Un n del modulo de la raíz primitiva del es un concepto de la aritmética modular en la teoría de número .

Si el ≥ 1 del n es un número entero, el coprimero de los números a la forma del n al grupo con el n del modulo de la multiplicación como la operación; el n * del del Z denota al grupo que es isomorfo a los × del grupo ( Z / Z del n); . Este grupo es el k del cíclico si y solamente si el n es igual a 1, 2, 4, el k del del p, o 2 del p para un ≥ 3 del p del número primero y el ≥ 1. Un generador de este grupo cíclico se llama un n del modulo de la raíz primitiva del, o un elemento primitivo del del n * del del Z .

Un n del modulo de la raíz primitiva, es decir es un g del número entero tales que cada número entero que no tiene un factor común con el n es el congruente a una energía del g ( n del modulo). Alternativo, su modulo n de la orden es $\backslash \; phi\; \backslash \; dejó\; (n\; \backslash \; derecho)$, función totient de Euler en el N.

n de la toma por ejemplo = 14. Los elementos de 14 ^* del _{del Z del}

l

son las clases de la congruencia de del

1, 3 del, 5, 9, 11 y 13.

Entonces 3 es un modulo 14 de la raíz primitiva, pues tenemos   de 3 ²; $\backslash \; equiv$  9,   de 3 ³; $\backslash \; equiv$  13, 3⁴  $\backslash \; equiv$  11, 3⁵  $\backslash \; equiv$  5 y 3⁶  $\backslash \; equiv$  1 (MOD 14). El único el otro modulo 14 de la raíz primitiva es 5.

&ndash de n nk (MOD 14); (solamente el primer caso de cada ciclo se demuestra) 1: 1, 2: 2, 4, 8 3: 3, 9, 13, 11, 5, 1 4: 4, 2, 8 5: 5, 11, 13, 9, 3, 1 6: 6, 8 7: 7, 8: 8, 9: 9, 11, 1 10: 10, 2, 6, 4, 12, 8 11: 11, 9, 1 12: 12, 4, 6, 2, 10, 8 13: 13, 1 14: 0,

El único n de los números cuyas energías pueden alcanzar 1 (MOD 14) es coprimero a 14. El sistema de todos estos números es S  =  (1,   3,   9,   13,   11,   5).

Puesto que el problema se puede formular como f ( n,     del k ); =  n^k  −   1  $\backslash \; equiv$  0  (mod  14) tenemos la noción de las raíces para esos el n que satisfagan este polinomio para un   del k de la energía; >  0.

El sistema S  =  {1,   3,   9,   13,   11,   5} contiene todas las raíces, el sistema R  =  {3,   5} es el sistema de " roots" primitivo;, cuyas energías (la MOD 14) completan un ciclo a través de todas las raíces posibles, o " generate" este sistema.

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Aquí está una tabla que contiene la raíz primitiva más pequeña para los varios valores del n :

Aplicaciones

El modulo n de la raíz primitiva es de uso frecuente en la criptografía, incluyendo el esquema del intercambio de la llave de Diffie-Hellman.

Ver también

Conjetura de Artin en las raíces primitivas
Carácter de Dirichlet
Generalización de los gauss del teorema de Wilson
Modulo n de la orden

.

Zenithic

Amenhirkhopshef

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