el

l este artículo describe números cardinales en matemáticas. Para los cardenales en lingüística, ver los nombres de números en inglés.

En las matemáticas, los números cardinales, o los cardenales para el cortocircuito, son una clase generalizada del número usado para denotar el tamaño de un determinado, conocido como su cardinalidad del . Para los sistemas finitos la cardinalidad es dada por un número natural, siendo simplemente el número de elementos en el sistema. Hay también números cardinales Transfinite del para describir los tamaños de sistemas infinitos. Por un lado, un A del subconjunto apropiado de un infinito S del sistema puede tener la misma cardinalidad que el S . Por una parte, quizás también counterintuitively, no todos los sistemas infinitos tienen la misma cardinalidad. Hay una caracterización formal que explica cómo algunos sistemas infinitos tienen cardinalities que sean terminantemente más pequeños que otros sistemas infinitos.

Los números cardinales son: $0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \backslash \; cdots\; n,\; \backslash \; cdots;\; \backslash \; aleph\_0,\; \backslash \; aleph\_1,\; \backslash \; aleph\_2,\; \backslash \; cdots\; \backslash \; aleph\_\; \{\backslash \; alfa\},\; \backslash \; cdots$. Es decir, son los números naturales (cardenales finitos) seguidos por los números (cardenales infinitos) de Aleph. Los números del aleph son puestos en un índice por los números ordinales los números naturales y los números del aleph son subclases de los números ordinales. Si el axioma de la opción falla, la situación se convierte en un &mdash más complicado; hay los cardenales infinitos adicionales que no son alephs.

Los conceptos de cardinalidad se encajan en la mayoría de las ramas de las matemáticas y son esenciales para su estudio. La cardinalidad es también un área estudiada para su propio motivo como parte de la teoría determinada, particularmente en intentar describir las características de los cardenales grandes

Historia

La noción de la cardinalidad, según lo ahora entendido, fue formulada por el chantre, el autor de Jorge de la teoría determinada, en 1874-1884.

El chantre primero estableció cardinalidad como instrumento para comparar sistemas finitos; e.4} no son el igual, sino tienen el la misma cardinalidad, a saber tres.

El chantre identificó el hecho de que la correspondencia una por es la manera de decir que dos sistemas tienen los mismos tamaños, llamado " cardinality", en el caso de sistemas finitos. Usar esta correspondencia una por, él aplicó el concepto a los sistemas infinitos; e. el sistema del N de los números naturales = {0, 1, 2, 3,…}. Él llamó el de estos números cardinales los números cardinales Transfinite, y definió todos los sistemas que tenían una correspondencia una por con el N para ser los sistemas (contable infinitos) denumerable .

Nombrando este $\backslash \; aleph\_0$ del número cardinal, el aleph-nulo, chantre probó que cualquier subconjunto ilimitado del N tiene la misma cardinalidad que el N, incluso si éste pudo aparecer al principio funcionar contrariamente a la intuición. Él también probó que el sistema de todo el pidió pares que de números naturales es denumerable (cuál implica que el sistema de todos los números racionales es denumerable), y probado más adelante que el sistema de todos los números algébricos es también denumerable. Cada z del número algébrico se puede codificar como secuencia finita de números enteros que sean los coeficientes en la ecuación polinómica cuyo es la solución, es decir, pedido \; del $del\; n-tuple\; (a\_0,\; a\_1,\dots ,\; a\_n)\; a\_i\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},$ junto con un par del $de\; los\; números\; racionales\; (b\_0,\; b\_1)$ tales que el z es la raíz única del polinomio con el $de\; los\; coeficientes\; (a\_0,\; a\_1,\dots ,\; a\_n)$ que miente en el $del\; intervalo\; (b\_0,\; b\_1)$.

En sus 1874 papel, el chantre probó que existen los números cardinales higher-order demostrando que el sistema de números verdaderos tiene cardinalidad mayor que la del N . Su presentación original utilizó una discusión compleja con los intervalos jerarquizados, pero en un papel 1891 él probó el mismo resultado usar su discusión diagonal ingenioso pero simple. Este nuevo número cardinal, llamado la cardinalidad de la serie continua, fue llamado el c por Cantor.

El chantre también desarrolló una porción grande de la teoría general de números cardinales; él probó que hay un número cardinal transfinite más pequeño ($\backslash \; aleph\_0$, aleph-nulo) y que para cada número cardinal, hay un $cardinal\; siguiente-más\; grande,\; \backslash \; aleph\_2,\; (\backslash \; aleph\_1\; \backslash \; aleph\_3,\; \backslash \; cdots)$.

Su hipótesis de la serie continua es el asunto que el c es igual que el $\backslash \; aleph\_1$, pero han encontrado ésta para ser independiente de los axiomas estándar de la teoría determinada matemática; puede ni ser probado ni ser refutado bajo asunciones estándar.

Motivación

En uso informal, un número cardinal está qué se refiere normalmente pues un que cuenta el número . Pueden ser identificados con el principio de los números naturales con 0 (es decir 0, 1, 2,…). Los números de cuenta son exactamente qué se puede definir formalmente como los números cardinales finitos . Los cardenales infinitos ocurren solamente en matemáticas y lógica de alto nivel.

Más formalmente, un número diferente a cero se puede utilizar para dos propósitos: para describir el tamaño de un sistema, o describir la posición de un elemento en una secuencia. Que los sistemas y las secuencias finitos es fácil vean que coinciden estas dos nociones, puesto que para cada número que describe una posición en una secuencia podemos construir un sistema que tenga exactamente el tamaño correcto, e. 3 describe la posición de “c” en la secuencia < ' a', “b”, “c”, “d”,… >, y podemos construir el sistema {a, b, c} que tiene 3 elementos. Sin embargo al ocuparse de los sistemas infinitos es esencial distinguir entre el &mdash dos; las dos nociones son de hecho diferentes para los sistemas infinitos. En vista de que el aspecto de la posición lleva a los números ordinales, mientras que el aspecto del tamaño es generalizado por los números cardinales descritos aquí.

La intuición detrás de la definición formal del cardenal es la construcción de una noción del tamaño o del " relativo; bigness" de un sistema sin referencia a la clase de miembros que tiene. Para los sistemas finitos esto es fácil; uno cuenta simplemente el número de elementos que un sistema tiene. Para comparar los tamaños de sistemas más grandes, es necesario apelar a nociones más sutiles.

Un Y del sistema es por lo menos tan grande como, o mayor o igual un X del sistema si hay un (uno por) inyectivo que traza de los elementos del X a los elementos del Y . Un trazado uno por identifica cada elemento del X del sistema con un elemento único del Y del sistema. Esto es la más facilmente comprensible por un ejemplo; suponer que tenemos el X de los sistemas = {1.3} y Y = {a, b, c, d}, después usar esta noción del tamaño observaríamos que hay un trazado: → del
1 del
un → c del
3 del → b del
2 cuál es uno por, y por lo tanto concluye que el Y tiene la cardinalidad mayor o igual X . Observar el elemento d no tiene ningún elemento el trazar a él, pero esto se permite como requerimos solamente un trazado uno por, y no no necesario un uno por y un sobre el trazado de . La ventaja de esta noción es que puede ser ampliada a los sistemas infinitos.

Podemos entonces ampliar esto a una relación del igualdad-estilo. Dos el X de los sistemas y el Y se dicen para tener la misma cardinalidad si existe un Bijection entre el X y el Y . Por el teorema de Schroeder-Bernstein, esto es equivalente allí a ser el al trazado uno por del X al del Y y un trazado uno por del Y al X . Entonces escribimos |    del X ; | = |    del Y ; |. El número cardinal del X sí mismo se define a menudo como el menos ordinal un con |  un   de ; | = |    del X ; |. Esto se llama la asignación cardinal de Von Neumann; para que esta definición tenga sentido, debe ser probado que cada sistema tiene la misma cardinalidad que ordinal de algún ; esta declaración es el principio de Bien-petición . Es sin embargo posible discutir la cardinalidad relativa de sistemas sin explícitamente la asignación de nombres a los objetos.

El ejemplo clásico usado es el de la paradoja infinita del hotel, también llamado paradoja de Hilbert del hotel magnífico . Suponer que usted es mesonero en un hotel con un número infinito de cuartos. El hotel es lleno, y entonces una nueva huésped llega. Es posible caber a la huésped adicional adentro preguntando a la huésped que estaba en el sitio 1 de trasladarse al sitio 2, la huésped en el sitio 2 de mover al sitio 3, y así sucesivamente, el sitio que se va 1 vacante. Podemos escribir explícitamente un segmento de este trazado:
… del ↔ n+1 del
n ↔ 4 del
3 del ↔ 3 del
2 del ↔ 2 del
1 del
… De esta manera podemos ver que el sistema {1.3,…} tiene la misma cardinalidad que el sistema {2.4,…} puesto que un bijection entre el primer y el segundo se ha demostrado. Esto motiva la definición de un sistema infinito que es fijado que tenga un subconjunto apropiado de la misma cardinalidad; en este caso {2.4,…} es un subconjunto apropiado de {1.

Cuando en vista de estos objetos grandes, puede ser que también queramos ver si la noción de contar orden coincide con la del cardenal definido arriba para estos sistemas infinitos. Sucede que no lo hace; considerándonos el ejemplo antedicho podemos ver eso si un cierto " del objeto; uno mayor que infinity" existe, después debe tener la misma cardinalidad con la cual el sistema infinito nosotros comenzó. Es posible utilizar una diversa noción formal para el número, llamada los ordinales basados en las ideas de contar y de considerar cada número alternadamente, y descubrimos que las nociones de la cardinalidad y del ordinality son divergentes nosotros se mueven una vez de los números finitos.

Puede ser probado que la cardinalidad de los números verdaderos es mayor que el de los números naturales apenas descritos. Esto se puede visualizar usar la discusión diagonal del chantre; las cuestiones clásicas de la cardinalidad (por ejemplo la hipótesis de la serie continua) se refieren a descubrir si hay algún cardenal entre un ciertos pares de otros cardenales infinitos. En épocas más recientes los matemáticos han estado describiendo las características de cardenales más grandes y más grandes.

Puesto que la cardinalidad es un concepto tan común en matemáticas, una variedad de nombres son funcionando. El Sameness de la cardinalidad se refiere a veces como el equipotence, el equipollence, o equinumerosity . Se dice así que dos sistemas con la misma cardinalidad son, respectivamente, el equipotente, el equivalente, o el equinumerous.

Definición formal

Formalmente, si se asume que el axioma de la opción, la cardinalidad de un X del sistema es el menos α ordinal tales que hay un bijection entre el X y el α. Esta definición se conoce como la asignación cardinal de Von Neumann. Si el axioma de la opción no se asume necesitamos hacer algo diferente. La más vieja definición de la cardinalidad de un X (implícito en chantre y explícito en Frege y Principia Mathematica ) del sistema está como el sistema de todos los sistemas que sean equinumerous con el X : esto no trabaja en el ZFC u otros sistemas relacionados de la teoría determinada axiomática porque esta colección es demasiado grande ser un sistema, pero trabaja en el tipo teoría y en las nuevas fundaciones y los sistemas relacionados. Sin embargo, si restringimos de esta clase a los equinumerous con el X que tengan la menos fila, después trabajará (esto es un truco debido al Dana Scott : trabaja porque la colección de objetos con cualquier fila dada es un sistema).

Formalmente, la orden entre números cardinales se define como sigue: |    del X ; | ≤ |    del Y ; | significa que existe una función inyectiva del X al Y . El teorema del Chantre-Bernstein-Schroeder indica eso si |    del X ; | ≤ |    del Y ; | y |    del Y ; | ≤ |    del X ; | entonces |    del X ; | = |    del Y ; |. El axioma de la opción es equivalente a la declaración que el dado X de dos sistemas y el Y, cualquiera |    del X ; | ≤ |    del Y ; | o |    del Y ; | ≤ |    del X ; |.

Un X del sistema es el Dedekind-infinito si existe un Y del subconjunto apropiado X con |    del X ; | = |    del Y ; |, y Dedekind-finito si no existe tal subconjunto. Los cardenales finitos son apenas los números naturales, es decir, un X del sistema es finito si y solamente si |    del X ; | = |    del n ; | = n para un cierto n del número natural. Cualquier otro sistema es el infinito. Si se asume que el axioma de la opción, puede ser probado que las nociones de Dedekind corresponden las estándar. Puede también ser probado que el $cardinal\; \backslash \; aleph\_0$ (aleph-0, donde está la primera letra el aleph en el alfabeto hebreo, $representado\; \backslash \; aleph$) del sistema de números naturales es el cardenal infinito más pequeño, es decir que el sistema infinito tiene un subconjunto del $\backslash \; aleph\_0.$ de la cardinalidad el $\backslash \; aleph\_1$ denota al cardenal más grande siguiente y así sucesivamente. Para cada α ordinal hay un $del\; número\; cardinal\; \backslash \; un\; aleph\_\; \{\backslash \; alfa\},$ y extractores todos de esta lista los números cardinales infinitos.

Aritmética cardinal

Podemos definir operaciones aritméticas en los números cardinales que generalizan las operaciones ordinarias para los números naturales. Puede ser demostrado que para los cardenales finitos estas operaciones coinciden con las operaciones generalmente para los números naturales. Además, estas operaciones comparten muchas características con aritmética ordinaria.

Cardenal del sucesor

Si el axioma de la opción se sostiene, cada κ cardinal tiene un sucesor κ⁺ > κ, y no hay cardenales entre el κ y su sucesor. Para los cardenales finitos, el sucesor es simplemente κ+1. Para los cardenales infinitos, el cardenal del sucesor diferencia del sucesor ordinal.

Adición cardinal

Si el X y el Y son desunir, la adición es dada por la unión X y del Y . Si los dos sistemas no son ya desunir, después pueden ser substituidos cerca desunen sistemas, es decir substituyen el X por los × del X ; {0} y Y por los × del Y ; {1}. $del\; |X|\; +\; |Y|\; =\; |\; X\; \backslash \; taza\; Y|.$

Cero es un κ aditivo del de la identidad + 0 = 0 + κ del = el κ del .

La adición es el asociativo (κ del + el μ del ) + ν del = κ del + (μ del + el ν del ).

La adición es κ comutativo del + μ del = μ del + el κ del .

La adición es no decreciente en ambas discusiones:

$(\backslash \; kappa\; \backslash \; le\; \backslash \; MU)\; \backslash \; rightarrow\; ((\backslash \; +\; \backslash \; NU\; \backslash \; le\; \backslash \; MU\; de\; la\; kappa)\; \backslash \; mbox\; +\; \backslash \; NU\; \{y\}\; (\backslash \; NU\; +\; \backslash \; kappa\; \backslash \; le\; \backslash \; NU\; +\; \backslash \; MU)).$

Si el axioma de la opción se sostiene, la adición de números cardinales infinitos es fácil. Si el $\backslash \; kappa$ o el $\backslash \; mu$ es infinito, entonces + \ MU del $\backslash \; de\; la\; kappa\; del\; =\; \backslash \; máximo\; \backslash \; \{\backslash ,\; \backslash \; MU\; de\; la\; kappa\; \backslash \}.$

La substracción no se puede definir para los cardenales infinitos.

Multiplicación cardinal

El producto de cardenales viene del producto de cartesiano . $del\; |X|\backslash \; cdot|Y|\; =\; |X\; \backslash \; épocas\; Y|$

κ del ·0 = 0· κ del = 0.

κ del · μ del = 0 $\backslash \; rightarrow$ (κ del = 0 o μ del = 0).

Uno es un κ multiplicativo del de la identidad ·1 = 1· κ del = κ del .

La multiplicación es asociativa (el κ del · μ del )· ν del = κ del ·(μ del · ν del ).

La multiplicación es el κ comutativo · μ del = μ del · κ del .

La multiplicación es no decreciente en ambas discusiones: $\backslash \; rightarrow$ (κ del μ ≤ del κ · ν ≤ μ · ν del y ν del · κ ≤ ν · μ del ).

El de la multiplicación distribuye sobre la adición: κ del ·(μ del + ν del ) = κ del · μ del + κ del · ν del y (μ del + ν del )· κ del = μ del · κ del + ν del · κ del .

Si el axioma de la opción se sostiene, la multiplicación de números cardinales infinitos es también fácil. Si el κ del o el μ del es infinito y ambos son diferentes a cero, entonces $\backslash \; kappa\; \backslash \; el\; cdot\; \backslash \; MU\; del\; =\; \backslash \; máximo\; \backslash \; \{\backslash ,\; \backslash \; MU\; de\; la\; kappa\; \backslash \}.$

La división no se puede definir para los cardenales infinitos.

Exponenciación cardinal

La exponenciación es dada por el $del\; |X|^$

La hipótesis de la serie continua

La hipótesis (CH) de la serie continua indica que no hay cardenales terminantemente entre el $\backslash \; aleph\_0$ y $2^\; \{\backslash \; aleph\_0\}.$ El 3ultimo número cardinal también es denotado a menudo por el c ; es la cardinalidad de la serie continua (el sistema de los números verdaderos . En este caso = \ aleph_1. de $2^\; \{\backslash \; aleph\_0\}\; el\; generalizó\; la\; hipótesis\; (GCH)\; de\; la\; serie\; continua\; estados\; entre\; los\; cuales\; para\; cada\; infinito\; X\; del\; sistema,\; no\; hay\; cardenales\; terminantemente\; | \; \; del\; X\; ;\; |\; y\; 2| \; \; del\; X\; ;\; |.\; La\; hipótesis\; de\; la\; serie\; continua\; es\; independiente\; de\; los\; axiomas\; generalmente\; de\; la\; teoría\; determinada,\; los\; axiomas\; de\; Zermelo-Fraenkel\; junto\; con\; el\; axioma\; de\; la\; opción\; (\; ZFC\; ).$

Ver también

Nombres de números en inglés
Cardenal grande
Número nominal
Número ordinal
Número de serie
la paradoja del cardenal más grande
Número de Aleph
Número de Beth

.

Zenithic

Morten Fevang

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