En las matemáticas, un número algébrico es un número complejo que es una raíz de un diferente a cero polinómico con coeficientes racionales (o equivalente, número entero ). Los números complejos que no son algebraicos reputan el trascendental.

Ejemplos

Los números racionales ésos expresados como el cociente del b de dos números enteros y del un, un no igual a cero, satisfacen la definición antedicha porque x = - b/a se deriva (y satisface) de a*x + de b = 0. (Generalmente el un o el b puede ser negativo, al igual que x).
Cuando el plomo e. a₀ coefficent es 1, el x satisfactorio se dice para ser () un número entero algebraico /s. Observar que un " integer" algebraico; no necesitar ser un número de cuenta tal como 1, 2, 3,… o las contrapartes negativas. * Esta definición viene de la noción que x = - b/a satisface el un *x de + un b = 0, y cuando = 1 entonces x = - el b (es decir b aquí que es un número de cuenta o un 0 positivo o negativo). Pero observar que de 1*x² + 4 = 0, x = 2i y -2i. Estos dos x son tan " integers" algebraico; también. Esto solicita cualquier valor del llevar-exponente N. Los surds cuadráticos (las raíces de una ecuación cuadrático ax² + bx + c = 0 con los coefficents integrales a, b, y c) son números algébricos. Así esos números complejos derivaron de ax² + bx + c=0 -- ésos que corresponden al caso cuando el exponente n = 2 -- se llaman los números de la ecuación cuadrática o los números enteros cuadráticos de acuerdo con las circunstancias. * números enteros gausianos -- esos números complejos a + BI con el " racional-integer" a y b -- están también los números enteros cuadráticos. Aquí, un " integer" racional; es en lo que pensamos comúnmente como apenas " un integer" (número entero) del aka, e. aire/acondicionado con c = 1 y b/d con d = 1.
* el φ de oro del cociente es algebraico puesto que es una raíz del polinómico x ²  −     del x ; −   1 = 0.
* el $\backslash raíz\; cuadrada\{2\}$ de los números irracionales y el $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{3\}\; /2$ son algebraicos puesto que son las raíces del x ²  −   2  =  0 y 8 x ³  −   3  =  0, respectivamente. Los números euclidianos (los que, comenzando con una unidad, se pueden construir con la regla y el compás, e. la raíz cuadrada de 2) son algebraicos. Un ejemplo menos-simple implica las raíces cuadradas verdaderas de la suma de un número entero y de una raíz cuadrada.
El $\backslash \; pi$ de los números verdaderos y el $e$ son números algébricos del no (véase el teorema de Lindemann-Weierstrass) por lo tanto que ellos son " transcendental". * El hecho de que la mayoría de los números, de hecho casi todos, sean " transcendental" se prueba por medio del método diagonal del chantre.

Características

El sistema de números algébricos es el contable (enumerable).
Dado un número algébrico, hay un polinomio de Monic único (con coeficientes racionales) de menos grado que tenga el número como raíz. Este polinomio se llama su polinomio mínimo . Si su polinomio mínimo tiene n del grado, después el número algébrico reputa del grado n del . Un número algébrico del grado 1 es un número racional .
Todos los números algébricos son el computable y por lo tanto el definible.

El campo de números algébricos

La suma, diferencia, producto y cociente de dos números algébricos es otra vez algebraica, y los números algébricos por lo tanto forman un campo, denotado a veces por el $\backslash \; el\; mathbb\; \{A\}$ (que puede también denotar el anillo de Adela) o $\backslash \; el\; overline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$. Puede ser demostrado que cada raíz de una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean los números algébricos del es otra vez algebraica. Esto puede ser reformulada diciendo que el campo de números algébricos es el algebraico cerrado. De hecho, es el campo algebraico cerrado más pequeño que contiene los números racionales, y por lo tanto se llama el el encierro algebraico de los números racionales.

Todas las declaraciones antedichas se prueban lo más fácilmente posible en el contexto general de elementos algebraicos de una extensión del campo.

Números definidos por los radicales

Todos los números que se pueden obtener de los números enteros usar un número finito de las divisiones de las multiplicaciones de las substracciones de las adiciones y tomando raíces del n ^th (donde está un número entero el n positivo) son algebraicos. El inverso, sin embargo, no es verdad: hay los números algébricos que no se pueden obtener de este modo. Todos estos números son soluciones a los polinomios del ≥  del grado; 5. Éste es un resultado de la teoría de Galois (véase las ecuaciones de Quintic y el teorema de Abel-Ruffini). Un ejemplo de tal número es la raíz verdadera única del x ⁵  −   x  −   1  =  0.

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algebraico del número entero

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Un número entero algebraico del es un número que es una raíz de un polinomio con los coeficientes del número entero (es decir, un número algébrico) con el coeficiente principal 1 (un polinomio monic). Los ejemplos de números enteros algebraicos son 3√  +  5, 6   del i ; -   2 y (1+ √ del i ) /2.

La suma, la diferencia y el producto de números enteros algebraicos son otra vez números enteros algebraicos, así que significa que los números enteros algebraicos forman un anillo . El número entero algebraico del conocido viene del hecho de que los únicos números racionales que son números enteros algebraicos son los números enteros, y porque los números enteros algebraicos en cualquier campo de número son en gran medida análogos a los números enteros. Si el K es un campo de número, su anillo de los números enteros es el subring de números enteros algebraicos en el K, y se denota con frecuencia como O _K. Éstos son los ejemplos prototípicos de los dominios de Dedekind

Clases especiales de número algébrico

Número entero gausiano
Número entero de Eisenstein
irracional cuadrático
Unidad fundamental
Raíz de la unidad
Período gausiano
Número de Pisot-Vijayaraghavan
Número de Salem

Notas al pie de la página

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Zenithic

Hudson Swan

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