El movimiento armónico simple es el movimiento de un oscilador armónico simple, un movimiento se conduzca que ni ni humedecido . El movimiento es el periódico, pues se repite en los intervalos estándar de una manera específica - descrita como siendo el sinusoidal, con amplitud constante. Es caracterizado por su amplitud (que sea siempre positiva), su período que sea la época para una sola oscilación, su frecuencia que sea el número de ciclos por tiempo de unidad, y su fase, que determina el punto de partida en la onda de seno. El período, y su lo contrario la frecuencia, es constantes determinados por el sistema total, mientras que la amplitud y la fase son determinadas por las condiciones iniciales (la velocidad de la posición y) de ese sistema.

Descripción

El movimiento armónico simple es definido por la ecuación diferencial, $m\; \backslash \; frac\; \{d^2\; x\}\; \{dt^2\}\; =\; -\; KX$, donde " k" es un constante positivo, " m" y " x" referir al total del cuerpo y de su dislocación de la posición mala respectivamente.

En palabras el movimiento armónico simple es " indicar a donde está proporcional la fuerza que actúa en un cuerpo y de tal modo aceleración del cuerpo, y contrario en la dirección a la dislocación de su position" del equilibrio; (es decir $F=-kx$).

La ecuación diferencial antedicha tiene una solución sinusoidal, representada abajo.

Una ecuación general que describe el movimiento armónico simple es el $x\; (t)\; =\; A\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; dejó\; (2\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; t+\; \backslash \; phi\; \backslash \; derecho)$, donde está la dislocación x, A es la amplitud de oscilación, el $\{\backslash \; lambda\}$ es la frecuencia, t es el tiempo transcurrido, y el $\backslash \; phi$ es la fase de oscilación. Si no hay dislocación en el tiempo t = 0, el $\backslash \; el\; phi=\; \backslash \; el\; frac\; de\; la\; fase\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}$. Un movimiento con el $de\; la\; frecuencia\; \{\backslash \; lambda\}$ tiene el período, el $T=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\}$.

El movimiento armónico simple puede servir como modelo matemático de una variedad de movimientos y proporciona la base de la caracterización de movimientos más complicados con las técnicas del análisis de Fourier .

Matemáticas

Puede ser demostrado, por el que distingue, exactamente cómo la aceleración varía con tiempo. Usar el $\backslash \; omega$ de la frecuencia angular, definido como $\backslash \; Omega\; del$

l = 2 \ pi \ lambda \,

la dislocación es dada por la función $x\; del$

l (t) = A \ lechuga romana \ + dejado (\ de Omega \ phi t \ derecho).

El distinción da una vez una expresión para la velocidad en cualquier momento. $v\; del$

l (t) = \ frac {\ mathrm {} \, de d x (t)} {\ mathrm {d} t} = - A \ Omega \ el pecado \ se fueron (\ Omega t+ \ phi \ derecho).

Y conseguir de nuevo la aceleración en un momento dado. $a\; del$

l (t) = \ frac {\ mathrm {d} ^2 \, x (t)} {\ mathrm {d} t^2} = - A \ omega^2 \ lechuga romana \ se fueron (\ Omega t+ \ phi \ derecho).

Los resultados ilustran eso cuando un punto en una secuencia vibrante está en el 0, pi, localización 2pi en la vibración (un momento adentro el tiempo cuando la secuencia es recta) el punto está a velocidad máxima y la aceleración es cero. Sin embargo, cuando es el punto en la localización pi/2, la velocidad es cero y la aceleración está en el máximo.

Estos resultados se pueden por supuesto simplificar, dándonos una expresión para la aceleración en términos de dislocación. $a\; del$

l (t) = - \ omega^2 x (t).

$a\; (t)\; =\; -\; \backslash \; dejó\; (2\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\; \backslash \; derecho)\; ^2\; x\; (t)$

Cuando y si la energía total es constante y cinética, = \ frac {kA^2} {2} del $de\; la\; fórmula\; E\; solicita\; el\; movimiento\; armónico\; simple,\; donde\; E\; se\; considera\; la\; energía\; total\; mientras\; que\; toda\; la\; energía\; está\; en\; su\; forma\; cinética.\; Una\; representación\; de\; la\; dislocación\; mala\; del\; resorte\; de\; su\; posición\; de\; resto\; en\; las\; unidades\; MKS.$

Ejemplos

El movimiento armónico simple se exhibe en una variedad de sistemas físicos simples y abajo es algunos ejemplos:

Masa del en un resorte: El total M de A atado a un resorte del constante k del resorte exhibe el movimiento armónico simple en espacio con $\backslash \; omega=2\; \backslash \; pi\; \backslash \; lambda\; del$

l = \ raíz cuadrada {\ frac {k} {M}}. \,

Alternativamente, si se saben los otros factores y se va el período a ser encontrado, esta ecuación puede ser utilizada: $T=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; del$

l {\ frac {M} {k}}.

La energía total es constante, y dado por = \ frac {kA^2} {2} del $E,$ donde está la energía E total.

Movimiento circular uniforme del : El movimiento armónico simple de se puede considerar en algunos casos para ser la proyección unidimensional del movimiento circular uniforme . Si un objeto se mueve con el $\backslash \; omega$ de la frecuencia angular alrededor de un círculo del radio $R$ centrado en el origen del plano x-y del, después su movimiento a lo largo del x y de los coordenadas del y es armónico simple con la amplitud $R$ y el $angular\; \backslash \; omega$ de la velocidad.

Masa del en un péndulo: en la aproximación Small-angle, el movimiento de un péndulo es aproximado por el movimiento armónico simple. El período de una masa atada a una secuencia del $\backslash \; ell$ de la longitud con la aceleración gravitacional $g$ se da cerca $T=\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; del$

l {\ frac {\ ana} {g}}.

Esta aproximación es exacta solamente en pequeños ángulos debido a la expresión para la aceleración angular que es proporcional al seno de la posición: $del$

l \ ana m g \ =I \ alpha del pecado (\ theta)

donde está el momento I de la inercia ; en este caso $I\; =\; m\; \backslash \; ell^2$. Cuando $\backslash \; theta$ es pequeño, $\backslash \; pecado\; (\backslash )\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; theta$ de la theta y por lo tanto la expresión se convierte $del$

l \ ana m g \ theta=I \ alpha

cuál hace la aceleración angular directo proporcional al $\backslash \; theta$, satisfaciendo la definición del movimiento armónico simple.

Para una solución que no confía en una aproximación small-angle, ver el péndulo (matemáticas) .

Fórmulas útiles

M total dado ató a un resorte con la amplitud A con la aceleración a: $del$

l k = \ $T\_s\; frac\; \{mA\}\; \{A\}$ = = \ frac {1} {\ lambda} = 2 \ pi \ raíz cuadrada {\ frac {M} {k}} = 2 \ pi \ raíz cuadrada {\ frac {M} {\ frac {magnesio} {A}}} = 2 \ pi \ raíz cuadrada {\ frac {A} {g}} = 2 \ pi \ raíz cuadrada de T_p {\ frac {\ ana} {g}}. = \ frac {kA^2} {2} de E_ del $del$
de {bebé}.

Donde: el

$k$ del es el constante del resorte. el
$M$ es el
$a$ de Massachusetts es aceleración. el
$A$ es amplitud. el
$T\_s$ o $T\_p$ es el período del resorte o del péndulo. el $\backslash \; lambda$ del
es la frecuencia. el
$g$ es la aceleración debido a la gravedad en el $9.8\; \backslash \; frac\; \{m\}\; \{s^2\}\; de\; la\; tierra$. el $\backslash \; ell$ del
es la longitud del péndulo. el $E\_\; del$
{bebé} es la energía total.

Ver también

isócrono
Movimiento circular uniforme
Movimiento armónico complejo
que humedece

.

Zenithic

Oakville, Alabama

Random links:

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