k \ sobre (2 \ pi) ^4} {1 \ sobre k^4} \,$ Y es proporcional al área de una esfera tridimensional del λ del radio, mide el tiempo de la anchura del el $b \ Lambda$ de la región de la integración dividió por el $B= (2 \ pi^2 \ Lambda^3) {1 \ sobre (2 \ pi) ^4} {b \ lambda} {1 \ sobre b \ Lambda^4} = {1 \ sobre 8 \ pi^2} \,$
En otras dimensiones, el B constante cambia, pero el mismo constante aparece ambos en el flujo de t y en el flujo del acoplador. la razón es que el derivado con respecto a t del lazo cerrado con una sola cima es un lazo cerrado con dos cimas. Esto significa que la única diferencia entre el escalamiento del acoplador y el t es los factores combinatorios de ensamblar y el partir.
Punto de Wilson Fisher
Para investigar tres dimensiones a partir de la teoría cuadridimensional debe ser posible, porque la intersección las probabilidades de caminatas al azar dependen continuamente de la dimensionalidad del espacio. En la lengua de los gráficos de Feynman, el acoplador no cambia mucho cuando se cambia la dimensión.
El proceso de la continuación lejos de la dimensión cuatro no está totalmente bien definido sin una prescripción para cómo a hacerlo. La prescripción está solamente bien definida en diagramas. Substituye la representación de Schwinger en la dimensión 4 por Representación de Schwinger en el $4 \ epsilon$ de la dimensión definida cerca:

$= (x-y) \ e^ de la internacional d de G \ del tau {1 \ sobre el t^ {d \ sobre 2}} \,$
En la dimensión $4- \ epsilon$ , el λ del acoplador tiene dimensión positiva de la escala el ε, y éste se deben agregar al flujo.

${despegue \ sobre t} = 2 - \ lambda B \,$
El coeficiente B es dependiente de la dimensión, pero cancelará. El punto fijo para el λ es no más cero, pero en:

$\ lambda = {\ épsilon \ sobre 3B}$ donde las dimensiones de la escala de t son alteradas por = \ epsilon/3 del $\ lambda de la cantidad B. El exponente de la magnetización se altera proporcionalmente: {1 \ sobre 2} (1 - {\ épsilon \ sobre 3})$
cuál es .333 en 3 dimensiones ( $\ epsilon=1$ ) y .166 en 2 dimensiones ( $\ epsilon=2$ ). Esto no es hasta ahora apagado del exponente medido .308 y del exponente de dos dimensiones .

Dimensiones bajas - vueltas del bloque
En tres dimensiones, la serie perturbative de la teoría de campo es una extensión en un λ constante del acoplador que no sea particularmente pequeño. El tamaño eficaz del acoplador en el punto fijo es uno sobre el factor de ramificación de las trayectorias de la partícula, así que el parámetro de la extensión es cerca de 1/3. En dos dimensiones, el parámetro perturbative de la extensión es 2/3.
Pero la renormalización se puede también aplicar productivo a las vueltas directo, sin el paso a un campo medio. Históricamente, este acercamiento es debido al Leo Kadanoff y precedió la extensión perturbative del ε.
La idea es integrar hacia fuera enreja vueltas iterativo, generando un flujo en acopladores. Pero ahora los acopladores son coeficientes de energía de enrejado. El hecho de que exista una descripción de la serie continua las garantías que esta iteración convergerá a un punto fijo cuando la temperatura se templa a la criticalidad.
Renormalización de Migdal-Kadanoff
Escribir el modelo de Ising de dos dimensiones con un número infinito de interacciones más altas posibles de la orden. Para guardar simetría de la reflexión de la vuelta, solamente incluso las energías contribuyen:

$E = \ + \ suma J_ {ijkl} S_i S_j S_k S_l de J_ del sum_ {ij} {ij} S_i S_j… \,$
Por la invariación de traducción, el $J_ {ij}$ es solamente una función del i-j. Por la simetría rotatoria accidental, en i y j grandes su tamaño depende solamente de la magnitud del i-j de dos dimensiones del vector. Los coeficientes más altos de la orden también se restringen semejantemente.
La iteración de la renormalización divide el enrejado en dos porciones - incluso vueltas y vueltas impares. Las vueltas impares viven en las posiciones del enrejado del impar-tablero de damas, e incluso las que está en el uniforme-tablero de damas. Cuando las vueltas son puestas en un índice por la posición (i, j), los sitios impares es ésos con i+j impar e incluso los sitios ésos con i+j incluso, e incluso los sitios están conectados solamente con los sitios impares.
Los dos valores posibles de las vueltas impares serán integrados hacia fuera, sumando sobre ambos valores posibles. Esto producirá una nueva función de la energía libre para seguir siendo incluso vueltas, con los nuevos acopladores ajustados. Incluso las vueltas están otra vez en un enrejado, con las hachas inclinadas en 45 grados las viejas. Unrotating el sistema restaura la vieja configuración, pero con nuevos parámetros. Estos parámetros describen la interacción entre las vueltas en el $\ el scriptstyle \ raíz cuadrada {2}$ de las distancias más grandes.
A partir de el modelo y la repetición de Ising de esta iteración cambia eventual todos los acopladores. Cuando la temperatura es más alta que crítica, los acopladores convergerán a cero, puesto que las vueltas en las distancias grandes son sin correlación. Pero cuando la temperatura es crítica, habrá coeficientes diferentes a cero que ligan vueltas en todas las órdenes. El flujo puede ser aproximado solamente considerando los primeros términos. Este flujo truncado producirá mejores y mejores aproximaciones a los exponentes críticos cuando más términos son incluidos.
La aproximación más simple es guardar solamente el término generalmente de J, y desecha todo otro. Esto generará un flujo en J, análogo al flujo en t en el punto fijo del λ en la extensión del ε.
Para encontrar el cambio en J, considerar a cuatro vecinos de un sitio impar. Éstas son las únicas vueltas que obran recíprocamente con él. La contribución multiplicativa a la función de partición de la suma sobre los dos valores de la vuelta en el sitio impar es:

$e^ {J (N_+ - N_-)} + e^ {J (N_- - N_+)} = 2 \ garrote (J (N_+ - N_-) \,$
Donde están el número $N_+, N_-$ de vecinos que sean + y −. No haciendo caso del factor de 2, la contribución de la energía libre de este sitio impar es:

$F = \ registro (\ garrote (J (N_+ - N_-)) \,$
Esto incluye el vecino más cercano y las interacciones vecinas siguiente-más cercanas, según lo esperado, pero también cuatro-hacer girar la interacción que debe ser desechada. Para truncar a las interacciones vecinas más cercanas, considerar que la diferencia en energía entre toda hace girar el mismo y el igual numera + y - es:

$\ = \ ln del delta F (\ garrote (4J)) \,$ Donde está la dimensión D del enrejado, D es tres. De los acopladores vecinos más cercanos, la diferencia en energía entre toda hace girar el igual y las vueltas escalonadas son 8J. La diferencia en energía entre toda hace girar el igual y nonstaggered pero pesca la vuelta cero es 4J. No haciendo caso cuatro-hacer girar las interacciones, un truncamiento razonable es el promedio de estas dos energías o 6J. Puesto que cada acoplamiento contribuirá a dos vueltas impares, el valor correcto a comparar con el anterior es mitad eso:

$3J' = \ ln (\ garrote (4J)) \,$ Para pequeño J, esto fluye rápidamente al acoplador cero. Flujo del j grande a los acopladores grandes. El exponente de la magnetización es resuelto de la cuesta de la ecuación en el punto fijo.
Las variantes de este método producen las buenas aproximaciones numéricas para los exponentes críticos cuando muchos términos son incluidos, en dos y tres dimensiones.

Ver también
style=" del
modelo de Ising del Cuadrado-enrejado
Modelo de Heisenberg clásico
Modelo de Quantum Heisenberg
Kuramoto modelo
Modelo XY
Modelo de Potts
Uniformidad máxima
Red de campo de lúpulo
ANNNI modelo
Imán geométrico frustrated
modelo del t-J

.
Zenithic
La Celia
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