el

l el armónico del número del término tiene significados múltiples. Para otros significados, ver el número armónico (desambiguación) .

En las matemáticas, el n - el número armónico del th es la suma de los reciprocals de los números naturales del primer n : $H\_n=\; 1+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; \{2\}\; +\; \backslash \; 3\}\; +\; \backslash \; cdots+\; del\; frac\; \{1\}\; \{\backslash $ =\; frac\; \{1\}\; \{n\}$\backslash \; ^n\; del\; sum\_\; \{k=1\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}$

Esto también iguala el n por lo contrario del medio armónico de estos números naturales.

Los números armónicos fueron estudiados en antigüedad y son importantes en varias ramas de la teoría de número . A veces libremente se llaman el la serie armónica, son estrechamente vinculados a la función de zeta de Riemann, y aparecen en las varias expresiones para las funciones especiales del vario

Cálculo

Una representación integral es dada por el Euler : = \ int_0^1 \ frac {1 - x^n} {1 -} \, de H_n del $del$

l de x dx.

Esta representación se puede demostrar fácilmente para satisfacer la relación de repetición por la fórmula x^n $\backslash \; int\_0^1\; del$

l \, = \ frac {1} {n + 1}, del dx

y entonces + \ frac del x^ del $del$

l {n} {1 - x^n} {1 - x} = \ frac {1 - x^ {n+1}} {1 - x}

dentro del integral.

El n del _{del H crece alrededor tan rápido como el logaritmo natural n . La razón es que la suma es aproximada por el integral}

$\backslash \; int\_1^n\; \{1\; \backslash \; sobre\}\; \backslash ,\; de\; x\; dx$

de quién valor es ln ( n ). Más exacto, tenemos el límite : - \ ln de H_n del $\backslash \; del\; lim\_\; del$

l {n \ \ infty} (n) = \ gamma

(donde γ es el Euler-Mascheroni constante $0.5772156649\; \backslash \; dots$), y la extensión asintótica correspondiente: $H\_n\; del$

l = \ + \ ln {n} de la gamma + \ n^ del frac {1} {2} {- 1} - \ n^ del frac {1} {12} {- 2} + \ n^ del frac {1} {120} {- 4} + \ {O} (n^ {- 6}) mathcal

Funciones de generación

Una función de generación para los números armónicos es $del$

l \ ^ del sum_ {n=1} \ z^n infty H_n = \ frac {- \ ln (1-z)}{1-z},

donde $\backslash \; ln\; (z)$ es el logaritmo . Una función de generación exponencial es $del$

l \ ^ del sum_ {n=1} \ infty \ frac {z^n} {n!} H_n = - e^z \ sum_ {k=1} ^ \ infty \ frac {1} {} \ frac de k {(-) ^k z} {k!} = e^z \ mbox {Ein} (z)

donde está el integral el $\backslash \; el\; mbox\; \{Ein\}\; (z)$ exponencial entero. Observar eso = \ mbox {E} _1 del $\backslash \; del\; mbox\; del$

l {Ein} (z) (z) + \ + \ ln de la gamma z = \ Gamma (0, z) + \ + \ ln z de la gamma \,

donde $\backslash \; gamma\; (0,\; z)$ es la función gamma incompleta .

Usos

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas del cálculo, tales como la función de la digamma: $\backslash \; PSI\; del$

l (n) = - \ gamma de H_ {n-1}. \,

Esta relación también se utiliza con frecuencia para definir la extensión de los números armónicos al n del no-número entero. Los números armónicos también se utilizan con frecuencia para definir γ, usar el límite introducido en la sección anterior, aunque = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} del $\backslash \; de\; la\; gamma\; del$

l {\ dejado (- \ ln de H_n \ ido (n+ {1 \ sobre 2} \ derecho) \ derechos)}

converge más rápidamente.

Ver también el perito, D, problema de Watterson de Tajima del colector de la cupón.

Generalización

Números armónicos generalizados

El número armónico generalizado de la orden $n$ del m se da cerca $H\_\; del$

l {n, m} = \ ^n del sum_ {k=1} \ frac {1} {k^m}.

Observar que existe el límite como n tiende al infinito si $m\; >\; 1$.

Otras notaciones usadas de vez en cuando incluyen $H\_\; del$

l {n, m} = H_n^ {(m)} = H_m (n).

El caso especial de $m=1$ simplemente se llama un número armónico y se escribe con frecuencia sin el exponente, como $H\_n=\; del$

l \ ^n del sum_ {k=1} \ frac {1} {k}.

En el límite del $n\; \backslash \; del\; rightarrow\; \backslash \; infty$, el número armónico generalizado converge a la función de zeta de Riemann = \ zeta (m). de H_ del $\backslash \; del\; lim\_\; del$

l {n \ rightarrow \ infty} {n, m}

El ^n relacionado k^m del $\backslash \; del\; sum\_\; de\; la\; suma\; \{k=1\}\; ocurreen\; el\; estudiode\; los\; números\; de\; Bernoulli\; que\; los\; números\; del\; armónico\; también\; aparecen\; en\; el\; estudio\; de\; los\; números\; de\; Stirling$

Una función de generación para los números armónicos generalizados es $del$

l \ ^ del sum_ {n=1} \ z^n infty H_ {n, m} = \ frac {\ _m del mbox {Li} (z)} {1-z},

donde _m del $\backslash \; del\; mbox\; \{Li\}\; (z)$ es el Polylogarithm, y . La función de generación dada arriba para $m=1$ es un caso especial de esta fórmula.

Generalización al plano complejo

La fórmula integral de Euler para los números armónicos sigue de la identidad integral $\backslash \; int\_a^1\; del$

l \ dx del frac {1-x^s} {1-x} = - \ ^ del sum_ {k=1} \ infty \ frac {1} {k} {s \ elige k} (a-1) ^k

qué asimientos para el general complejo-valoraron el s de, para los coeficientes binomiales convenientemente extendido eligiendo el un =0, esta fórmula da un integral y una representación de la serie para una función que interpole los números armónicos y amplíe una definición al plano complejo. Esta relación integral es derivada fácilmente manipulando la serie de Newton $del$

l \ ^ del sum_ {k=0} \ {s \ elige k} (- ^k infty de x) = (1-x) ^s,

cuál es apenas el teorema binomial generalizado del Newton. La función de interpolación es de hecho apenas la función de la digamma: $\backslash \; PSI\; (=\; \backslash \; int\_0^1\; \backslash \; frac\; \{1-x^s\}\; \{1-x\}\; dx$ de s+1)+ del

l \ de la gamma

donde $\backslash \; PSI\; (x)$ es la digamma, y el $\backslash \; gamma$ es el constante de Euler-Mascheroni. El proceso de integración se puede repetir para obtener el $H\_\; del$

l {s, 2} = \ ^ del sum_ {k=1} \ infty \ frac {(- el ^k} de 1) {k} {s \ elige k} H_k.

Zenithic

Rebecca de Alba

Random links:

¿Qué usted sabe, Deutschland? | Ciencia ficción gay | Sweetbox | Aarberg | Umi Tenjin