En la teoría de la categoría y sus usos a otras ramas de las matemáticas, los núcleos son una generalización de los núcleos de los homomorphisms del grupo y de los núcleos de los homomorphisms del módulo y ciertos otros núcleos de la álgebra . Intuitivo, el núcleo del f de Morphism : El Y del → del X es el " la mayoría del general" k del morphism: X del → del K que, cuando está compuesto con el f, producciones cero.
Observar que los pares del núcleo y los núcleos de la diferencia (los equalizadores binarios del aka van a veces por el " conocido; kernel" ; mientras que están relacionada, éstas no son absolutamente la misma cosa y no se discuten en este artículo.
Definición
Dejar el C ser una categoría . Para definir un núcleo en el sentido categoría-teórico general, el C necesita tener morphisms cero En ese caso, si f : El Y del → del X es un arbitrario Morphism en el C, después un núcleo del f es un equalizador f y del morphism cero del X al Y . En símbolos: ker del ( f ) = eq ( XY del f, 0) Para ser más explícita, la característica universal siguiente puede ser utilizada. Un núcleo del f es cualquier k del morphism: X del → del K tales que: style=" del
el k del f o es el morphism cero del K a el Y ;
del
dado cualquie &prime del k del morphism de ; : &prime del K ; X del → tales que &prime del k del f o; es el morphism cero, hay un único u del morphism : &prime del K ; K del → tales que u del k o = k del .
style=" del
Observar que en muchos contextos concretos, uno referiría al K del objeto como el " kernel", algo que el k del morphism. En esas situaciones, el K sería un subconjunto X, y eso sería suficiente reconstruir el k como mapa de la inclusión; en el caso del nonconcrete, en cambio, necesitamos el k del morphism describir el cómo el K de debe ser interpretado como Subobject del X . En todo caso, uno puede demostrar que el k es siempre un monomorfismo (en el sentido categórico de la palabra). Uno puede preferir pensar en el núcleo como los pares ( K, k ) algo que como simplemente el K o k solamente.
No cada morphism necesita tener un núcleo, pero si lo hace, después todos sus núcleos es isomorfo en un sentido fuerte: si k : X del → del K y l : El L X del → de es núcleos del f : El Y del → del X, entonces allí existe un φ único del isomorfismo : L del → del K tales que l φ de o = k .
Ejemplos
Los núcleos son familiares en muchas categorías de la álgebra del extracto, tal como la categoría de los grupos o la categoría de los módulos (izquierdos) sobre un anillo fijo (espacios de vector incluyendo sobre un campo fijo ). Para ser explícito, si f : El Y del → del X es un homomorfismo en una de estas categorías, y el K es su núcleo en el sentido algebraico generalmente, después el K es un Subalgebra del X y el homomorfismo de la inclusión del K al X es un núcleo en el sentido categórico.
Observar que en la categoría de los monoides los núcleos categoría-teóricos existen apenas en cuanto a grupos, pero estos núcleos no llevan la suficiente información para los propósitos algebraicos. Por lo tanto, la noción del núcleo estudiada en teoría del monoide es levemente diferente. Inversamente, en la categoría de los anillos no hay núcleos en el sentido categoría-teórico; de hecho, esta categoría incluso no tiene morphisms cero. Sin embargo, todavía hay una noción del núcleo estudiada en teoría del anillo. Ver la relación del a los núcleos algebraicos abajo para la resolución de esta paradoja.
tenemos un montón de ejemplos algebraicos; ahora debemos dar ejemplos de núcleos en categorías de la topología y del análisis funcional .
Relación a otros conceptos categóricos
El concepto dual a el del núcleo es el Cokernel . Es decir, el núcleo de un morphism es su cokernel en el enfrente de la categoría, y viceversa.
Según lo mencionado anteriormente, un núcleo es un tipo de equalizador binario, o el núcleo de la diferencia. Inversamente, en una categoría de Preadditive, cada equalizador binario se puede construir como núcleo. Para ser específico, el equalizador del f de los morphisms y del g es el núcleo del &minus de g del de la diferencia ; f . En símbolos: eq del ( f, g ) = ker (&minus de g del ; f ). Es debido a este hecho de que los equalizadores binarios están llamados " kernels" de la diferencia;, incluso en las categorías non-preadditive donde los morphisms no pueden ser restados.
Cada núcleo, como cualquier otro equalizador, es un monomorfismo . Inversamente, un monomorfismo se llama el normal si es el núcleo de alguÌn morphism. Una categoría se llama el normal del si cada monomorfismo es normal.
Las categorías abelianas, particularmente, son siempre normales. En esta situación, el núcleo Cokernel de cualquier morphism (que exista siempre en una categoría abeliana) resulta ser la imagen de ese morphism; en símbolos: f del
im del
= f (en una categoría abeliana) del coker del ker Cuando el m es un monomorfismo, debe ser su propia imagen; así, no sólo está el normal abeliano de las categorías, de modo que cada monomorfismo sea un núcleo, pero también sabemos el de el cual el morphism de el monomorfismo es un núcleo, al ingenio, su cokernel. En símbolos: m del = ker ( m ) (para los monomorfismos en una categoría abeliana) del coker
Relación a los núcleos algebraicos
La álgebra universal define una noción del núcleo para los homomorphisms entre dos estructuras algebraicas de la misma clase. Este concepto de núcleo mide hasta dónde el homomorfismo dado es de ser el inyectivo. Hay un cierto traslapo entre esta noción algebraica y la noción categórica del núcleo puesto que ambos generalizan la situación de los grupos y de los módulos mencionados anteriormente. Generalmente sin embargo, la noción universal-algebraica del núcleo está más bién el concepto categoría-teórico de los pares del núcleo. Particularmente, los pares del núcleo se pueden utilizar para interpretar núcleos en teoría del monoide o teoría del anillo en términos categoría-teóricos.
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