l \ k^n del ^ del sum_ {k=0} {m-1} = 0^n + 1^n + 2^n + \ cdots + {(m-1)}^n

para los varios valores fijos del n . Las formas cerradas son siempre los polinomios en el m del   del n del grado; +  1. Los coeficientes de estos polinomios son estrechamente vinculados a los números de Bernoulli, como sigue (esto se sabe, no enteramente justo, como fórmula de Faulhaber): $del$

l \ k^n del ^ del sum_ {k=0} {m-1} = {1 \ encima {n+1}} \ m^ de B_k del ^n del sum_ {k=0} {n+1 \ eligen {k}} {n+1-k}.

Por ejemplo, tomando el n para ser 1, tenemos 0 + 1 + 2 +… + (  del m ; −   1) = (el 1/2) ( m del B ₀ ² + 2 m ¹ del B ₁) el = 1/2 (&minus del m ²; m ). Ver la fórmula de Faulhaber para más detalles en esto, incluyendo una forma umbral .

Uno puede también escribir = \ frac {B_ {n+1} (m) - B_ {n+1} (0) del k^n} del ^ del $\backslash \; del\; sum\_\; del$

l {k=0} {m-1}{n+1},

donde   del n del _{del B ; +  1} ( m ) es (  del n ; +  1) polinomio de Bernoulli del th-grado .

Los números de Bernoulli pueden ser calculados usando la fórmula recurrente siguiente : $del$

l \ ^m del sum_ {j=0} {m+1 \ eligen {j}} B_j = 0

para el m > 0, y el B ₀ = 1.

Los números de Bernoulli se pueden también definir usar la técnica de las funciones de generación Su función de generación exponencial es el x /(  del e^x ; −   1), de modo que:

$\backslash \; frac\; \{x\}\; \{e^x-1\}\; =\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \{\backslash \; infin\}\; B\_n\; \backslash \; frac\; \{x^n\}\; \{n!\}$

para todos los valores del x del valor absoluto menos que 2π (el radio de la convergencia de esta serie de energía ).

Estas definiciones se pueden demostrar para ser equivalentes usar la inducción matemática . La condición inicial $B\_0\; =\; 1$ es inmediata de la regla de L'Hôpital. Para obtener la repetición, multiplicar ambos lados de la ecuación por $e^x-1$. Entonces, usar la serie de Taylor para la función exponencial,

$x\; =\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; sum\_\; \{j=1\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{x^j\}\; \{j!\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; sum\_\; \{k=0\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{x^k\}\; de\; B\_k\; \{k!\}\; \backslash \; derecho).$

Ampliando esto como producto de Cauchy y cambiando levemente, uno obtiene

$x\; =\; \backslash \; sum\_\; \{m=0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; ^\; dejado\; (\backslash \; del\; sum\_\; \{j=0\}\; \{m\}\; \{m+1\; \backslash \; eligen\; j\}\; B\_j\; \backslash )derecho\backslash \; frac\; \{x^\; \{m+1\}\}\; \{(m+1)!\}.$

Está claro de esta última igualdad que los coeficientes en esta serie de energía satisfacen la misma repetición que los números de Bernoulli.

El minúsculo b_n se utiliza a veces para distinguir éstos de los números de Bell .

Valores de los números de Bernoulli

Los primeros números de Bernoulli diferentes a cero (secuencias A027641 y A027642 en el OEIS ) son mencionados abajo.

Aproximación asintótica

El Leonhard Euler expresó los números de Bernoulli en términos de función de zeta de Riemann como

$B\_\; \{2n\}\; =\; (-\; ^\; de\; 1)\; \{n+1\}\; \backslash \; frac\; \{2\; (2n)!\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2n\}\}\; \backslash \; se\; fueron.$

Los primeros números de Bernoulli pudieron llevar uno a asumir que son todos pequeños. Valores posteriores desmienten esta asunción, sin embargo. De hecho, puesto que el factor en los corchetes es mayor de 1 de esta representación sigue

$|B\_\; \{2n\}|\; >\; \backslash \; frac\; \{2\; (2n)!\}\{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2\; n\}\}$

de modo que la secuencia de números de Bernoulli diverja absolutamente rápido para los índices grandes. Substituir una aproximación asintótica para la función factorial en esta fórmula da una aproximación asintótica para los números de Bernoulli. Por ejemplo

$|B\_\; \{2\; n\}|\; \backslash \; sim\; 4\; \backslash raíz\; cuadrada\{\backslash \; pi\; n\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{n\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{480\; n^2\; +\; 9\}\; \{480\; n^2\; -1\}\; \backslash \; derecho)\; \{\backslash \; pi\; e\; ^\; dejado\; \{2n\}.$

Esta fórmula (Peter Luschny, 2007) se basa en la conexión de los números de Bernoulli con la función de zeta de Riemann y en una aproximación de la función factorial dada por Gergő Nemes en 2007. Por ejemplo esta aproximación da

$|B\; (1000)|\; \backslash \; aproximadamente\; 5.318704469415522033\; \backslash \; ldots\; \backslash \; época\; 10^\; \{1769\}\; \backslash ,$

cuál está apagado solamente al lado de tres unidades en el menos dígito significativo exhibido.

Identidades clasificadas

El cumulante del th del n de la distribución de probabilidad del uniforme en el intervalo es el n del n /del _{del B .}

Las relaciones siguientes, debido al Ramanujan, proporcionan un método más eficiente para calcular los números de Bernoulli: $m\; del$

l \ 0 equivalente \, \ bmod \, 6 \ qquad B_m=- \ ^ del sum_ {j=1} {m/6} {m+3 \ eligen {m-6j}} B_ {m-6j} $m\; del$

l \ 2 equivalentes \, \ bmod \, 6 \ qquad B_m=- \ ^ del sum_ {j=1} {(m-2) /6} {m+3 \ eligen {m-6j}} B_ {m-6j} $m\; del$

l \ 4 equivalentes \, \ bmod \, 6 \ qquadB_m=--\ ^ del sum_ {j=1} {(m-4) /6} {m+3 \ eligen {m-6j}} B_ {m-6j}.

Una identidad Carlitz : ^m del $del$

l (- 1) \ ^m del sum_ {r=0} {m \ elige r} B_ {n+r}

(- ^n de 1) \ ^n del sum_ {s0} {n \ elige s} B_ {m+s}.

Características aritméticas de los números de Bernoulli

Los números de Bernoulli se pueden expresar en términos de función de zeta de Riemann como n del _{del B} = − ζ del n (1 − n ) para el n de los números enteros > 1 (la fórmula está apagada al lado de una muestra en el n = 1, mientras que el ζ (0) = -1/2) que se relaciona íntimo los con los valores de la función de zeta en los números enteros negativos. Como tal, podían ser esperados para tener y tienen características aritméticas profundas, un hecho descubierto por el Kummer en su trabajo sobre el teorema pasado de Fermat.

Las características de la divisibilidad de los números de Bernoulli son relacionadas con los grupos ideales de la clase de los campos ciclotómicos por un teorema de Kummer y de su consolidación en el teorema de Herbrand-Ribet, y con los números de clase de campos cuadráticos verdaderos por el Ankeny-Artin-Chowla . También tenemos una relación a la K-teoría algebraica ; si el n del _{del c es el numerador del n del n} /2 del _{del B, después la pedido del $K\_\; \{4n-2\}\; (\backslash \; Bbb\; \{Z\})$ es − n} del n del c _{2 si el n es uniforme, y 2 del c 2 si el n es impar.}

También se relaciona con la divisibilidad el teorema de Von Staudt-Clausen que nos dice si agregamos 1 n del _{del p a del B para cada primero p tales que &minus del p ; 1 divide el n, nosotros obtiene un número entero. Este hecho permite inmediatamente que caractericemos los denominadores del diferente a cero n} del _{del B de los números de Bernoulli mientras que el producto de todo prepara el p tales que &minus del p ; 1 n de las divisorias; por lo tanto los denominadores son cuadrado-libres y divisibles por 6.}

La conjetura de Agoh-Giuga postula que el p es un número primero si y solamente si &minus del p del _{del Pb del ; 1} es congruente al − 1 p de la MOD.

p - continuidad adic

Una característica especialmente importante de la congruencia de los números de Bernoulli se puede caracterizar como característica p-adic de la continuidad. Si el b, el m y el n son números enteros positivos tales que el m y el n no son divisibles por el   del p ; −   1 y $m\; \backslash \; n\; equivalente\; \backslash ,\; \backslash \; bmod\; \backslash ,\; p^\; \{b-1\}\; (p-1)$, entonces

$(1-p^\; \{m-1\})\; \{B\_m\; \backslash \; sobre\; m\}\; \backslash \; equivalente\; (1-p^\; \{n-1\})\; \{B\_n\; \backslash \; sobre\}\; \backslash ,\; \backslash \; bmod\; de\; n\; \backslash ,\; p^b.$

Desde $B\_n\; =\; -\; n\; \backslash \; la\; zeta\; (1-n)$, éste pueden también ser escritas

$(1-p^\; \{-\; u\})\; \backslash \; zeta\; (u)\; \backslash \; equivalente\; (\{-\; v\})\; 1-p^\; \backslash \; zeta\; (v)\; \backslash ,\; \backslash \; bmod\; \backslash ,\; p^b\; \backslash ,$

donde u = 1 − m y v = 1 − n, de modo que el u y el v sean no positivos y no congruentes a 1   del p de la MOD; −   1. Esto nos dice que la función de zeta de Riemann, con 1  −   ^{&minus del p ; el s} sacado de la fórmula de producto de Euler, es continuo en los números de P-adic en   congruente del p de la MOD de los números enteros negativos impares; −   1 a un $a\; particular\; \backslash \; no\; \backslash \; 1\; equivalente\; \backslash ,\; \backslash \; bmod\; \backslash ,\; p-1$, y se puede ampliar tan a un $\backslash \; zeta\_p$ de la función continua para todo el p -, \, $de\; los\; números\; enteros\; \backslash \; del\; \_p\; adic\; de\; Bbb\; \{Z\}$ el p del - la función de zeta adic .

Características geométricas de los números de Bernoulli

La fórmula de Kervaire-Milnor para la orden del grupo cíclico de clases del diffeomorphism de exóticas   (de 4 '' n ''; −   1) - las esferas que limitan los múltiples paralelizables para el $n\; \backslash \; GE\; 2$ implican los números de Bernoulli; si el _{del B ( n )} es el numerador del n del n /del B _{4, entonces}

$2^\; \{2n-2\}\; (1-2^\; \{2n-1\})\; B\_\; \{(n)\}$ del

es el número de tales esferas exóticas. (La fórmula en la literatura topológica diferencia porque los topologists utilizan a diversa convención para nombrar los números de Bernoulli; este artículo utiliza a convención de los teóricos de número.)

Cómputo eficiente del p de la MOD de los números de Bernoulli

En algunos usos es útil poder computar el   del p del _{del B 0 a del B de los números de Bernoulli; −   p del modulo 3}, donde está una prima el p ; por ejemplo para probar si la conjetura de Vandiver se sostiene para el p, o aún apenas determinar si el p es una prima irregular . No es factible realizar tal cómputo usar las fórmulas recurrentes antedichas, puesto que por lo menos (un múltiplo constante de) las operaciones aritméticas del p ² serían requeridas. Afortunadamente, se han desarrollado métodos más rápidos (véase a Buhler y otros) que requieren solamente operaciones de O ( p ( p ) ² del registro) (véase la notación Grande-o ).

Ver también

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