nota del

l : El modelo del término tiene un diverso significado en la teoría modelo, una rama de la lógica matemática . Un artefacto que se utiliza para ilustrar una idea matemática también se llama un del modelo matemático y este uso es el revés del sentido explicado abajo.

Un modelo matemático es un modelo abstracto que utiliza lengua matemática para describir un sistema . Los modelos matemáticos se utilizan particularmente en las ciencias naturales y la ingeniería disciplina (por ejemplo la física, la biología, y la ingeniería eléctrica ) pero también en las ciencias sociales (tal como economía, sociología y ciencia política ); Los informáticos de los ingenieros de los físicos y los economistas utilizan modelos matemáticos lo más extensivamente posible.

Eykhoff (1974) definió un modelo matemático como “representación de los aspectos esenciales de un sistema existente (o de un sistema que se construirá) que presenta conocimiento de ese sistema en forma usable”.

Los modelos matemáticos pueden llevar muchas formas, incluyendo pero no limitadas los sistemas dinámicos, los modelos estadísticos, las ecuaciones diferenciales, o el juego - modelos teóricos . Éstos y otros tipos de modelos pueden traslaparse, con un modelo dado implicando una variedad de estructuras abstractas.

Ejemplos de modelos matemáticos

crecimiento de la población . (Aunque es aproximado) un modelo simple del crecimiento demográfico es el modelo Malthusian del crecimiento. El modelo preferred del crecimiento demográfico es la función logística .
Modelo del de una partícula en un potencial-campo . En este modelo consideramos una partícula como siendo un punto del total m que describe una trayectoria que sea modelada por un x de la función: R ³ del → del R dado sus coordenadas en espacio en función de tiempo. El campo potencial es dado por un V de la función: El R del → del R ³ y la trayectoria es una solución del del
de la ecuación diferencial $m\; \backslash \; frac\; \{d^2\}\; \{dt^2\}\; x\; de\; (t)\; =\; -\; \backslash \; operatorname\; \{graduado\}\; \backslash \; se\; fue\; (V\; (x\; (t)\; \backslash \; derecho).\; nota\; del$
de que este modelo asume que la partícula es una masa del punto, que se sabe ciertamente para ser falsa en muchos casos nosotros utiliza este modelo, por ejemplo, como modelo del movimiento planetario.
modelo del

l comportamiento racional para un consumidor . En este modelo asumimos caras de un consumidor una opción de las materias del n etiquetadas 1.2,…, el n cada uno con un p ₁, p ₂ del precio de mercado,…, el n del _{del p . Asumen al consumidor para tener un cardinal U de la función para uso general del (cardinal en el sentido que asigna valores numéricos a las utilidades), dependiendo de las cantidades del x 1, x 2 de las materias,…, el n} del _{del x consumido. El modelo más futuro asume que el consumidor tiene un M que ella utilice para comprar un x 1 del vector, x 2 del presupuesto,…, el n} del _{del x a fin de maximizar el U ( x 1, x 2,…, n} del _{del x ). El problema del comportamiento racional en este modelo entonces se convierte en un problema de la optimización, de que es: del
$de\; \backslash$
máximo de U (x_1, x_2, \ ldots, x_n) conforme a:
$\backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^n\; p\_i\; x\_i\; \backslash \; leq\; M.$
$x\_\; \{\}\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash ;\; de\; i\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; el\; forall\; i\; \backslash \; en\; \backslash \; \{1,\; 2,\; \backslash \; los\; ldots,\; n\; \backslash \}$
de este modelo se ha utilizado en teoría general del equilibrio, particularmente a la existencia y al óptimun de la demostración de Pareto de equilibrios económicos. Sin embargo, el hecho de que esta formulación particular asigne a los valores numéricos a los niveles de satisfacción es la fuente de críticas (e incluso de irrisión). Sin embargo, no es un ingrediente esencial de la teoría y esto es otra vez una idealización. el modelo de Vecino-detección explica la formación de la seta de la red fungicida inicialmente caótico .}

Fondo

A menudo cuando los ingenieros analizan un sistema que se controlará u optimizado, utilizan un modelo matemático. En análisis, los ingenieros pueden construir un modelo descriptivo del sistema como hipótesis de cómo el sistema podría trabajar, o intentan estimar cómo un acontecimiento imprevisto podría afectar al sistema. Semejantemente, en control de un sistema, los ingenieros pueden probar diversos acercamientos del control en las simulaciones

Un modelo matemático describe generalmente un sistema por un sistema de variables y un sistema de las ecuaciones que establecen relaciones entre las variables. Los valores de las variables pueden ser prácticamente cualquier cosa; números verdaderos del número entero de o, valores boleanos o secuencias, por ejemplo. Las variables representan algunas características del sistema, por ejemplo, las salidas de sistema medidas a menudo bajo la forma de señales, datos que miden el tiempo, contadores, ocurrencia del acontecimiento (sí/no). El modelo real es el sistema de las funciones que describen las relaciones entre las diversas variables.

Bloques huecos

Hay seis grupos de base de variables: variables de decisión, variables de entrada, variables de estado, variables exógenas, variables al azar, y variables de salida. Puesto que puede haber muchas variables de cada tipo, las variables son representadas generalmente por vectores.

Las variables de decisión se conocen a veces como variables independientes. Las variables exógenas se conocen a veces como parámetros o constantes. Las variables no son independiente de uno a pues las variables de estado son dependientes en la decisión, la entrada, las al azar, y las variables exógenas. Además, las variables de salida son dependientes en el estado del sistema (representado por las variables de estado).

Los objetivos y los apremios del sistema y de sus usuarios se pueden representar como funciones de las variables de salida o de las variables de estado. Las funciones objetivas dependerán de la perspectiva del usuario del modelo. Dependiendo del contexto, una función objetiva también se conoce como índice del funcionamiento, pues es una cierta medida de interés al usuario. Aunque no haya límite al número de funciones objetivas y los apremios que un modelo puede tener, usar o la optimización del modelo llega a estar más implicada (de cómputo).

Clasificar modelos matemáticos

Muchos modelos matemáticos se pueden clasificar de algunas de las maneras siguientes:

linear contra no linear: Los modelos matemáticos son compuestos generalmente por las variables que son abstracciones de cantidades de interés en los sistemas descritos, y los operadores que actúan en estas variables, que pueden ser operadores algebraicos, funciones, operadores diferenciados, etc. Si definen a todos los operadores en una linearidad del presente del modelo matemático el modelo matemático resultante como lineares. Un modelo se considera ser no linear de otra manera. el

l del
la cuestión de linearidades y de la ausencia de linealidad es dependiente en contexto, y los modelos lineares pueden tener expresiones no lineares en ellas. Por ejemplo, en un modelo linear estadístico, se asume que una relación es linear en los parámetros, pero puede ser no linear en las variables del calculador. Semejantemente, una ecuación diferencial reputa linear si puede ser escrito con los operadores diferenciados linear pero puede todavía tener expresiones no lineares en él. En un modelo de la programación matemática, si las funciones objetivas y los apremios son representados enteramente por las ecuaciones lineares entonces el modelo se mira como modelo linear. Si uno o más de las funciones objetivas o los apremios se representan con una ecuación no linear, después el modelo se conoce como modelo no linear. la ausencia de linealidad del

l del
, incluso en sistemas bastante simples, se asocia a menudo a fenómenos tales como caos e irrevocabilidad . Aunque haya excepciones, los sistemas no lineares y los modelos tienden a ser más difíciles de estudiar que los lineares. Un acercamiento común a los problemas no lineares es la linearización, pero éste puede ser problemático si uno está intentando estudiar los aspectos tales como irrevocabilidad que se atan fuerte a la ausencia de linealidad.

terminista contra de probabilidad (estocástico): Un modelo determinista es uno en el cual cada sistema de estados variables es determinado únicamente por parámetros en el modelo y por los sistemas de los estados anteriores de estas variables. Por lo tanto, los modelos deterministas realizan la misma manera para un sistema dado de condiciones iniciales. Inversamente, en un modelo estocástico, la aleatoriedad está presente, y los estados variables no son descritos por valores únicos, sino algo por distribuciones de probabilidad.

Parásitos atmosféricos contra dinámico: Un modelo estático no explica el elemento del tiempo, mientras que hace un modelo dinámico. Los modelos dinámicos se representan típicamente con las ecuaciones de diferencia o las ecuaciones diferenciales.

Parámetros amontonados contra parámetros distribuidos : Si el modelo es homogéneo (estado constante a través del sistema entero) se amontonan los parámetros. Si el modelo es heterogéneo (estado diverso dentro del sistema), después se distribuyen los parámetros. Los parámetros distribuidos se representan típicamente con las ecuaciones diferenciales parciales

Información a priori

Los problemas del modelado matemático se clasifican a menudo en la caja negra o modelos de la caja blanca, según cuánto información a priori está disponible del sistema. Un modelo de la caja negra es un sistema cuyo no hay información a priori disponible. Un modelo de la blanco-caja (también llamado la caja de cristal o caja clara) es un sistema donde está disponible toda la información necesaria. Prácticamente todos los sistemas están en alguna parte entre la caja negra y los modelos de la blanco-caja, así que los trabajos de este concepto solamente como guía intuitiva para el acercamiento.

Es generalmente preferible al uso tanta información a priori como sea posible hacer el modelo más exacto. Por lo tanto los modelos de la blanco-caja generalmente se consideran más fáciles, porque si usted ha utilizado la información correctamente, después el modelo se comportará correctamente. La información a priori viene a menudo en formas de saber el tipo de funciones que relacionan diversas variables. Por ejemplo, si hacemos un modelo de cómo una medicina trabaja en un sistema humano, sabemos que la cantidad de medicina en la sangre es generalmente un exponencial que decae la función de . Pero nos todavía dejan con varios parámetros desconocidos; ¿la cantidad de la medicina decae cómo rápido, y cuál es la cantidad inicial de medicina en sangre? Este ejemplo es por lo tanto no totalmente un modelo de la blanco-caja. Estos parámetros tienen que ser estimados con algunos medios antes de que uno pueda utilizar el modelo.

En modelos de la caja negra uno intenta estimar la forma funcional de relaciones entre las variables y los parámetros numéricos en esas funciones. Usando la información a priori podríamos terminar para arriba, por ejemplo, con un sistema de las funciones que podrían describir probablemente el sistema adecuado. Si no hay información a priori intentaríamos utilizar a general de las funciones tan como sea posible cubrir todos los diversos modelos. Un acercamiento de uso frecuente para los modelos de la caja negra es las redes de los nervios que no asumen generalmente casi cualquier cosa sobre los datos entrantes. El problema con usar un sistema grande de funciones para describir un sistema es ése que estima los parámetros llega a ser cada vez más difícil cuando la cantidad de parámetros (y de diversos tipos de funciones) aumenta.

Información subjetiva

Es a veces útil incorporar la información subjetiva en un modelo matemático. Esto se puede hacer basó en la intuición, la experiencia, o el juicio de expertos, o basado en conveniencia de la forma matemática. Las estadísticas Bayesian proporcionan un marco teórico para incorporar tal subjetividad en un análisis riguroso: uno especifica una distribución de probabilidad anterior (que pueda ser subjetiva) y después pone al día esta distribución basada en datos empíricos. Un ejemplo de cuando tal acercamiento sería necesario es una situación en la cual un experimentador dobla una moneda levemente y la sacude una vez, registrando si sube las cabezas, y después se da la tarea de predecir la probabilidad que sube el tirón siguiente las cabezas. Después de doblar la moneda, la probabilidad verdadera que subirá la moneda las cabezas es desconocida, así que el experimentador necesitaría tomar una decisión arbitraria (quizás mirando la forma de la moneda) sobre qué distribución anterior a utilizar. La incorporación de la información subjetiva es necesaria en este caso conseguir una predicción exacta de la probabilidad, puesto que de otra manera una conjeturaría 1 o 0 como la probabilidad del tirón siguiente que es las cabezas, que serían casi ciertamente incorrectas.

Complejidad

La complejidad modelo implica generalmente una compensación entre la simplicidad y la exactitud del modelo. La maquinilla de afeitar de Occam es un principio particularmente relevante al modelado; la idea esencial que es ésa entre modelos con energía profética áspero igual, la más simple es la más deseable. Mientras que la complejidad agregada mejora generalmente el ajuste de un modelo, puede hacer el modelo difícil entender y trabajar con, y puede también plantear problemas de cómputo, incluyendo la inestabilidad numérica . El Thomas Kuhn sostiene que como progresa la ciencia, las explicaciones tienden a llegar a ser más complejas antes de que un cambio del paradigma ofrezca la simplificación radical.

Por ejemplo, al modelar el vuelo de un avión, podríamos encajar cada pieza mecánica de los aviones en nuestro modelo y casi adquiriríamos así un modelo de la blanco-caja del sistema. Sin embargo, el coste de cómputo de agregar a tal enorme cantidad de detalle inhibiría con eficacia el uso de tal modelo. Además, la incertidumbre aumentaría debido a un sistema excesivamente complejo, porque cada uno parte separada induce una cierta cantidad de variación en el modelo. Es por lo tanto generalmente apropiado hacer algunas aproximaciones para reducir el modelo a un tamaño sensible. Los ingenieros pueden aceptar a menudo algunas aproximaciones para conseguir un modelo más robusto y más simple. Por ejemplo los mecánicos clásicos del de Newton son un modelo aproximado del mundo real. No obstante, el modelo de Newton es absolutamente suficiente para la mayoría de las situaciones de la ordinario-vida, es decir, mientras las velocidades de la partícula estén bien debajo de la velocidad de la luz, y estudiamos macro-partículas solamente.

Entrenamiento

Cualquier modelo que no sea blanco-caja pura contiene algunos parámetros que que se puede utilizar para caber el modelo al sistema él describirá. Si el modelado es hecho por una red de los nervios, la optimización de parámetros se llama el entrenamiento del . En un modelado más convencional con funciones matemáticas explícitamente dadas, los parámetros son determinados por el ajuste de curvas .

Evaluación modelo

Una parte crucial del proceso de modelado es la evaluación de independientemente de si un modelo matemático dado describe un sistema exactamente. Esta pregunta puede ser difícil de contestar mientras que implica varios diversos tipos de evaluación.

Ajuste a los datos empíricos

La parte más fácil de la evaluación modelo está comprobando generalmente si un modelo cabe medidas experimentales u otros datos empíricos. En modelos con parámetros, un acercamiento común para probar este ajuste es partir los datos en dos desune subconjuntos: datos del entrenamiento y datos de la verificación. Los datos del entrenamiento se utilizan para estimar los parámetros modelo. Un modelo exacto emparejará de cerca los datos de la verificación aunque estos datos no fueron utilizados para fijar los parámetros del modelo.

La definición de un métrico para medir distancias entre los datos observados y previstos es una herramienta útil de determinar ajuste del modelo. En estadísticas, teoría de decisión, y algunos modelos económicos, una función de pérdida desempeña un papel similar.

Mientras que es algo directo probar la conveniencia de parámetros, puede ser más difícil probar la validez de la forma matemática general de un modelo. Herramientas más matemáticas se han desarrollado generalmente para probar el ajuste de los modelos estadísticos que los modelos que implicaban las ecuaciones diferenciales . Las herramientas de las estadísticas no paramétricas se pueden utilizar a veces para evaluar como de bien ajustes de los datos una distribución sabida o para subir con un modelo general que haga solamente asunciones mínimas sobre la forma matemática del modelo.

Alcance del modelo

La determinación del alcance de un modelo, es decir, determinando qué situaciones es aplicable el modelo, puede ser menos directa. Si el modelo fue construido basó en un sistema de datos, uno debe determinar para qué sistemas o situaciones son un sistema los datos de datos típico.

La cuestión de si el modelo describe bien las características del sistema entre los puntos de referencias se llama la interpolación, y la misma pregunta para los acontecimientos o los puntos de referencias fuera de los datos observados se llama la extrapolación .

Como ejemplo de las limitaciones típicas del alcance de un modelo, en los mecánicos clásicos de evaluación neutoniano, podemos observar que Newton hizo sus medidas sin el equipo avanzado, así que él no podría medir características de las partículas que viajaban a las velocidades cerca de la velocidad de la luz. Asimismo, él no midió los movimientos de moléculas y de otras pequeñas partículas, sino las partículas macras solamente. No es entonces de extrañar que su modelo no extrapola bien en estos dominios, aunque su modelo es absolutamente suficiente para la física ordinaria de la vida.

Consideraciones filosóficas

Muchos tipos de modelado implícito implican demandas sobre la causalidad . Esto es verdad generalmente (pero no siempre) de los modelos que implican las ecuaciones diferenciales . Pues el propósito del modelado es aumentar nuestra comprensión del mundo, la validez de los basar de un modelo no sólo en su ajuste a las observaciones empíricas, pero también en su capacidad de extrapolar a las situaciones o a los datos más allá de ésos descritos original en el modelo. Uno puede sostener que un modelo es sin valor a menos que proporcione una cierta penetración que vaya más allá de qué se sabe ya de la investigación directa del fenómeno que es estudiado.

Un ejemplo de tales críticas es la discusión que los modelos matemáticos de la teoría óptima del forraje no ofrecen a penetración que va más allá de las conclusiones common-sense de la evolución y de otros principios de base de la ecología.

Ver también

modelo
Simulación
Simulación de computadora
Modelo estadístico
Ecuaciones diferenciales
Sistemas dinámicos
computacional Biológico-inspirado
Modelo (economía)
Modelos matemáticos en la física
Psicología matemática
Sociología matemática

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Zenithic

Ethanol (disambiguation)

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