La multiplicación de los números enteros es la operación matemática de agregar juntas copias múltiples del mismo número. Por ejemplo, cuatro multiplicados por tres es doce, puesto que tres sistemas de cuatro hacen doce:

l $4\; +\; 4\; +\; 4\; =\; 12.\; ¡\backslash !\; \backslash ,$

La multiplicación se puede también ver como la cuenta de los objetos dispuestos en un rectángulo, o encontrar el área del rectángulo cuyos lados han dado las longitudes

La multiplicación es una de cuatro operaciones principales en la aritmética elemental, y la mayoría de la gente aprende los algoritmos básicos de la multiplicación en la escuela primaria . Lo contrario de la multiplicación es la división .

La multiplicación es generalizado a muchas clases de números y abstraer más cosas como matrices.

Notación y terminología

La multiplicación se escribe usar el " del signo de multiplicación ; × " entre los términos; es decir, en la notación de infijo . El resultado se expresa con un signo de igualdad . Por ejemplo,

$2\; \backslash \; épocas\; del\; 3\; =\; 6$ (verbalmente, " dos por six" de tres iguales;)

$3\; \backslash \; épocas\; del\; 4\; =\; 12$

$2\; \backslash \; épocas\; del\; 3\; \backslash \; épocas\; 5\; =\; 30$

$2\; \backslash \; épocas\; del\; 2\; \backslash \; épocas\; 2\; \backslash \; épocas\; 2\; \backslash \; épocas\; 2\; =\; 32$

Hay varias otras notaciones comunes para la multiplicación:

el
• Multiplication se denota a veces por un punto medio o un período :
  
  

  $5\; \backslash \; cdot\; 2\; \backslash \; patio\; \backslash \; texto\; \{o\}\; \backslash \; patio\; 5\; \backslash .\; \backslash ,\; 2$

  El punto medio es estándar en el Estados Unidos, el Reino Unido, y otros países en donde el período se utiliza como coma . En algunos países que utilicen una coma como coma, el período se utiliza para la multiplicación instead.

asterisco (e. 5 del

• The * 2) es de uso frecuente con las computadoras porque aparece en cada teclado. Este uso originó en el FORTRAN que programaba language.

la álgebra, multiplicación del

• In que implica las variables se escribe a menudo como yuxtaposición (e. el xy para el x mide el tiempo del y o 5 x del para el x de cinco veces). Esta notación se puede también utilizar para los números que son rodeados por paréntesis (e. 5 (2) o (5) (2) para cinco por dos).

Los números que se multiplicarán generalmente se llaman el " factors" o " multiplicands". Al pensar en la multiplicación como adición repetida, el número que se repetirá se llama el " multiplicand", mientras que el número de repeticiones se llama el " multiplier". En álgebra, un número que es multiplicado por una variable o la expresión (es decir los 3 en 3 el xy ²) se llama un coeficiente .

El resultado de una multiplicación se llama un producto, y es un múltiple de cada factor. Por ejemplo 15 es el producto de 3 y 5, y es un múltiplo de 3 y un múltiplo de 5.

Cómputo

Los métodos estándar para multiplicar números usar el lápiz y el papel requieren una tabla de multiplicación de productos memorizados o consultados de los pequeños números (típicamente cuaesquiera dos números a partir de la 0 a 9), no obstante no lo hace un método, el algoritmo campesino de la multiplicación . Muchos planes de estudios de las matemáticas se convirtieron según los 1989 estándares NCTM no enseñan a métodos aritméticos estándar, en lugar dirigiendo a estudiantes para inventar sus propios métodos de cómputo. Adoptado sin embargo extensamente por muchos distritos escolares en naciones tales como los Estados Unidos, han encontrado resistencia de algunos padres y matemáticos, y algunos districtos han abandonado desde entonces tales planes de estudios a favor de las matemáticas tradicionales .

El multiplicarse numera más que uces par de lugares decimales son a mano aburridos y error - propensos. Los logaritmos ordinarios fueron inventados para simplificar tales cálculos. La regla de diapositiva permitió que los números fueran multiplicados rápidamente a cerca de tres lugares de exactitud. Comenzando en el vigésimo siglo temprano, calculadoras mecánicas tal como el Marchant, multiplicación automatizada de hasta 10 números del dígito. Las computadoras electrónicas modernas y las calculadoras han reducido grandemente la necesidad de la multiplicación a mano.

Algoritmos históricos

Los métodos de multiplicación fueron documentados en el egipcio, el Grecia, el valle babilónico de Indus, y civilizaciones chinas .

Egipcios

considera también:

egipcio antiguo de la multiplicación El método egipcio de multiplicación de números enteros y de fracciones, documentada en el papiro de Ahmes, estaba por las adiciones y la duplicación sucesivas. Por ejemplo, encontrar el producto de 13 y 21 uno tuvo que doblar 21 tres veces, obteniendo 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168. El producto lleno podía entonces ser encontrado agregando los términos correctos encontrados en la duplicación: (nota 13 = 1 + 4 + 8)
$13\; \backslash \; épocas\; del$
21 = (1 \ épocas 21) + (4 \ épocas 21) + (8 \ épocas 21) = 273.

Babilónico

Los babilónico utilizaron un sistema de numeración posicional sexagesimal, análogo a la sistema decimal moderno del día. Así, la multiplicación babilónica era muy similar a la multiplicación decimal moderna. Debido a la dificultad relativa de recordar 60 × 60 diversos productos, los matemáticos babilónicos empleados tablas de las tablas de multiplicación estas consistieron en una lista de los primeros veinte múltiplos de un principal n del número de cierto : n, 2 n ,…, 20 n ; seguido por los múltiplos 10 del n : 30 n del n 40, y 50 n . Entonces para computar cualquier producto sexagesimal, decir 53 el n, uno necesario solamente para agregar 50 el n y 3 el n computado de la tabla.

Chino

En los libros, el Chou Pei Suan Ching anticuado antes 300 A., y los capítulos nueve en el arte matemático, cálculos de la multiplicación fueron puestos en escrito en palabras, aunque los matemáticos chinos tempranos emplearan los cálculos disponibles del ábaco un que implicaban la adición y la multiplicación.

Valle de Indus

Los matemáticos hindúes tempranos de la región del valle de Indus utilizaron una variedad de trucos intuitivos para realizar la multiplicación. La mayoría de los cálculos fueron realizados en las pequeñas tabletas de la mano de la pizarra, usar las tablas de la tiza. Una técnica era la de la multiplicación del enrejado (o de la multiplicación del gelosia del ). Aquí una tabla fue elaborada con las filas y las columnas etiquetadas por los multiplicandos. Cada caja de la tabla fue dividida diagonalmente en dos, como enrejado triangular . Las entradas de la tabla sostuvieron los productos parciales, escritos como números decimales. El producto podía entonces ser formado sumando abajo de las diagonales del enrejado.

Productos de secuencias

¡Notation< capital del pi! -- Esta sección se liga pi (letra) -->

El producto de una serie de términos se puede escribir con el símbolo del producto, que deriva de la letra capital Π (pi) en el alfabeto griego . La posición U+220F (∏) de Unicode se define un producto ary '' n '' - con este fin, distinto de U+03A0 (Π), la letra. Se define esto como: $del$

l \ x_ del ^ del prod_ {i=m} {n} {i}: = x_ {m} \ cdot x_ {m+1} \ cdot x_ {m+2} \ cdot \ cdots \ x_ del cdot {n-1} \ x_ del cdot {n}.

El subíndice da el símbolo para una variable simulada ($i$ en nuestro caso) y su valor más bajo ($m$); el exponente da su valor superior. Tan por ejemplo:

$\backslash \; prod\_\; \{i=2\}\; ^\; \{6\}\; \backslash \; ido\; (1\; +\; \{1\; \backslash \; encima\; i\}\; \backslash derecho)\; =\; \backslash \; ido\; (1\; +\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ido\; (1\; +\; \{1\; \backslash \; sobre\; 3\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ido\; (1\; +\; \{1\; \backslash \; sobre\; 4\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ido\; (1\; +\; \{1\; \backslash \; sobre\; 5\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ido\; (1\; +\; \{1\; \backslash \; sobre\; 6\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \{7\; \backslash \; sobre\; 2\}.$

En caso de que el m = el n, el valor del producto sea igual que el del solo m del _{del x del factor. Si el m > el n, el producto es el producto vacío, con el valor 1.}

Productos infinitos

considera también:

l producto infinito

Uno puede también considerar productos infinitamente de muchos términos; éstos se llaman los productos infinitos Notationally, substituiríamos el n arriba por el símbolo del infinito (∞). En los reals, el producto de tal serie se define como el límite del producto de los primeros términos de $n$, pues $n$ crece sin límite. Eso es: $del$

l \ x_ del ^ del prod_ {i=m} {\ infty} {i}: = \ lim_ {n \ \ infty} \ x_ del ^ del prod_ {i=m} {n} {i}.

Uno puede substituir semejantemente $m$ por infinito negativo, y $del$

l \ ^ del prod_ {i=- \ infty} \ x_i infty: = \ ido (\ lim_ {n \ \ infty} \ x_i del ^m del prod_ {i=-n} \) derecho \ cdot \ ido (\ lim_ {n \ \ infty} \ x_i del ^n del prod_ {i=m+1} \ derecho),

para un cierto número entero $m$, con tal que existan ambos límites.

Interpretación

Producto de cartesiano

La definición de la multiplicación como adición repetida proporciona una manera de llegar una interpretación fijar-teórica de la multiplicación de números cardinales. En la expresión $del$

l \ displaystyle a \ cdot n = \ _ del underbrace {a + \ cdots + a} {n},

si se van las copias del n del un a ser combinadas adentro desunir la unión entonces que deben ser hechas claramente desunen; una manera obvia de hacer esto es utilizar el un o el n como el sistema de indexación de direcciones para el otro. Entonces, los miembros del $a\; \backslash \; del\; cdot\; n\; \backslash ,$ son exactamente los del $a\; \backslash \; delos\; tiemposn\; del\; producto\; de\; cartesiano\; \backslash ,$. Las características de la operación multiplicativa como aplicándose a los números naturales entonces siguen trivial de las características correspondientes del producto de cartesiano.

Características

Para los números enteros, los números de las fracciones, verdaderos y complejos, multiplicación tienen ciertas características:

; el
comutativo del
de la característica del que se multiplica la orden en el cual dos numera no importa. x del
· y = y · x .

; los problemas asociativos del de la característica del que implican solamente la multiplicación son invariantes con respecto a la orden de las operaciones .
( x · y )· z = x ·( y · z ).

; el
distributivo del
de la característica del se sostiene con respecto a la adición sobre la multiplicación. Esta identidad es de gran importancia en la simplificaión de expresiones algebraicas. x del
·( y + z ) = x·y + x·z .

; el del elemento de identidad del de la multiplicación es 1; cualquier cosa multiplicada por uno es sí mismo. Esto se conoce como el x del
de la característica de la identidad · 1 = x .

; El
cero cualquier cosa del
del elemento multiplicado por cero es cero. Esto se conoce como la característica cero de la multiplicación. x del
· 0 = 0

; El
inverso del
de la característica cada x del número, excepto cero, tiene lo contrario multiplicativo, 1 x, tal del que el x ·(1 x ) = 1.

; La multiplicación del de la preservación de la orden por un número positivo preserva la orden : si > 0, entonces si b > a del c entonces·b > a·c . La multiplicación por un del número negativo invierte orden de : si un a del c de < 0, entonces si b > entonces·b < a·c .
La negativa una del

mide el tiempo de cualquier número es igual a la negativa de ese número. (− 1) · x = (− x )
La negativa una del

mide el tiempo de la negativa una es la positiva. (− 1) · (− 1) = 1

Otros sistemas matemáticos que incluyen una operación de la multiplicación pueden no tener todas estas características. Por ejemplo, la multiplicación no está, generalmente comutativo para las matrices y el Quaternions

Pruebas el de

la primera característica que se puede probar de las otras es la característica cero de la multiplicación. Se prueba por medio de la característica distributiva . x del

l del
· 0 = ( x · 0) + &minus del x ;
del x = ( x · 0) + ( x · 1) −
del x = x · (0 + 1) −
del x = ( x · 1) −
del x = &minus del x ;
0. del x

l así pues, x del

l del
· 0 = 0

l la identidad (− 1) · x = (− el x ) se puede probar usar la característica distributiva:

l del
(− 1) · del x = (− 1) · x + 2·x - 2·
x = (− 1 + 2)· x - 2·
x = 1· x - 2·
x = − x el

l la prueba que la negativa una mide el tiempo de la negativa una es positivo que una sigue líneas similares:

Multiplicación con los axiomas de Peano

el

en el principia de Arithmetices del del libro, exposita, José Peano del del methodo de la Nova propuso un nuevo sistema para la multiplicación basada en sus axiomas para los números naturales. *a×b'=

*a×1=a del (a×b)+a el

l aquí, b representa el sucesor de b, o el número natural que el sigue B. Con sus otros axiomas de nueve, es posible probar normas comunes de la multiplicación, tales como las características distributivas o asociativas.

Multiplicación con teoría determinada

Es posible, aunque difícil, crear una definición recurrente de la multiplicación con teoría determinada. Tal sistema confía generalmente en la definición del peano de la multiplicación.

Multiplicación con teoría de grupo

Es fácil demostrar que hay un grupo para la multiplicación los números racionales diferentes a cero. La multiplicación con los números diferentes a cero satisface
encierro del

- para toda la a y b en el grupo, el a×b está en el grupo.
¡ Associativity - ésta es apenas la característica asociativa! (a×b)×c=a× (b×c)
Identidad - esto sigue derecho de la definición del peano. Cualquier cosa multiplicada por uno es sí mismo.
inverso - todos los números diferentes a cero tienen lo contrario multiplicativo .

La multiplicación también es un grupo abeliano, puesto que sigue la característica comutativa.

a×b=b×a

Multiplicación con diversas clases de números

Los números pueden la cuenta (3 manzanas) del, la orden (la 3ro manzana) del, o la medida (3.5 pies del de alto); mientras que la historia de las matemáticas ha progresado de la cuenta en nuestros dedos a modelar a mecánicos del quantuum, la multiplicación se ha generalizado a tipos más complicados y más abstractos de números, y a las cosas que no son números (tales como matrices ) ni miran como números (tales como Quaternions .
el × M de los números enteros N del del

es la suma de copias de M de N cuando N y M son números enteros positivos. Esto da el número de cosas en un arsenal N de par en par y M alto. La generalización a los números negativos se puede hacer por (el × de N - M) = - (el × de N M).
la generalización de los números racionales del del

al × C/D de las fracciones A/B está multiplicando los numeradores y los denominadores respectivamente: × de A/B C/D = (× de A B)/(× de C D). Esto da el área de un colmo del rectángulo A/B y de un C/D de par en par, y es igual que el número de cosas en un arsenal cuando los números racionales suceden ser números enteros.
el y del × del x de Reals del del

es el límite de los productos de los términos correspondientes en ciertas secuencias de números racionales que converjan al x y al y, respectivamente, y sean significativos en el cálculo . Esto da el área de un colmo y de un y del x del rectángulo de par en par.
el complejo del

que considera el z1 de los números complejos y el z2 como pares o los números verdaderos (a1, b1) y (a2, b2), el z2 del × del z1 del producto es (a1 el × a2 - × b2, a1 de b1 el × b2 + a2 × pedidos b1). Éste es igual que para los reals, a1 × a2, cuando las piezas imaginarias b1 y b2 del son cero.
generalizaciones del

otras consideran el sobre y el grupo multiplicativo, que por ejemplo incluye la multiplicación de la matriz. Un muy general, y un abstracto, concepto de multiplicación está como el " multiplicatively denoted" (en segundo lugar) operación binaria en un anillo . Un ejemplo de un anillo que no sea un de los sobre sistemas de numeración es los anillos polinómicos (usted puede agregar y multiplicar polinomios, pero los polinomios no son números en ningún sentido generalmente.)
la división x/y de la división del

es a menudo igual que la multiplicación por lo contrario, × de x (1/y). Multiplicación para algunos tipos de " numbers" puede tener división la correspondencia, sin lo contrario; en un x del dominio integral no puede tener ningún " inverso; 1/x" pero el x / y puede ser definido. En un anillo de división hay lo contrario pero no son comutativos (puesto que 1/x x 1/y no es igual que 1/y x 1/x, x/y puede ser ambiguo).

Ver también

style=" del
Lo contrario multiplicativo, el recíproco
Algoritmo de la multiplicación Algoritmo, método de Karatsuba para los grandes números
El Toom-Cocina el algoritmo, método para los números muy grandes
Algoritmo, método de Schönhage-Strassen para los granes números
Tabla de multiplicación (tabla de las épocas)
Multiplicación ALU, cómo las computadoras se multiplican Algoritmo de la multiplicación de la cabina
Coma flotante
El fundido multiplicar-agrega
el Multiplicar-acumula
Árbol de Wallace
Huesos de Napier
Multiplicación campesina
Producto (matemáticas) - generalizaciones de las listas
Regla de diapositiva