Un modo normal de un sistema oscilante es un patrón del movimiento en el cual todas las partes del movimiento del sistema sinusoidal con la misma frecuencia. Las frecuencias de los modos normales de un sistema se conocen como sus frecuencias naturales o frecuencias resonantes. Un objeto físico, tal como un edificio o un puente, tiene un sistema de los modos normales (y de las frecuencias) que dependen de su estructura y composición.

Es común utilizar un sistema de la resorte-masa para ilustrar una estructura deformable. Cuando tal sistema es emocionado a la una de estas frecuencias naturales, todas las masas se mueven en la misma frecuencia. Las fases de las masas son o exactamente iguales o exactamente enfrente de. La significación práctica de esto se puede ilustrar por un modelo del masa-resorte de un edificio. Si un terremoto excita el sistema cerca de una de las frecuencias naturales, la dislocación de un piso con respecto a otro será máxima. Obviamente, los edificios pueden soportar solamente esta dislocación hasta cierto punto. El poder modelar un edificio y encontrar sus modos normales es una manera fácil de comprobar la seguridad del diseño de un edificio. El concepto de modos normales también encuentra el uso en la teoría de onda, la óptica y los mecánicos de Quantum .

Ejemplo - modos normales de osciladores juntados

Considerar dos cuerpos (no afectados por la gravedad), cada uno del M de la masa, atado a tres resortes, cada uno con el constante K del resorte. Se atan de la manera siguiente:

donde están fijos y no pueden moverse los puntos del borde. Utilizaremos el x ₁ ( t ) para denotar la dislocación de la masa extrema izquierda, y el x ₂ ( t ) para denotar la dislocación del de derecha.

Si denotamos el segundo derivado x ( t ) con respecto a tiempo como ″ del x, las ecuaciones del movimiento son:

$M\; \backslash \; ddot\; x\_1\; =\; -\; K\; x\_1\; +\; K\; (x\_2\; -\; x\_1)\; \backslash ,$

$M\; \backslash \; ddot\; x\_2\; =\; -\; K\; x\_2\; +\; K\; (x\_1\; -\; x\_2)\; \backslash ,$

Puesto que contamos con el movimiento oscilatorio, intentamos:

$x\_1\; (t)\; =\; A\_1\; e^\; \{i\; \backslash \}\; \backslash ,\; de\; Omega\; t$

$x\_2\; (t)\; =\; A\_2\; e^\; \{i\; \backslash \}\; \backslash ,\; de\; Omega\; t$

Substituir éstos en las ecuaciones del movimiento nos da:

$-\; \backslash \; omega^2\; M\; A\_1\; e^\; \{i\; \backslash \; Omega\; t\}\; =\; -\; 2\; K\; A\_1\; e^\; \{i\; \backslash \; Omega\; t\}\; +\; K\; A\_2\; e^\; \{i\; \backslash \}\; \backslash ,\; de\; Omega\; t$

$-\; \backslash \; omega^2\; M\; A\_2\; e^\; \{i\; \backslash \; Omega\; t\}\; =\; K\; A\_1\; e^\; \{i\; \backslash \; Omega\; t\}\; -\; 2\; K\; A\_2\; e^\; \{i\; \backslash \}\; \backslash ,\; de\; Omega\; t$

Puesto que el factor exponencial es común a todos los términos, lo omitimos y lo simplificamos:

$(\backslash \; omega^2\; M\; -\; 2\; K)\; A\_1\; +\; K\; A\_2\; =\; 0\; \backslash ,$

$K\; A\_1\; +\; (\backslash \; omega^2\; M\; -\; 2\; K)\; A\_2\; =\; 0\; \backslash ,$

Y en la representación de matriz:

$\backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; \backslash \; omega^2\; M\; -\; 2\; K\; y\; de\; K\; \backslash \; \backslash \; Y\; \backslash \; omega^2\; M\; -\; 2\; K\; de\; K\; \backslash \; el\; extremo\; \{bmatrix\}\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; A\_1\; \backslash \; \backslash \; A\_2\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; =\; 0$

Para que esta ecuación tenga una solución no trivial, la matriz a la izquierda debe ser el singular, por lo tanto el determinante de la matriz debe ser igual a 0, tan:

$(\backslash \; omega^2\; M\; -\; 2\; K)^2\; -\; K^2\; =\; 0\; \backslash ,$

Solucionando para el $\backslash \; omega$, tenemos dos soluciones: $\backslash \; omega\_1\; del$

l = \ raíz cuadrada {\ frac {K} {M}} , $\backslash \; omega\_2\; del$
= \ raíz cuadrada {\ frac {3 K} {M}} ,

Si substituimos el $\backslash \; omega\_1$ en la matriz y lo solucionamos para ($A\_1,\; A\_2$), conseguimos (1, 1). Si substituimos el $\backslash \; omega\_2$, conseguimos (1, -1). (Estos vectores son los vectores propios, y las frecuencias son los valores propios .)

El primer modo normal es:

$\backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; x\_1\; (t)\; \backslash \; \backslash \; x\_2\; (t)\; \backslash \; fin\; \{pmatrix\}\; =\; c\_1\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; del\; pmatrix\; \{t\; +\; (\backslash \; omega\_1\; \backslash \; phi\_1)\}$

y el segundo modo normal es:

$\backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; x\_1\; (t)\; \backslash \; \backslash \; x\_2\; (t)\; \backslash \; fin\; \{pmatrix\}\; =\; c\_2\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash \; \backslash \; -1\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; del\; pmatrix\; \{t\; +\; (\backslash \; omega\_2\; \backslash \; phi\_2)\}$

La solución general es una superposición de los modos normales donde el c ₁, c ₂, φ₁, y φ₂, es determinado por las condiciones de la inicial del problema.

El proceso demostrado aquí se puede generalizar y formular usar el formalismo de los mecánicos des Lagrange o de los mecánicos hamiltonianos .

Ondas derechas

Una onda derecha es una forma continua de modo normal. En una onda derecha, todos los elementos del espacio (es decir (el x, el y, el z ) los coordenadas) están oscilando en la misma frecuencia y en la fase (que alcanza el punto del equilibrio junto), solamente cada uno tienen una diversa amplitud.

La forma general de una onda derecha es:

$\backslash \; PSI\; (t)\; =\; f\; (x,\; y,\; z)\; (A\; \backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; Omega\; t)\; +\; B\; \backslash \; pecado\; (\backslash \; Omega\; t))$

donde el f ( x, y, z ) representa la dependencia de la amplitud de la localización y el coseno \ el seno están las oscilaciones a tiempo.

Físicamente, las ondas derechas son formadas por la interferencia (superposición) de ondas y de sus reflexiones (aunque uno puede también decir el contrario; que una onda móvil es una superposición de ondas derechas). La forma geométrica del medio determina cuál sería el patrón de interferencia, así determina la forma del f ( x, y, z ) de la onda derecha. Esta espacio-dependencia se llama un modo normal .

Generalmente, para los problemas con dependencia continua prendido (el x, el y, el z ) hay no o número finito de modos normales, pero hay infinitamente muchos modos normales. Si se limita el problema (es decir se define en una sección finita del espacio) allí es contable muchos modos normales de (un infinito discreto de) (generalmente numerados el n = 1. Si el problema no se limita, no hay un espectro continuo de modos normales.

Las frecuencias permitidas son dependientes en los modos normales, así como en los constantes físicos del problema (densidad, tensión, presión, etc.) que fijó la velocidad de fase de la onda. La gama de todas las frecuencias normales posibles se llama el espectro de la frecuencia. Generalmente, cada frecuencia es modulada por la amplitud en la cual se ha presentado, creando un gráfico del espectro de energía de las oscilaciones.

Cuando en lo que concierne la música, los modos normales de los instrumentos vibrantes (secuencias, pipas de aire, tambores, etc.) se llaman " " de los armónicos ;.

Modos normales en mecánicos de quántum

En los mecánicos de Quantum, un $del\; estado\; \backslash \; |\; \backslash \; la\; PSI\; \backslash \; rang$ de un sistema es descrita por \ \ PSI del $de\; Wavefunction\; (x,\; t)$which soluciona la ecuación de Schrödinger. El cuadrado del valor absoluto del \ \ PSI del $,\; es\; decir.$

$\backslash \; P\; (x,\; t)\; =\; |\backslash \; PSI\; (x,\; t)|^2$

es la densidad de la probabilidad para medir la partícula en el x del lugar en el t del tiempo .

Generalmente, al implicar una cierta clase del potencial, el wavefunction se descompone en una superposición Eigenstates cada uno de la energía que oscila con la frecuencia del $\backslash \; de\; Omega\; =\; de\; E\_n/\backslash$ hbar. Así, podemos escribir

$|\backslash \; la\; PSI\; (t)\; \backslash \; sonó\; =\; \backslash \; sum\_n\; |n\; \backslash \; sonó\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; langle\; n\; |\; \backslash \; PSI\; (t=0)\; \backslash \; e^\; correcto\; \backslash \; del\; rangle\; \{-\; iE\_nt/\backslash \; hbar\}$

Los eigenstates tienen un significado físico más futuro que una base ortonormal . Cuando la energía del sistema es medido, el wavefunction se derrumba en uno de sus eigenstates y así que el wavefunction de la partícula es descrito por el eigenstate puro que corresponde a la energía medida .

Ver también