el del este artículo está sobre números armónicos del divisor. Para los significados del número armónico, ver el número armónico (desambiguación) .

En las matemáticas, un número armónico del divisor del, o el número del mineral del (nombrado después del mineral de Øystein que lo definió en el 1948 ), es un número entero positivo cuyos divisores tienen un medio armónico que sea un número entero . Los primeros números armónicos del divisor son 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 del

l .

Por ejemplo, el divisor armónico número 6 tiene los cuatro divisores 1, 2, 3, y 6. Su medio armónico es un número entero: $del$

l \ frac {4} {\ + \ frac {1} del frac {1} {1} {2} + \ 3} + \ frac {1} del frac {1} {{6}} =2

El número 140 tiene divisores 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, y 140. Su medio armónico es

$\backslash \; frac\; \{12\}\; \{1+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; +\; \backslash \; 4\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{1\}\; \{\{5\}\; +\; \backslash \; 7\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{1\}\; \{\{10\}\; +\; \backslash \; 14\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{1\}\; \{\{20\}\; +\; \backslash \; 28\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{1\}\; \{\{35\}\; +\; \backslash \; 70\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{1\}\; \{\{140\}\}$

cuál iguala 5, un número entero, haciendo 140 un número armónico del divisor.

Números armónicos del divisor y números perfectos

Para cualquie M del número entero, como el mineral observado, el producto del medio armónico y del medio aritmético de sus divisores iguala el M sí mismo; ver Bogomolny para una prueba. Por lo tanto, el M es armónico, con el medio armónico del k de los divisores, si y solamente si el promedio de sus divisores es el producto del M con un k de la fracción 1 de la unidad.

El mineral demostró que cada número perfecto es armónico. Para ver esto, observar que la suma de los divisores de un M del número perfecto es exactamente el los 2M ; por lo tanto, el promedio de los divisores es el M (2/τ ( M )), donde el τ ( M ) denota el número de los divisores del M . Para cualquier M, el τ ( M ) es impar si y solamente si el M es un número cuadrado, porque cada d del divisor del M se puede aparear de otra manera con un diverso M / d del divisor. Pero, ningún número perfecto puede ser un cuadrado: esto sigue de la forma sabida incluso de números perfectos y del hecho de que los números perfectos impares (si existen) deben tener un factor del q ^α de la forma donde el ≡ del α 1 (MOD 4). Por lo tanto, para un M, τ ( M ) del número perfecto está incluso y el promedio de los divisores es el producto del M con la fracción 2/τ ( M ) de la unidad; así, el M es un número armónico del divisor.

El mineral conjeturó que ningunos números armónicos impares del divisor existen con excepción de 1. Si la conjetura es verdad, ésta implicaría la no existencia de los números perfectos impares

Límites y búsquedas de la computadora

El W. muele (inédito; ver Muskat) demostrado que cualquier número armónico impar del divisor sobre 1 debe tener un factor de energía primero mayor que 10⁷, y Cohen demostró que cualquier número debe tener por lo menos tres diversos factores primeros.

Cohen, indicado, y otros que comenzaban con el mineral mismo han realizado las búsquedas de la computadora que enumeraban todos los pequeños números armónicos del divisor. De estos resultados, las listas se saben de todos los números armónicos del divisor hasta 2×10⁹, y de todos los números armónicos del divisor para los cuales el medio armónico de los divisores sea a lo más 300.