l para el " de los números; constructible" en el sentido de la teoría determinada, ver el universo construible de Gödel.
Un punto en el plano euclidiano es un punto construible si, dado un fijo el sistema coordinado (o una línea fija segmento de la longitud de la unidad ), uno puede construir el punto con la regla y el compás unruled . Un número complejo es un número construible si su punto correspondiente en el plano euclidiano es construible del generalmente x - y del y - las hachas coordinadas.
Puede entonces ser demostrado que un número verdadero es construible si y solamente si, dado una línea segmento de la longitud, uno de la unidad puede construir una línea segmento de con el compás y la regla. Puede también ser demostrado que un número complejo es construible si y solamente si su las piezas imaginarias verdaderas de y es construible.
El sistema de números construibles puede ser totalmente caracterizado en la lengua de la teoría de campo . Esto tiene el efecto de transformar preguntas geométricas sobre construcciones del compás y de la regla en la álgebra . Esta transformación lleva a las soluciones de muchos problemas matemáticos famosos, que desafiaron siglos de ataque.
Definiciones geométricas
La definición geométrica de un punto construible está como sigue. Primero, para cualquier distinto P de dos puntos y el Q en el plano, dejar el L ( P, Q ) denotan la línea única a través del P y del Q, y dejan el C ( P, Q ) denotan el círculo único con el de centro P, pasando a través del Q . (Nota que la pedido del P y del Q importa para el círculo.) Por la convención, L ( P, P ) = C ( P, P ) = { P }. Entonces un Z del punto es construible de E, de F, de G y de H si cualquiera está el Z del
en la intersección L ( E, F ) y del L ( G, H ), donde el L L ( G, H ) del ≠ de ( E, F );
Desde la pedido del E, F, G, y el H en la definición antedicha es inaplicable, las cuatro letras pueden ser permutados de cualquier manera. Puesto simplemente, el Z es construible del E, del F, del G y del H si miente en la intersección de cualesquiera dos líneas distintas, o de cualquier dos círculos distintos, o de una línea y de un círculo, donde estas líneas y/o círculos se pueden determinar por el E, el F, el G, y el H, en el sentido antedicho.
Ahora, dejar el A y el A
= A ;
Puesto simplemente, el Z es construible si es el A o el A
El origen O del se define como sigue. El C ( A, A
Transformación en álgebra
Todos los números racionales son construibles, y todos los números construibles son los números algébricos también, si el un y el b son números construibles con el ≠ 0 del b, entonces un &minus de ; b y el un /un b son construibles. Así, el K del sistema de todos los números complejos construibles forma un campo, un subcampo del campo de números algébricos.
Además, el K es cerrado bajo raíces cuadradas y conjugación compleja . Estos hechos se pueden utilizar para caracterizar el campo de números construibles, porque, esencialmente, las ecuaciones que definen líneas y círculos son no peores que la ecuación cuadrática. La caracterización es la siguiente: un número complejo es construible si y solamente si miente en un campo en la tapa de una torre finita de las extensiones cuadráticos que comienzan con el racional Q del campo. Más exacto, el z es construible si y solamente si existe una torre de campos
donde está el z en el n
del del K y para los 0 j del ≤ < el n, la dimensión + el 1: '' j '' de '' K '' = 2.
Construcciones imposibles
La caracterización algebraica de números construibles proporciona una condición necesaria del importante para el constructibility: si z es construible, después él es algebraico, y su mínimo irreducible polinomio tiene grado y energía de 2, o equivalente, campo extensión Q ()/ Q del z tiene la dimensión y energía de 2. Uno debe observar que es verdad, (pero no obvio para demostrar) que el inverso es &mdash falso; esto no es una suficiente condición del para el constructibility. Sin embargo, este defecto puede estar remediado por considerando normal encierro de Q ()/ Q del z .
El non-constructibility de ciertos números prueba la imposibilidad de ciertos problemas frustrados por los filósofos Grecia antigua . En la carta siguiente, cada fila representa un problema antiguo específico de la construcción. La columna izquierda da el nombre del problema. La segunda columna da una formulación algebraica equivalente del problema. Es decir la solución al problema es afirmativo si y solamente si cada número en el sistema de números dado es construible. Finalmente, la columna pasada proporciona el contraejemplo sabido más simple . Es decir el número en la columna pasada es un elemento del sistema en la misma fila, pero no es construible.
Ver también
número computable
Número definible
Construcciones del compás y de la regla
.
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