En el contexto de la álgebra del extracto o de la álgebra universal, un monomorfismo es simplemente un homomorfismo inyectivo .

En el ajuste más general de la teoría de la categoría, un monomorfismo (también llamado un el morphism monic o un mono ) es un Izquierdo-cancellative Morphism, es decir, un $f\; del\; mapa\; \backslash \; dos\; puntos\; X\; \backslash \; a\; Y$ tales que el $f\; \backslash \; el\; circ\; del\; g\_1\; =\; f\; \backslash \; el\; circ\; g\_2\; \backslash \; implica\; g\_1\; =\; g\_2$ para todos los morphisms $g\_1,\; g\_2\; \backslash \; dos\; puntos\; Z\; \backslash \; a\; X$.

Los monomorfismos son una generalización categórica de las funciones inyectivas en algunas categorías que coinciden las nociones, pero los monomorfismos son más generales, como en los ejemplos debajo de .

El dual de un monomorfismo es un Epimorphism (es decir un monomorfismo en un C de la categoría es un epimorphism en el dual C ^op de la categoría ).

Terminología

El monomorfismo del de los términos del compañero y el Epimorphism del fueron introducidos original por el Bourbaki ; Bourbaki utiliza el monomorfismo del como taquigrafía para una función inyectiva. Los teóricos tempranos de la categoría creyeron que la generalización correcta del injectivity al contexto de categorías era la característica dada arriba. Mientras que esto no es exactamente verdad para los mapas monic, está muy cercano, así que éste ha causado poco apuro, desemejante del caso de epimorphisms. El carril del mac de Saunders intentó hacer una distinción entre lo que él llamó los monomorfismos del, que eran mapas en una categoría concreta cuyos mapas subyacentes de sistemas eran inyectivos, y los mapas monic del, que son monomorfismos en el sentido categórico de la palabra. Esta distinción nunca entró en uso general.

Relación al invertibility

Los mapas inversibles izquierdos son necesario monic: si el l es lo contrario izquierdo para el f (significado $lf=id\_X$), después el f es monic, como $f\; del\; \backslash \; circ\; g\_1\; =\; f\; \backslash \; el\; circ\; g\_2\; \backslash \; implica\; lfg\_1\; =\; lfg\_2\; \backslash \; implica\; g\_1\; =\; g\_2$

Un mapa inversible izquierdo se llama ''' partido del ''' un mono.

Un $f\; del\; mapa\; \backslash \; los\; dos\; puntos\; X\; \backslash \; a\; Y$ es monic si y solamente si el mapa inducido $f\_*\; \backslash \; dos\; puntos\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (Z,\; X)\; \backslash \; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (Z,\; Y)$ es el inyectivo para todo el Z .

Ejemplos

Cada morphism en una categoría concreta cuya función subyacente sea el inyectivo es un monomorfismo. En la categoría de los sistemas, el inverso también se sostiene así que los monomorfismos son exactamente los morphisms inyectivos . El inverso también se sostiene en la mayoría de las categorías naturales de álgebra debido a la existencia de un objeto libre en un generador. Particularmente, es verdad en las categorías de grupos y de anillos, y en cualquier categoría abeliana .

No es verdad generalmente sin embargo, ese todos los monomorfismos debe ser inyectivo en otras categorías. Por ejemplo, en el Div de la categoría de los grupos abelianos divisible y de los homomorphisms del grupo entre ellos hay los monomorfismos que no son inyectivos: considerar el   del q del mapa del cociente;:     del Q ; →   Q / Z . Esto no es claramente un mapa inyectivo; sin embargo, es un monomorfismo en esta categoría. Para ver esto, observar eso si   del q ; o  f =   del q ; o  g para el f,   de algunos morphisms de g del ;:   &rarr de G del ; Q donde está un cierto   el G divisible del q del grupo abeliano entonces; o  h = 0 donde h = f - g (esto tiene sentido pues esto es una categoría aditiva ). Esto implica que el h ( x ) es un número entero si &isin del x ; G . Si el h ( x ) entonces no es 0, por ejemplo, $h\; del$

l \ (\ frac {x} {4h (x)} \ derecho) = dejado \ frac {1} {4}

de modo que

$(q\; \backslash \; circ\; h)\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{x\}\; \{4h\; (x)\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; neq\; 0$,

  del q de la contradicción; o  el h = 0, así que el h ( x ) = 0 y el q es por lo tanto un monomorfismo.

Conceptos relacionados

Hay también conceptos útiles del monomorfismo regular, del monomorfismo fuerte, y del monomorfismo extremal . Un regular del monomorfismo iguala un ciertos pares paralelos de morphisms. Un monomorfismo extremal es un monomorfismo que no se puede nontrivially descomponer en factores con un epimorphism: Exacto, si m =   de g del ; o  el e con el e un epimorphism, entonces e es un isomorfismo. Un monomorfismo fuerte satisface cierta característica de elevación con respecto a los cuadrados comutativos que implican un epimorphism.

Ver también

Función inyectiva
Epimorphism
Isomorfismo
Subobject

.

Zenithic

Clover mite

Random links:

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