En las matemáticas, un número complejo es un número que a menudo se define formalmente para consistir en un par pedido de los números verdaderos ( un, b ), escrito a menudo: $del\; a\; +\; BI\; \backslash ,$

Los números complejos tienen la adición, la substracción, la multiplicación, y operaciones de la división definidas, con los comportamientos que son un sobreconjunto terminante de números verdaderos, así como tener otras características elegantes y útiles. Notablemente, las raíces cuadradas de números negativos se pueden calcular en términos de números complejos.

Los números complejos fueron inventados cuando fue descubierto que solucionar algunas ecuaciones cúbicas requirió los cálculos intermedios que contenían las raíces cuadradas de números negativos, incluso cuando las soluciones finales eran números verdaderos. Además, del teorema fundamental de la álgebra el uso de números complejos como el campo de número para las ecuaciones algebraicas polinómicas significa que existen las soluciones siempre. El sistema de números complejos se dice para formar un campo que sea el algebraico cerrado, en contraste con los números verdaderos.

Los números complejos se utilizan en un gran número de diversos campos incluyendo la ingeniería, la física del electromagnetismo y de quántum y las matemáticas aplicadas así como campos como teoría del caos.

En matemáticas, el " del adjetivo ; complex" significa que el campo de número subyacente es números complejos, por ejemplo análisis complejo, matriz compleja, polinomio complejo y álgebra de mentira compleja .

Definiciones

Notación

Aunque otras notaciones puedan ser utilizadas, los números complejos se escriben muy a menudo en el $del\; de\; la\; forma\; a\; +\; BI\; \backslash ,$

donde están el un y el b los números verdaderos y el i es la unidad imaginaria, que tiene el   ^{del i de la característica; 2} = − 1. El del número verdadero un se llama la parte real del número complejo, y el b del número verdadero es la pieza imaginaria .

Los números verdaderos se pueden expresar como números complejos con la parte imaginaria de cero; es decir, el del número verdadero un es equivalente al del número complejo al i de +0. Los números complejos con una parte real que sea cero se llaman los números imaginarios del .

Por ejemplo, 3 + 2 el i es un número complejo del, con la parte 3 real y la parte imaginaria 2. Si el z = + el ib del, la parte real ( un ) se denota con referencia a (el z ) o $\backslash \; con\; referencia\; a\; (z)$, y la parte imaginaria ( b ) se denota Im (el z ) o el $\backslash \; Im\; (z)$.

En algunas disciplinas (particularmente, la ingeniería eléctrica, donde está un símbolo el i para el actual), el i de la unidad imaginaria en lugar de otro se escribe como j, así que los números complejos se escriben a veces como + el jb del .

El determinado de todos los números complejos es denotado generalmente por el C, o en la pizarra en negrilla por el $\backslash \; el\; mathbb\; \{C\}$. Los números verdaderos, R, se pueden mirar como subconjunto del C considerando cada número verdadero como complejo: = + 0 i .

Igualdad

Dos números complejos son igual si y solamente si sus partes reales de son igual y sus piezas imaginarias son iguales. Es decir, un   de ; +    del BI del ; =    del c ; +  di si y solamente si un   de ; =    del c y del b ; =  d .

Operaciones

Los números complejos son agregados, restados, multiplicados, y divididos formalmente aplicando el asociativo, el comutativo y leyes distributivas de la álgebra, junto con el   ^{del i de la ecuación; 2}  =  − 1:

l * adición: $\backslash ,\; (a\; +\; BI)\; +\; (c\; +\; di)\; =\; (a\; +\; c)\; +\; (b\; +\; d)$
de i * substracción: $\backslash ,\; (a\; +\; BI)\; -\; (c\; +\; di)\; =\; (a\; -\; c)\; +\; (b\; -\; d)$
de i * multiplicación: $\backslash ,\; (a\; +\; BI)\; (c\; +\; di)\; =\; CA\; +\; bci\; +\; adi\; +\; BD\; i^2\; =\; (CA\; -\; BD)\; +\; (a.\; +\; anuncio)$
de i * división: $\backslash ,\; \backslash \; frac\; \{(a\; +\; BI)\}\{(c\; +\; di)\}\; =\; \backslash \; dejado\; (\{CA\; +\; BD\; \backslash \; sobre\; c^2\; +\; d^2\}\; \backslash \; derecho)\; +\; \backslash \; (\{a.\; -\; anuncio\; \backslash \; sobre\; c^2\; +\; d^2\}\; \backslash \; derecho)\; i\; dejado\; \backslash ,$

(La división de números complejos se define más a fondo más adelante).

El campo de números complejos

Formalmente, los números complejos se pueden definir como pares pedidos de números verdaderos ( un, b ) junto con las operaciones: $del\; (a,\; b)\; +\; (c,\; d)\; =\; (a\; +\; c,\; b\; +\; d)\; \backslash ,$ $del$

l (a, b) \ cdot (c, d) = (CA - BD, a. \,

Definidos tan, los números complejos forman un campo, el campo de número complejo, denotado por el C (un campo es una estructura algebraica en la cual la adición, la substracción, la multiplicación, y la división se definen y satisfacen ciertas leyes algebraicas. Por ejemplo, los números verdaderos forman un campo).

El del número verdadero un se identifica con el número complejo ( un, 0), y de esta manera el campo del R de los números verdaderos se convierte en un subcampo del C . imaginario unidad i puede entonces ser definido como complejo número (0, 1), que verifica

$(a,\; b)\; =\; a\; \backslash \; cdot\; (1,\; 0)\; +\; b\; \backslash \; cdot\; (0,\; 1)\; =\; a\; +\; BI\; \backslash patio\backslash \; texto\; \{y\}\; \backslash \; patio\; i^2\; =\; (0,\; 1)\; \backslash \; cdot\; (0,\; 1)\; =\; (-\; 1,\; 0)\; =\; -1.$

En el C, tenemos:
identidad aditiva (" zero"): (0, 0)
identidad multiplicativa (" one"): (1, 0)
lo contrario aditivo de ( un, b ): (− un, − b )
Lo contrario multiplicativo (recíproco) de diferente a cero ( un, b ): $\backslash \; ido\; (\{a\; \backslash \; sobre\; a^2+b^2\},\; \{-\; b\; \backslash \; sobre\; a^2+b^2\}\; \backslash \; derecho).$

Desde un del número complejo + el BI del es especificado únicamente por un par pedido ( un, b ) de números verdaderos, los números complejos están en la correspondencia una por con los puntos en un plano, llamado el el plano complejo .

El C se puede también definir como el encierro topológico de los números algébricos o como el encierro algebraico del R, que son descritos más abajo.

El plano complejo

Un z del número complejo se puede ver como un punto o vector de posición en un sistema coordinado de dos dimensiones de cartesiano llamado el plano complejo del o &ndash del diagrama de Argand del (nombrado después Jean-Roberto Argand ); ver la figura en la derecha. El punto y por lo tanto el z del número complejo se puede especificar por coordenadas (rectangulares) cartesianos. Los coordenadas cartesianos del número complejo son el x de la parte real = con referencia a (el z ) y el y de la parte imaginaria = Im (el z ). La representación de un número complejo por sus coordenadas cartesianos se llama la forma cartesiana del o la forma rectangular del o la forma algebraica del de ese número complejo.

Valor absoluto, conjugación y distancia

Se define el valor absoluto (o el módulo del o la magnitud del ) de un z del número complejo = el i del ^{del r e φ} como | z | = r . Algebraico, si z = x + y i, entonces $|\; z\; |\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x^2+y^2\}.\; ¡$matemáticas para hacer que alinea mejor con la fórmula-->

Uno puede comprobar fácilmente que el valor absoluto tiene tres características importantes:

$|\; z\; |\; =\; 0\; \backslash ,\; de$ si y solamente si $de\; z\; =\; 0\; \backslash ,$

$|\; z\; +\; w\; |\; \backslash \; leq\; |\; z\; |\; +\; |\; w\; |\; \backslash ,$ (desigualdad ) del triángulo

$|\; z\; \backslash \; cdot\; w\; |\; =\; |\; z\; |\; \backslash \; cdot\; |\; w\; |\; \backslash ,$

para todo el z de los números complejos y el w . Entonces sigue, por ejemplo, ese $|\; 1\; |\; =\; 1$ y $|z/w|=|z|/|w|$. Definiendo el d ( z, w ) de la función de la distancia = | &minus del z ; w | damos vuelta al sistema de números complejos en un espacio métrico y podemos por lo tanto hablar de los límites y de la continuidad .

La conjugación del complejo del del z del número complejo = el x + el y i se define para ser &minus del x ; yi, escrito como $\backslash \; barra\; \{z\}$ o $z^*\; \backslash ,$. Según lo considerado en la figura, el $\backslash \; la\; barra\; \{z\}$ es el " reflection" del z sobre el eje verdadero. Lo que sigue puede ser comprobado: $del\; \backslash \; overline\; \{z+w\}\; =\; \backslash \; +\; \backslash \; barra\; \{w\}$ de la barra {z}

$\backslash \; overline\; \{z\; \backslash \; cdot\; w\}\; =\; \backslash \; barra\; \{\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; barra\; \{w\}$ de z $\backslash \; overline\; del$

l {(z/w)} = \/\ barra {w} de la barra {z} $del$

l \ barra {\ barra {z}} =z $del$

l \   de la barra {z} =z; si y solamente si el z es verdadero $del$

l \   de la barra {z} =-z; si y solamente si el z es puramente imaginario

$|z|=|\backslash \; barra\; \{z\}|$

$|z|^2\; =\; z\; \backslash \; cdot\; \backslash \; barra\; \{z\}$

$z^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; barra\; \{\}\; \backslash \; cdot\; de\; z|z| \; del\; ^\; \{-\; 2\}$; si el z es diferente a cero.

La 3ultima fórmula es el método de opción para computar lo contrario de un número complejo si se da en coordenadas rectangulares.

Esa conjugación conmuta con todas las operaciones algebraicas (y muchas funciones; el $del\; e.\; \backslash \; el\; pecado\; \backslash \; el\; z=\; de\; la\; barra\; \backslash \; el\; overline\; \{\backslash \; pecado\; z\}$) se arraiga en la ambigüedad en la opción del i (− 1 tiene dos raíces cuadradas). Es importante observar, sin embargo, que el $f\; de\; la\; función\; (z)\; =\; \backslash \; barra\; \{z\}$ no es complejo-diferenciable (véase la función olomorfa ).

Fracciones complejas

Podemos dividir un número complejo ( un   de ; +  BI del ) por otro número complejo (  del c ; +    de di ); ≠  0 de dos maneras. La primera manera se ha implicado ya: para convertir ambos números complejos en la forma exponencial, de la cual su cociente se deriva fácilmente. La segunda manera es expresar la división como fracción, después multiplicar numerador y denominador por la conjugación compleja del denominador. El nuevo denominador es un número verdadero.

$\backslash \; comenzar\; \{alinear\}\; \{a\; +\; BI\; \backslash \; sobre\; c\; +\; di\}\; y\; =\; \{(a\; +\; BI)\; (c\; -)\; \backslash \; sobre\; de\; los\; di\; (c\; +\; di)\; (c\; -\; di)\}\; =\; \{(CA\; +\; BD)\; +\; (a.\; -\; anuncio)\; i\; \backslash \; sobre\; c^2\; +\; d^2\}\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; dejado\; (\{CA\; +\; BD\; \backslash \; sobre\; c^2\; +\; d^2\}\; \backslash \; derecho)\; +\; i\; \backslash \; ido\; (\{a.\; -\; anuncio\; \backslash \; sobre\; c^2\; +\; d^2\}\; \backslash \; derecho).\; \backslash ,\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$

Interpretación geométrica de las operaciones en números complejos

Considerar un plano . Un punto es el origen, 0 del . Otro punto es la unidad del, o 1.

La suma de dos puntos del A y el B es el X del punto = el A + el B tales que los triángulos con las cimas 0, el A, el B, y el X, B, A, son el congruente.

El producto de dos puntos del A y el B es el X del punto = el AB tales que los triángulos con las cimas 0, 1, el A, y el 0, B, X, son el similar.

La conjugación del complejo del de un A del punto es el X del punto = el A * tal que los triángulos con las cimas 0, 1, el A, y 0, 1, X, son las imágenes de espejo de uno a.

Esta interpretación geométrica permite que los problemas de la geometría sean traducidos a álgebra. El problema de la construcción geométrica del gobierno de Nigeria 17 se traduce así al análisis del algebraico x de la ecuación ¹⁷ = 1.

Forma polar

Alternativo al cartesiano z de la representación = el x + el iy, el z del número complejo se pueden especificar por los coordenadas polares . Los coordenadas polares son   del r ; =  | z | ≥ 0, llamado el del valor absoluto o módulo, y el φ  =  arg ( z ), llamado la discusión o el ángulo del z . Para el   del r ; =  0 cualesquiera valores del φ describen el mismo número. Para conseguir una representación única, una opción convencional es fijar 0)   del arg (; =  0. Para el   del r ; >  0 el φ de la discusión es el Modulo único 2π; es decir, eventualmente dos valores de la discusión compleja diferencian por un múltiplo exacto del número entero de 2π, ellos se consideran equivalente. Para conseguir una representación única, una opción convencional es limitar el φ al intervalo (- π, π], es decir − π  <  φ  ≤  π. La representación de un número complejo por sus coordenadas polares se llama la forma polar número complejo.

Conversión de la forma polar a la forma cartesiana $x\; del\; de$

=
de r \ lechuga romana \ varphi $y\; =\; r\; \backslash \; pecado\; \backslash \; varphi$

Conversión de la forma cartesiana a la forma polar

= \ arg del $\backslash \; del\; varphi\; del$
= \ raíz cuadrada {x^2+y^2} del $r\; del$

l (z) = \ operatorname {atan2} (y, x)

(Véase el arg funcionar o el Atan2 .)

El valor resultante para el φ está en la gama (−π, +π]; es negativo para los valores negativos del y . Si en lugar de otro los valores no negativos en la gama 2π) se desean, agregar 2π a los resultados negativos.

Notación de la forma polar

Notación de polar forma como

$z\; =\; r\; \backslash ,\; (\backslash )\; \backslash ,\; de\; lechuga\; romana\; \backslash \; del\; varphi\; +\; de\; i\; \backslash \; delpecado\backslash \; del\; varphi$ se llama la forma trigonométrica del . El φ cis de la notación se utiliza a veces como abreviatura para el φ del de lechuga romana + el φ pecado del i . Usar Euler fórmula él puede también estar escrito como

$z\; =\; r\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{e\}\; ^\; \{\}\; \backslash ,\; de\; i\; \backslash \; del\; varphi$ cuál se llama la forma exponencial del .

Multiplicación, división, exponenciación, y extracción de la raíz en la forma polar

La multiplicación, la división, la exponenciación, y la extracción de la raíz son mucho más fáciles en la forma polar que en la forma cartesiana.

Usar las identidades de la suma y de la diferencia su posible obtener eso

$r\_1\; \backslash ,\}\; i\; \backslash \; varphi\_1\; \backslash \; cdot\; del\; e^\; \{r\_2\; \backslash ,\; e^\; \{i\; \backslash \; varphi\_2\}$

r_1 \, r_2 \, e^ {i (\ varphi_1 + \ varphi_2)} \,

y eso $del$

l \ frac {r_1 \, e^ {i \ varphi_1}} {r_2 \, e^ {i \ varphi_2}} = \ frac {r_1} {r_2} \, e^ {i - (\ varphi_1 \ varphi_2)}. \,

Exponenciación con los exponentes del número entero; según la fórmula de De Moivre, $del$

l \ (r \, e^ {i \ varphi} \ grande) ^n = r^n grandes \, e^ {en \ varphi}. \,

La exponenciación con los exponentes complejos arbitrarios se discute en el artículo sobre la exponenciación .

La adición de dos números complejos es apenas la adición de vector de dos vectores, y la multiplicación por un número complejo fijo se puede considerar como una rotación y estirar simultáneos.

La multiplicación por el i corresponde a una rotación a la izquierda por 90 grados (radianes π/2. El contenido geométrico del ^{&thinsp del i de la ecuación; 2}  =  − 1 es que una secuencia de dos resultados de las rotaciones de 90 grados en una rotación de 180 grados (radianes del π). Incluso el hecho (− 1)  ·  (− 1)  =  +1 de aritmética se pueden entender geométrico como la combinación de dos vueltas de 180 grados.

Todas las raíces de cualquier número, verdadero o complejo, se pueden encontrar con un algoritmo simple . Las raíces del th del n se dan cerca

$\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{e^\; de\; r\; \{i\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\}\; \backslash \; e^\; \{i\; de\; r\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi+2k\; \backslash \; pi\}\; \{n\}\; \backslash \; derechos)\}$

para el   del k ; =  0,   1,   2,   …,   &thinsp del n ; −   1, donde el $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{r\}$ representa la raíz principal del th del n del r .

Algunas características

¡Representación de matriz del numbers< complejo! -- Esta sección se liga de las ecuaciones de Cauchy-Riemann -->

Mientras que generalmente son no útiles, las representaciones alternativas del campo complejo pueden dar una cierta penetración en su naturaleza. Una particularmente representación elegante interpreta cada número complejo como matriz 2×2 con las entradas verdaderas que estire y gire los puntos del plano. Cada tal matriz tiene el $del\; de\; la\; forma\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; a\; y\; -\; de\; b\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash ;\; de\; b\backslash ;\; a\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

donde están números el un y el b verdaderos. La suma y el producto de dos tales matrices está otra vez de esta forma, y la operación del producto en matrices de esta forma es el comutativo. Cada matriz diferente a cero de esta forma es inversible, y su lo contrario está otra vez de esta forma. Por lo tanto, las matrices de esta forma son un campo, isomorfo al campo de números complejos. Cada tal matriz se puede escribir como el $del\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; a\; y\; -\; de\; b\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash ;\; de\; b\backslash ;\; a\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

a \ comienza {el bmatrix} 1 y \; \; 0 \ \ 0 y \; \; 1 \ extremo {bmatrix} + b \ comienza {el bmatrix} 0 y -1 \ \ 1 y \; \; 0 \ extremo {bmatrix} cuál sugiere que identifiquemos el número verdadero 1 con el $del\; dela\; matrizde\; identidad\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 1\; y\; \backslash ;\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; \backslash ;\; \backslash ;\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\},$ y el i de la unidad imaginaria con el $del\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 0\; y\; -1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; \backslash ;\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\},$

una rotación a la izquierda por 90 grados. Observar que el cuadrado de esta 3ultima matriz es de hecho igual a la matriz 2×2 que representa − 1.

El cuadrado del valor absoluto de un número complejo expresado como matriz es igual al determinante de esa matriz. $del\; |z|^2\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; vmatrix\}\; a\; y\; -\; de\; b\; \backslash \; \backslash \; b\; y\; a\; \backslash \; extremo\; \{vmatrix\}$

(a^2) - ((- b) (b)) a^2 + b^2.

Si la matriz se ve como transformación del plano, después la transformación gira puntos con un ángulo igual a la discusión del número complejo y de las escalas por un factor igual al valor absoluto del número complejo. La conjugación del z del número complejo corresponde a la transformación que gira con el mismo ángulo que el z pero en la dirección opuesta, y escala de manera semejante como z ; esto se puede representar por el transporta de la matriz que corresponde al z .

Si los elementos de matriz son ellos mismos números complejos, la álgebra resultante es la Quaternions . Es decir esta representación de matriz es una forma de expresar la construcción de Cayley-Dickson de álgebra.

Debe también ser observado que los dos valores propios de la matriz 2x2 que representa un número complejo son el número complejo sí mismo y su conjugación.

Espacio de vector verdadero

El C es un espacio de vector verdadero de dos dimensiones . Desemejante de los reals, el sistema de números complejos no puede ser el total pedido de ninguna manera que sea compatible con sus operaciones aritméticas: El C no se puede dar vuelta en un campo pedido . Más generalmente, ningún campo que contiene una raíz cuadrada del − 1 puede ser pedido.

''' Del ''' R - el linear C del → del C de los mapas de tiene el $f\; general\; del\; de\; la\; forma\; (z)=az+b\; \backslash \; overline\; \{z\}$ con el complejo de los coeficientes un y el b . Solamente el primer término es el C - linear, y solamente el primer término es el olomorfo; el segundo término es verdadero-diferenciable, pero no satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

El $f\; del\; de\; la\; función\; (z)=az\; \backslash ,$ corresponde a las rotaciones combinadas con el escalamiento, mientras que el $f\; del\; de\; la\; función\; (z)=b\; \backslash \; overline\; \{z\}$ corresponde a las reflexiones combinadas con el escalamiento.

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Una raíz polinómico p es un z del número complejo tales que el p ( z ) = 0. Un resultado asombrosamente en análisis complejo es que todos los polinomios de el n del grado con coeficientes verdaderos o complejos tiene exactamente raíces complejas del n (que cuentan las raíces múltiples según su multiplicidad). Esto se conoce como el teorema fundamental de la álgebra, y demuestra que los números complejos son un campo algebraico cerrado .

De hecho, el campo de número complejo es el encierro algebraico del campo de número verdadero, y el Cauchy construyó el campo de números complejos de esta manera. ( C ) puede también ser caracterizado como el anillo de cociente del polinómico R del anillo sobre el ideal generado por el polinómico X ² + 1: = \ mathbb {R} X del $\backslash \; del\; mathbb\; del\; \{C\}/(X^2\; +\; 1).\; \backslash ,$ Esto es de hecho un campo porque el X ² + 1 es el irreducible, por lo tanto generando un ideal máximo, en el R . La imagen del X en este anillo de cociente es el i de la unidad imaginaria.

Caracterización algebraica

El C del campo es ( hasta el isomorfismo del campo de ) caracterizado por los tres hechos siguientes:
su característico es 0
su grado de la trascendencia sobre el campo primero es la cardinalidad de la serie continua
es el algebraico cerrado

Por lo tanto, el C contiene muchos subcampos apropiados que sean isomorfos al C . Otra consecuencia de esta caracterización es que el grupo de Galois del C sobre los números racionales es enorme, con la cardinalidad igual al que del sistema de la energía de la serie continua .

Caracterización como campo topológico

Según lo observado arriba, la caracterización algebraica del C no puede capturar algunas de sus características más importantes. Estas características, que sostienen las fundaciones del análisis complejo, se presentan de la topología del C . Las características siguientes caracterizan el C como campo topológico :
El C es un campo.
El C contiene un P del subconjunto de los elementos diferentes a cero que satisfacen: El P es cerrado bajo adición, multiplicación y lo contrario el tomar.
Si x y y es elementos distintos del P, después el el y-x x-y de o del está en el P
Si el S es cualquier subconjunto no vacío del P, entonces el S+P=x+P para un cierto x en el C .
El C tiene un x→x* involutivo no trivial automorfismo, fijando el P y tal que el xx* del está en el P para cualquier diferente a cero x en el C .

Dado estas características, uno puede entonces definir una topología en el C tomando el los sistemas $B\; (x,\; p)\; =\; \backslash \; \{y\; |\; p\; -\; (y-x)\; (y-x)\; ^*\; \backslash \; en\; P\; \backslash \}$ como una base, donde el x se extiende sobre el C, y gamas del p sobre el P .

Para ver que estas características caracterizan el C como campo topológico, uno observa que del ∪ del ∪ del P 0} {- P es un campo Dedekind-completo pedido y se puede identificar así con el R de los números verdaderos por un isomorfismo único del campo. La característica pasada se considera fácilmente para implicar que el grupo de Galois sobre los números verdaderos está de la orden dos, terminando la caracterización.

El Pontryagin ha demostrado que el conectado único localmente condensa campos topológicos del que son el R y el C . Esto da otra caracterización del C como campo topológico, puesto que el C puede ser distinguido del R observando que los números complejos diferentes a cero son conectados, mientras que no son los números verdaderos diferentes a cero.

Análisis complejo

considera también:

complejo del análisis

El estudio de funciones de una variable compleja se conoce como análisis complejo y tiene uso práctico enorme en las matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. A menudo, las pruebas más naturales para las declaraciones en el análisis verdadero o aún la teoría de número emplean técnicas del análisis complejo (véase el teorema del número primero para un ejemplo). Desemejante de las funciones verdaderas que se representan comúnmente como gráficos de dos dimensiones, las funciones complejas tienen gráficos cuadridimensionales y se puede ilustrar provechosamente por la codificación policromática un gráfico tridimensional para sugerir cuatro dimensiones, o animando la transformación dinámica de la función compleja del plano complejo.

Usos

El " de las palabras; real" y " imaginary" eran significativo cuando los números complejos fueron utilizados principalmente como ayuda en " de manipulación; real" números, con solamente el " real" parte que describe directo el mundo. Usos posteriores, y especialmente el descubrimiento de los mecánicos de quántum, demostrado que la naturaleza no tiene ninguna preferencia por " real" los números y sus la mayoría de las descripciones verdaderas del requieren a menudo los números complejos, el " imaginary" parte que es apenas tan física como el " real" partición.

Teoría de control

En la teoría de control, los sistemas se transforman a menudo del dominio de tiempo al dominio de frecuencia usar el Laplace transforman . Los postes del sistema y los ceros entonces se analizan en el plano complejo del . El lugar geométrico de la raíz, el diagrama de Nyquist, y las técnicas todas del diagrama de Nichols hacen uso del plano complejo.

En el método del lugar geométrico de la raíz, es especialmente importante si los postes y los ceros están en los planos de la mitad izquierda o derecha, es decir tiene la parte real mayor que o menos de cero. Si un sistema tiene postes que sean
en el plano de la mitad derecha, será el inestable,
todos en el medio plano izquierdo, será el estable,
en el eje imaginario, tendrá estabilidad marginal . Si un sistema tiene ceros adentro el plano de la mitad derecha, es un sistema de la fase de Nonminimum.

Análisis de la señal

Los números complejos se utilizan en el análisis de la señal y otros campos para una descripción conveniente para las señales periódico diversas. Para las funciones verdaderas dadas que representan cantidades físicas reales, a menudo en términos de senos y cosenos, se consideran las funciones complejas correspondientes cuyo las partes reales son las cantidades originales. Para una onda de seno de una frecuencia dada, el valor absoluto | z | del correspondiente z es la amplitud y el arg de la discusión ( z ) la fase .

Si Fourier análisis es empleado escribir dado con valores reales señal como suma de periódico función, este periódico función son a menudo escrito como complejo valorado función de forma

$f\; (t)\; =\; z\; e^\; \{i\; \backslash \}\; \backslash ,\; de\; Omega\; t$ donde el ω representa la frecuencia angular y el z del número complejo codifica la fase y la amplitud según lo explicado arriba.

En la ingeniería eléctrica, el Fourier transforma se utiliza para analizar los voltajes diversos y las corrientes . El tratamiento de los condensadores de los resistores y de los inductores puede entonces ser unificado introduciendo las resistencias imaginarias, dependientes de la frecuencia para los 3ultimos dos y combinar los tres en un solo número complejo llamado la impedancia . (Los ingenieros eléctricos y algunos físicos utilizan el j de la letra para la unidad imaginaria puesto que el i es típicamente reservado para las corrientes diversas y puede entrar en conflicto con el i .) Este acercamiento se llama el cálculo del phasor. Este uso también se amplía en el proceso de señal numérica y el tratamiento de la imagen de Digitaces, que utilizan versiones digitales del análisis de Fourier (y del análisis de la olita ) para transmitir, la compresa, el restablecimiento, y las señales audios de otra manera de proceso de Digitaces, aún imágenes, y las señales video .

Integrales incorrectos

En campos aplicados, los números complejos son de uso frecuente computar los integrales incorrectos de cierto con valores reales por medio de funciones complejo-valoradas. Varios métodos existen para hacer esto; ver los métodos de la integración del contorno.

Mecánicos de Quantum

El campo de número complejo es relevante en la formulación matemática de los mecánicos de quántum, donde los espacios de Hilbert complejos proporcionan el contexto para una tal formulación que sea conveniente y quizás más estándar. Las fórmulas originales de los mecánicos de quántum - la ecuación y mecánicos de matriz de s de Heisenberg el de la fundación de Schrödinger los ' - hacen uso de números complejos.

Relatividad

En el la relatividad general especial de y, algunas fórmulas para el métrico en el espacio-tiempo llega a ser más simple si uno toma la variable de tiempo para ser imaginario. (Éste es no más estándar.) Los números complejos son esenciales para los espinores que son una generalización de los tensores usados en relatividad.

Matemáticas aplicadas

En las ecuaciones diferenciales, es común a primero encontrar todo el r de las raíces del complejo de la ecuación característica de a La ecuación diferencial linear y entonces intenta solucionar el sistema en términos de funciones bajas del f ( t ) de la forma = rt del del e .

Dinámica flúida

En la dinámica flúida, las funciones complejas se utilizan para describir flujo potencial en dos dimensiones .

Fractales

Ciertos fractales se trazan en el Mandelbrot determinado del plano complejo e. y el Julia determinado.

¡History

La referencia efímera más temprana a las raíces cuadradas de los números negativos quizás ocurrió en el trabajo del matemático griego y de la garza del inventor de Alexandría en el 1r ANUNCIO del siglo, cuando él consideraba el volumen de un tronco imposible de una pirámide, aunque los números negativos no fueron concebidos en el mundo helenístico .

Los números complejos llegaron a ser más prominentes en el siglo XVI, cuando las fórmulas cerradas para las raíces los polinomios cuárticos cúbicos del y fueron descubiertas por los matemáticos italianos (véase el Niccolo Fontana Tartaglia, el Gerolamo Cardano ). Pronto fue observado que estas fórmulas, incluso si uno estaba solamente interesado en soluciones verdaderas, requirieron a veces la manipulación de las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, la fórmula cúbica de Tartaglia da la solución siguiente al   del x ³ de la ecuación; −     del x ; =  0:

$\backslash \; frac\; \{1\}\; 3\}\}\; \backslash \; dejados\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{+\; \backslash \; frac\; del\; ^\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}\; 1/3\}\; \{\{1\}\; ^\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}\; \{1/3\}\}\; \backslash \; derechos).$

Al principio echa un vistazo esto parece absurdo. Los cálculos al menos formales con números complejos demuestran a eso el z ³  de la ecuación; =  i tiene solución - i, $\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; i$ y $\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; i$. Substituyendo éstos alternadamente para el $\{\backslash \; el\; ^\; del\; scriptstyle\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}\; \{1/3\}\}$ en la fórmula cúbica de Tartaglia y simplificándolos, una consigue 0, 1 y − 1 como las soluciones del x ³  -     del x ; =  0.

Esto era doble inquietante desde que no incluso los números negativos eran considerados estar en la tierra firme en ese entonces. El " del término; imaginary" para estas cantidades fue acuñado por el René Descartes en el 1637 y significado ser despectivo (véase el número imaginario para una discusión del " reality" de números complejos). Futuro fuente de confusión era que ecuación $\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{-\; 1\}\; ^2=\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{-\; 1\}\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{-\; 1\}\; =-1$ parecía estar caprichoso contrario con algebraico identidad $\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{=\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{ab\}$} \ raíz cuadrada {b} de a, que es válido para el positivo de los números verdaderos al y el b, y que también fue utilizado en cálculos del número complejo con uno del un, del b positivo y de la otra negativa. El uso incorrecto de esta identidad (y del $relacionado\; de\; la\; identidad\; \backslash \; del\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1/a\}$) del scriptstyle 1 \ raíz cuadrada {a} en el caso cuando el un y el b son incluso bedeviled negativo Euler . Esta dificultad llevó eventual a la convención de usar el i del símbolo especial en lugar del $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}$ para guardar contra este error.

El siglo XVIII consideró los trabajos Abraham de Moivre y Leonhard Euler . A de Moivre es debido (1730) la fórmula bien conocida que lleva su nombre, fórmula de De Moivre: = \ lechuga romana n \ theta + i \ pecado n \ theta del ^ del $del$

l (\ lechuga romana \ theta + i \ pecado \ theta) {n} \,

y a 1748) fórmulas de Euler de Euler (del análisis complejo : $del$

l \ lechuga romana \ theta + ^ de i \ del pecado \ de la theta = de e {i \ theta}. \,

La existencia de números complejos no fue aceptada totalmente hasta que la interpretación geométrica (véase abajo) hubiera sido descrita por el Caspar Wessel en el 1799 ; fue vuelto a descubrir varios años más tarde y popularizado por el Carl Friedrich Gauss, y consecuentemente la teoría de números complejos recibió una extensión notable. La idea de la representación gráfica de números complejos había aparecido, sin embargo, desde 1685, en el tractatus de De Algebra del de de Wallis.

La memoria de Wessel aparecía en los procedimientos de la academia de Copenhague para 1799, y es excesivamente clara y completa, incluso en comparación con trabajos modernos. Él también considera la esfera, y da una teoría de Quaternion de la cual él desarrolle una trigonometría esférica completa. En 1804 que el Abbé Buée vino independiente sobre la misma idea que Wallis habían sugerido, ese $\backslash \; P.\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}$ debe representar una línea de unidad, y su negativo, perpendiculares al eje verdadero. papel de s de Buée el 'no fue publicado hasta 1806, en el cual el Jean-Roberto Argand del año también publicó un folleto en el mismo tema. Es al ensayo de Argand que la fundación científica para la representación gráfica de números complejos ahora está referida generalmente. Sin embargo, en 1831 gauss encontrados el desconocido de la teoría absolutamente, y en 1832 publicó su principal memoria en el tema, así trayéndolo prominente antes del mundo matemático. La mención se debe también hacer de un pequeño tratado excelente por el Mourey (1828), en el cual las fundaciones para la teoría de números direccionales se ponen científico. La aceptación general de la teoría no es una poco debido a los trabajos Agustín Louis Cauchy y Niels Henrik Abel, y especialmente este 3ultimo, que era el primer para utilizar audazmente números complejos con un éxito que es bien sabido.

Los términos comunes usados en la teoría son principalmente debido a los fundadores. Argand llamó el $\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; phi\; +\; i\; \backslash \; el\; pecado\; \backslash \; phi$ el factor de la dirección del, y = \ raíz cuadrada {a^2+b^2} del $r\; el\; módulo\; del\; ;\; Cauchy\; (1828)\; llamó\; el$ \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; phi\; +\; i\; \backslash \; el\; pecado\; \backslash \; phi$la\; forma\; reducida\; (réduite\; del\; l\text{'}expression);\; usado\; gauss\; i\; para\; el$ \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}$,\; introducido\; el\; número\; complejo\; término\; para$ a+bi$,\; y$ a^2+b^2$llamado\; la\; norma\; del\; .$

El coeficiente de dirección del de la expresión, de uso frecuente para el $\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; la\; phi\; +\; i\; \backslash \; el\; pecado\; \backslash \; phi$, es debido a Hankel (1867), y el valor absoluto del, para el módulo del, es debido a Weierstrass.

Cauchy de siguiente y el gauss han venido un número de contribuidores de la alta fila, de quienes lo que sigue puede ser mencionado especialmente: Kummer (1844), Leopold Kronecker (1845), Scheffler (1845, 1851, 1880), Bellavitis (1835, 1852), pavo real (1845), y De Morgan (1849). El Möbius se debe también mencionar para sus memorias numerosas en los usos geométricos de números complejos, y el Dirichlet para la extensión de la teoría a incluir prepara, las congruencias, reciprocidad, etc., como en el caso de números verdaderos.

Un anillo complejo o el campo es un sistema de números complejos que es cerrado bajo la adición, la substracción, y multiplicación. El gauss estudió los números complejos del $a\; de\; la\; forma\; +\; del\; bi$, donde están integrales el un y el b, o del racional (y el i es una de las dos raíces de $x^2\; +\; 1\; =\; 0$). Su estudiante, Fernando Eisenstein, estudió el tipo $a\; +\; b\; \backslash \; omega$, donde está una raíz el $\backslash \; omega$ compleja de $x^3\; -\; 1\; =\; 0$. Otras tales clases (llamadas el los campos ciclotómicos ) de números complejos se derivan de las raíces del $x^k\; de\; la\; unidad\; -\; 1\; =\; 0$ para valores más altos de $k$. Esta generalización es en gran parte debido al Kummer, que también inventó los números del ideal que fueron expresados como entidades geométricas por el Felix Klein en 1893. La teoría general de campos fue creada por el Évariste Galois, que estudió los campos generados por las raíces de cualquier ecuación polinómica $\backslash \; F\; del$

l (x) = 0.

Los últimos escritores (a partir de 1884) en la teoría general incluyen el Weierstrass, el Schwarz, el Richard Dedekind, el Otto Hölder, el Berloty, el Enrique Poincaré, el estudio de Eduard, y el Alexander MacFarlane .

La definición formalmente correcta usar pares de números verdaderos fue dada en el siglo XIX .

Ver también

class=" del
Raíz cuadrada de los números complejos
Movimiento circular usar los números complejos
Geometría compleja
Fórmula de De Moivre
Colorante del dominio
Identidad de Euler
Número de Hypercomplex
Campo local
Mandelbrot determinado
Quaternion
Esfera de Riemann (plano complejo extendido)
número Partir-complejo
Número imaginario /unidad imaginaria
Sistemas bajos complejos