Morphism - Enciclopedia España

En las matemáticas, un morphism es una abstracción de un trazado estructura-que preserva entre dos estructuras matemáticas

El ejemplo más común ocurre cuando el proceso es una función o el mapa que preservan la estructura en un cierto sentido. En la teoría determinada, por ejemplo, los morphisms son apenas funciones; en la teoría de grupo son los homomorphisms del grupo mientras que en la topología son las funciones continuas . En el contexto de la álgebra universal los morphisms genéricamente se conocen como Homomorphisms .

El estudio abstracto de morphisms y las estructuras (o los objetos) entre que se definen forma la parte de la teoría de la categoría. En teoría de la categoría, los morphisms no necesitan ser funciones en absoluto y se piensan generalmente en como flechas del entre dos diversos objetos (que no necesiten ser sistemas). Algo que trazando elementos de un sistema a otro representan simplemente una cierta clase de relación entre el dominio y el codomain.

A pesar de la naturaleza abstracta de morphisms, la intuición de la mayoría de la gente sobre ellos (y de hecho mucha de la terminología) viene del caso de las categorías concretas donde están los objetos simplemente los sistemas con un poco de estructura adicional y los morphisms son funciones que preservan esta estructura.

Definición

Un C de la categoría es dado por dos pedazos de datos: una clase se opone y una clase de los morphisms del .

Hay dos operaciones definidas en cada morphism, el dominio del (o la fuente ) y el Codomain (o la blanco ).

Morphisms se representa a menudo como flechas de su dominio a su codomain, e. si un f del morphism tiene el X del dominio y Y del codomain, él es el denotado f : &rarr del X ; Y . El sistema de todos los morphisms del X al Y es el denotado C ( X del hom_{, el Y ) o simplemente hom ( X, el Y ) y llamado el hom-fijar entre el X y el Y . (Algunos autores escriben el C} ( X, Y ) o MOR ( X, Y ) de Mor_).

Para el X de cada tres objetos, el Y, y el Z, existe los × de un hom de la operación binaria ( X, Y ); &rarr del hom ( Y, Z ); el hom ( X, Z ) llamó la composición . El compuesto del f : &rarr del X ; Y y g : &rarr del Y ; El Z se escribe el $g \ el circ f$ o el gf del (algunos autores lo escriben como fg del .) La composición de morphisms se denota a menudo por medio de un diagrama comutativo . Por ejemplo, style=" del

Morphisms debe satisfacer dos el los axiomas IDENTITY: para cada X del objeto, existe un X del id_{del morphism: &rarr del X ; X llamado el morphism de la identidad del en el X, tal que para cada f del morphism: &rarr del A ; El B tenemos _B del ${\ identificación del rm} \ f=f=f del circ \ el circ {\ identificación del rm} _A$ .
ASSOCIATIVITY: $h \ circ (f)= de g \ del circ (h \ circ g) \ circ f$ siempre que se definan las operaciones.}

Cuando el C es una categoría concreta, la composición es apenas composición ordinaria de las funciones, el morphism de la identidad es apenas la función de identidad, y el associativity es automático. (La composición funcional es asociativa.)

Observar que el dominio y el codomain son realmente parte de la información que determina el morphism. Por ejemplo, en la categoría de sistemas, donde están funciones los morphisms, dos funciones pueden ser idénticas como sistemas de pares pedidos (teniendo la misma gama ), pero tienen diversos codomains. Estas funciones se consideran el distinto para los propósitos de la teoría de la categoría. Por esta razón, muchos autores requieren que las hom-clases que sea el hom ( X, Y ) desunan. En la práctica, esto no es un problema, porque si no son desunir, el dominio y el codomain se pueden añadir a los morphisms, (decir, como los segundos y terceros componentes de un triple pedido), haciéndolos desunir.

Ejemplos

En concreto las categorías estudiaron en la álgebra universal (tal como los agrupa, el suena, los módulos, el etc.), los morphisms se llaman el Homomorphisms el isomorfismo de los términos, epimorphism, monomorfismo, endomorphism, y el automorfismo todo se utiliza en ése contexto especializado también.

en la categoría de los espacios topológicos, morphisms es las funciones continuas y los isomorphisms se llaman Homeomorphisms

en la categoría de morphisms lisos de los múltiples es las funciones lisas y los isomorphisms se llaman Diffeomorphisms
el Functors del

se puede pensar en como morphisms en la categoría de las pequeñas categorías .

en una categoría de Functor los morphisms es las transformaciones naturales

Para más ejemplos, ver el artículo sobre la teoría de la categoría.

Algunos morphisms específicos

monomorfismo del : f : El Y del → del X se llama un monomorfismo si el $f \ el circ g_1=f \ circ g_2$ implica el g ₁ = el g ₂ para todo el g ₁ de los morphisms, g ₂: X DEL → DEL Z . También se llama un mono o un monic. El f del morphism tiene un dejado inverso si hay un g del morphism: X del → del Y tales que f= del $g \ del circ {\ identificación del rm} _X$ . El inverso izquierdo g también se llama una contracción del f . Morphisms con lo contrario izquierdos es siempre monomorfismos, pero el inverso no es siempre verdad en cada categoría; un monomorfismo puede no poder tener un izquierdo-inverso. partido h del monomorfismo del
A: El Y del → del X es un monomorfismo que tiene un inverso izquierdo g : X del → del Y, de modo que el $así \ el circ g:\, Y \ a Y$ sea el idempotente, de modo que $(h \ circ g)^2=h \ circ g$ . En categorías concretas, una función que se ha ido lo contrario es el inyectivo. Así en categorías concretas, los monomorfismos están a menudo, pero no siempre, inyectivo. La condición de ser una inyección es más fuerte que la de ser un monomorfismo, pero más débil que la de ser un monomorfismo de la fractura.

Epimorphism : Dual, f : El Y del → del X se llama un Epimorphism si $g_1 \ el circ f=g_2 \ circ f$ implica el g ₁ = el g ₂ para todo el g ₁ de los morphisms, g ₂: Z DEL → DEL Y . También se llama un epi del o un épico. El f del morphism tiene un derecho-inverso si hay un g del morphism: X del → del Y tales que g= del $f \ del circ {\ identificación del rm} _Y$ . El inverso correcto g también se llama una sección del f . Morphisms que tiene lo contrario correcto es siempre epimorphisms, pero el inverso no es siempre verdad en cada categoría; un epimorphism puede no poder tener lo contrario correcto. el epimorphism partido del
A es un epimorphism que tiene lo contrario correcto. En categorías concretas, una función que tiene derecho lo contrario es el Surjective. Así en categorías concretas, los epimorphisms están a menudo, pero no siempre, surjective. La condición de ser un surjection es más fuerte que la de ser un epimorphism, pero más débil que la de ser un epimorphism de la fractura. En la categoría de los sistemas, cada surjection tiene una sección. Este resultado es equivalente al axioma de la opción .
el
Note que si un f del monomorfismo de la fractura tiene un izquierdo-inverso g, después el g es un epimorphism de la fractura y tiene derecho-inverso f .

Un bimorphism es un morphism que es un epimorphism y un monomorfismo.

isomorfismo del : f : El Y del → del X se llama un isomorfismo si existe un g del morphism: X del → del Y tales que g= del $f \ del circ {\ identificación del rm} _Y$ y f= del $g \ del circ {\ identificación del rm} _X$ . Si un morphism tiene izquierdo-inverso y derecho-inverso, después dos lo contrario son iguales, así que el f es un isomorfismo, y el g se llama simplemente el inverso del f . Los morphisms inversos, si existen, son únicos. El inverso g es también un isomorfismo con el inverso f . Dos objetos con un isomorfismo entre ellos reputan el isomorfo o el equivalente.
el
Note que cada isomorfismo es un bimorphism pero, generalmente no cada bimorphism de es un isomorfismo. Por ejemplo, en la categoría de anillos comutativos el Q del → del Z de la inclusión es un bimorphism que no es un isomorfismo. Sin embargo, cualquier morphism que sea un epimorphism y un monomorfismo partido del, o un monomorfismo y un epimorphism partido del, debe ser un isomorfismo. Una categoría en la cual cada bimorphism es un isomorfismo es una categoría balanceada . Por ejemplo, el determinado es una categoría equilibrada.

Endomorphism : f : El X del → del X es un Endomorphism del X . el endomorphism partido del
A es un f del endomorphism del idempotente si el f admite un $f=h \ un circ g$ de la descomposición con el h= del $g \ del circ \ el mathrm {identificación}$ . Particularmente, el sobre de Karoubi de una categoría parte cada morphism del idempotente.

Un automorfismo del es un morphism que es un endomorphism y un isomorfismo.

Ver también

Morphism cero
Morphism normal
Función olomorfa
Homomorfismo
Anamorphism
Catamorphism
hylomorphism
Paramorphism

Zenithic

Morphism

Random links:

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