En las matemáticas, los números de Fibonacci del son una secuencia de números nombrados después de Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, cuyos ábacos de Liber que publicó en 1202 introdujo la secuencia a las matemáticas de Europa occidental.

La secuencia es definida por la relación de repetición siguiente :

$F\; (n):\; =\; \backslash \; comenzar\; \{los\; casos\}\; 0\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; n\; =\; 0;\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; n\; =\; 1;\; \backslash \; \backslash \; Y\; \backslash \; mbox\; de\; F\; (n-1)\; +F\; (n-2)\; \{si\}\; n\; >\; 1.\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{casos\}$ Es decir, después de dos valores iniciales, cada número es la suma de los dos números precedentes. Los primeros números de Fibonacci, también denotados como F_n, para el   del n ; =  0,   1,…, es:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393 del
,…

La secuencia nombrada después de que Fibonacci primero fuera descrito en las matemáticas indias .

La secuencia ampliada al negativo n del índice satisface el F_n = el n del _{del F −1} + el n −2 del _{del F para el todo el n de los números enteros de, y el F-n = (el n} del _{del F de −1)ⁿ⁺¹:}

., -8, 5, -3, 2, -1, 1, seguido por la secuencia arriba.

Orígenes

Los números de Fibonacci primero aparecieron, bajo el nombre el mātrāmeru (montaña del de la cadencia ), en el trabajo sánscrito Pingala ( Chandah-shāstra, el arte de la prosodia, 450 o 200 A. La prosodia era importante en ritual indio antiguo debido a un énfasis en la pureza de la elocución. El indio Virahanka (ANUNCIO del matemático del siglo VI) demostró cómo la secuencia de Fibonacci se presentó en el análisis de los metros con sílabas largas y cortas. Posteriormente, el Jain Hemachandra ( 1150 del filósofo de la C.) compuso un texto bien conocido en éstos. Un comentario en el trabajo de Virahanka por el Gopāla en el siglo XII también revisita el problema en un cierto detalle.

Los sonidos de vocal sánscritos pueden ser (l) largo o (s) corto, y el análisis de Virahanka, que vino ser conocido como mātrā-vṛtta, desea computar cuántos metros (mātrā s del ) de una largura total dada puede ser compuesto de estas sílabas. Si la sílaba larga está dos veces mientras sea el cortocircuito, las soluciones: mora del
1 del
: Morae del
2 de S (1 patrón): SS; L morae del
3 de (2): SSS, SL; Morae del
4 del LS (3): SSSS, SSL, SLS; LSS, morae del
5 de LL (5): SSSSS, SSSL, SSLS, SLSS, SLL; LSSS, LSL, morae del
6 de LLS (8): SSSSSS, SSSSL, SSSLS, SSLSS, SLSSS, LSSSS, SSLL, SLSL, SLLS, LSSL, LSLS, LLSS, 13) morae del
7 de LLL (: SSSSSSS, SSSSSL, SSSSLS, SSSLSS, SSLSSS, SLSSSS, LSSSSS, SSSLL, SSLSL, SLSSL, LSSSL, SSLLS, SLSLS, LSSLS, SLLSS, LSLSS, LLSSS, SLLL, LSLL, LLSL, LLLS (21)

Un patrón del n de la longitud se puede formar agregando S a un patrón del n −1 de la longitud, o L a un patrón del n −2 de la longitud; y los prosodicists demostraron que el número de patrones de la longitud n es la suma de los dos números anteriores en la serie. ¡El Donald Knuth repasa este trabajo en el arte de la programación de computadora como formulaciones equivalentes del problema del embalaje del compartimiento para los artículos de las longitudes 1 y 2.

En el oeste, la secuencia primero fue estudiada por el Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, en sus ábacos ( 1202 ) de Liber. Él considera el crecimiento de una población idealizada del conejo (biológico poco realista), si se asume eso:
en el primer mes hay apenas un pares nuevo-natos,
los pares recién nacidos llegan a ser fértiles a partir de su segundo mes encendido
cada mes cada par fértil engendra un nuevo par, y
los conejos nunca mueren

Dejar a población en el n del mes ser el F ( n ). En este tiempo, solamente los conejos que eran vivos en el n −2 del mes son fértiles y producen el descendiente, así que el F (pares del n −2) se agrega a la población actual del F ( n −1). Así el total es   del F ( n ); =  F ( n −1)  +  F ( n −2).

Relación al cociente de oro

Expresión de la forma cerrada

Como cada secuencia definida por la repetición linear, los números de Fibonacci tienen una solución de la forma cerrada. Se ha conocido como fórmula de s de Binet ', aunque era sabido ya por el Abraham de Moivre : el $F\; del\; \backslash \; se\; fue\; (n\; \backslash \; derecho)\; =\; =\; \backslash ,$ donde está el cociente el $\backslash \; varphi$ de oro (nota, ese $1-\; \backslash \; varphi=-1/\backslash \; varphi$ de la ecuación de definición arriba). La repetición de Fibonacci $F\; del$

l (n+2) - F (n+1) - F (n)=0 \,

es similar a la ecuación la definición del cociente de oro en la forma, \, del

$x^2-x-1=0\; del$

cuál también se conoce como el polinomio de generación de la repetición.

Prueba por la inducción

Cualquie raíz de ecuación antedicho satisface $\backslash \; comienzan\; \{matriz\}\; x^2=x+1,\; \backslash \; fin\; \{matriz\}\; \backslash ,$ y multiplicándose por $x^\; \{n-1\}\; \backslash ,\; demostraciones\; de$:

$x^\; \{n+1\}\; =\; x^n\; +\; x^\; \{n-1\}\; \backslash ,$

Por definición el $\backslash \; varphi$ es una raíz de la ecuación, y la otra raíz es $1-\; \backslash \; varphi=-1/\backslash \; varphi\; \backslash .\; Por\; lo\; tanto:$

$\backslash \; varphi^\; \{n+1\}\; =\; \backslash \; varphi^n\; +\; \backslash \; varphi^\; \{n-1\}\; \backslash ,$

y

$(1\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{n+1\}\; =\; (1\; \backslash \; varphi)\; ^n\; +\; (1\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{n-1\}\; \backslash .$

$\backslash \; varphi^\; \{n\}$ y ^ del $(1\; \backslash \; varphi)\; \{n\}\; =\; (-\; 1\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{n\}$ son las series geométricas (para el n = 1, 2, 3,…) eso satisface la repetición de Fibonacci. La primera serie crece exponencial; el segundo exponencial tiende a cero, con las muestras de alternancia. Porque la repetición de Fibonacci es linear, cualquier combinación linear de estas dos series también satisfará la repetición. Estas combinaciones lineares forman un espacio de vector linear de dos dimensiones ; la secuencia original de Fibonacci se puede encontrar en este espacio.

Las combinaciones lineares del $\backslash \; del\; varphi^\; \{n\}$ de la serie y el ^ del $(1\; \backslash \; varphi)\; \{n\}$, con el de los coeficientes un y el b, se pueden definir por el $F\_\; del\; \{a,\; b\}\; (n)\; =\; a\; \backslash \; varphi^n+b\; (1\; \backslash \; varphi)\; ^n$ para cualquier $a\; verdadero,\; b\; \backslash .$

Todas las series así-definidas satisfacen el Requiriendo que el $F\_\; \{a,\; b\}\; (0)\; =0$ y las producciones $a=1/\backslash raíz\; cuadrada5$ y $b=-1/\backslash \; raíz\; cuadrada\; 5$ del $F\_\; \{a,\; b\}\; (1)=1$, dando por resultado la fórmula de Binet nosotros comenzaran con. Se ha demostrado que esta fórmula satisface la repetición de Fibonacci. Además, un cheque explícito puede ser hecho: ¡$F\_\; del\; \{a,\; b\}\; (0)\; =\; \backslash \; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\}\; =0\; del\; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\}\; \backslash ,\; \backslash !$

y $F\_\; del\; \{a,\; b\}\; (1)=\; \backslash \; -\; \backslash \; frac\; del\; frac\; \{\backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\}\; \{(1\; \backslash \; varphi)\}\{\backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\}\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; del\; frac\; \{-\; 1+2\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\}\; \{-\; 1+\; (1+\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; 5)\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\}\; =1,$

estableciendo los casos bajos de la inducción, probando ese $F\; del\; (n)=$ para todo el $n\; \backslash .$

Por lo tanto, para cualquier dos valores iniciales, un $a\; de\; la\; combinación,\; b$ puede ser encontrado tales que el $F\_\; de\; la\; función\; \{a,\; b\}\; (n)\; \backslash ,$ es la fórmula cerrada exacta para la serie.

Cómputo redondeando

Puesto que el para todo el $n\; \backslash \; geq\; 0$, el $F\; del\; número\; (n)$ es el número entero más cercano al $\backslash \; varphi^n/\backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\; \backslash .$ por lo tanto puede ser encontrado por el que redondea, o en términos de función del piso:

$F\; (n)=\; \backslash cebadabigg\; \backslash \; lfloor\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi^n\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; cebada\; bigg\; \backslash \; rfloor.$

Límite de cocientes consecutivos

El Johannes Kepler observó que converge el cociente de los números de Fibonacci consecutivos. Él escribió ese " pues 5 es a 8 así que es 8 a 13, prácticamente, y pues 8 está a 13, casi está tan 13 a 21”, y concluido que el límite se acerca al $de\; oro\; \backslash \; varphi$ del cociente.

$\backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{F\; (n+1)\}\; \{=\; \backslash \; varphi\; de\; F\; (n)\},$ Esta convergencia no depende de los valores iniciales elegidos, excepto 0, 0.

Prueba :

Sigue de la fórmula explícita que para cualquier, verdadero \, del porque y así $\backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; \backslash \; (\backslash \; tfrac\; \{1\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; varphi\}\; \backslash \; derecho)\; ^n=0\; dejado.$

Descomposición de energías del cociente de oro

Puesto que el cociente de oro satisface, varphi^2= \ varphi+1 \, de la ecuación del
del $del$
\ esta expresión se puede utilizar para descomponer el $\backslash \; varphi^n$ de energías más altas como función linear de energías más bajas, que alternadamente se pueden descomponer hasta el final abajo a una combinación linear del $\backslash \; varphi$ y 1. Los números de Fibonacci resultantes de la producción de las relaciones de la repetición como los coeficientes lineares, así cerrando el lazo: $del\; \backslash \; varphi^n=F\; (n)\; \backslash \; varphi+F\; (n-1).$ Esta expresión es también verdad para el si el $F\; de\; la\; secuencia\; de\; Fibonacci\; (n)\; \backslash ,$ es extendido a los números enteros negativos usar el $F\; dela\; reglade\; Fibonacci\; (n)\; =\; F\; (n-1)\; +\; F\; (n-2).\; \backslash ,$

Forma de la matriz

Un sistema de 2 dimensiones de ecuaciones de diferencia lineares que que describe la secuencia de Fibonacci es $del\; \{F\_\; \{k+2\}\; \backslash \; elige\; F\_\; \{k+1\}\}\; =\; \backslash \; que\; comienza\; \{pmatrix\}\; 1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; 0\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; \{F\_\; \{k+1\}\; \backslash \; elige\; F\_\; \{k\}\}$

o $del\; \backslash \; vec\; F\_\; \{k+1\}\; =\; A\; \backslash \; vec\; F\_\; \{k\}.\; \backslash ,$

¡Los valores propios de la matriz A son $\backslash \; varphi\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$ y $()\; \backslash ,\; \backslash !\; de\; 1\; \backslash \; varphi¡$, y los elementos de los vectores propios de A, del $\{\backslash \; varphi\; \backslash \; elige\; 1\}$ y del $\{1\; \backslash \; elige\; -\; \backslash \; varphi\}$, están en el $\backslash \; varphi\; de\; los\; cocientes\; \backslash ,\; \backslash !$ y $(1\; \backslash \; varphi\; \backslash ,\; \backslash !)$.

Esta matriz tiene un determinante del − 1, y es así un 2× matriz unimodular de 2 . Esta característica se puede entender en términos de representación de la fracción continua para el cociente de oro: $del\; \backslash \; varphi$

1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {\; \; \ ddots \,}}} \;.

¡Los números de Fibonacci ocurren como el cociente de convergentes sucesivas de la fracción continua para el $\backslash \; el\; varphi\; \backslash ,\; \backslash !$, y la matriz formada de convergentes sucesivas de cualquier fracción continua tiene un determinante de +1 o − 1.

La representación de matriz da la expresión cerrada siguiente para los números de Fibonacci: el $del\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; 1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; ^n\; de\; 1\; y\; de\; 0\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; =\; \backslash \; comenzar\; \{pmatrix\}\; de\; F\_\; \{n+1\}\; y\; de\; F\_n\; \backslash \; \backslash \; F\_n\; y\; F\_\; \{n-1\}\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}.$

Tomar el determinante de ambos lados de esta ecuación rinde el $F\_\; \{n+1\}\; F\_\; \{n-1\}\; del\; de\; la\; identidad\; de\; Cassini\; -\; F\_n^2\; =\; (-\; 1)\; ^n.\; \backslash ,$

Además, desde el $A^n\; A^m=A^\; \{m+n\}$ para cualquier matriz cuadrada $A$, las identidades siguientes pueden ser derivadas: $del\; \{F\_n\}\; ^2\; +\; \{F\_\; \{n-1\}\}\; ^2\; =,\; \backslash ,\; de\; F\_\; \{2n-1\}$ F\_\; del$$
de {n+1} F_ {m} + F_n F_ {m-1} = F_ {m+n}. \,

Reconocimiento de los números de Fibonacci

De vez en cuando, la pregunta puede presentarse si un número entero positivo $z$ es un número de Fibonacci. Desde $F\; (n)$ es cercano número entero a $\backslash \; varphi^n/\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{5\}$, más directo, fuerza bruto prueba es identidad

$F\; \backslash \; cebada\; bigg\; (\backslash \; cebada\; bigg\; \backslash \; lfloor\; \backslash \; log\_\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{5\}\; z)+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; cebada\; bigg\; \backslash \; rfloor\; \backslash \; cebada\; bigg)\; =z,$ cuál es verdadero si y solamente si $z$ es un número de Fibonacci.

Alternativo, estados algebraicos elegantes de una prueba, que un número entero positivo $z$ es un número de Fibonacci si (y solamente si) el $\backslash \; la\; cebada\; bigg\; (5z^2+4\; \backslash \; cebada\; bigg)$ o $\backslash \; cebada\; bigg\; (5z^2-4\; \backslash \; cebada\; bigg)$ es un cuadrado perfecto .

Una prueba levemente más sofisticada utiliza el hecho de que las convergentes de la representación de la fracción continua del $\backslash \; varphi$ son cocientes de los números de Fibonacci sucesivos, de que es el (con los números enteros positivos coprimeros $p$, $q$ ) es verdad si y solamente si $p$ y $q$ son números de Fibonacci sucesivos. De este uno deriva criterio que $z$ es Fibonacci número si y solamente si cerrado intervalo

$\backslash \; cebada\; bigg\; z\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\},\; \backslash \; varphi\; z+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; bigg$ de z contiene un número entero positivo.

Identidades de

F ( n + 1) = F ( n ) + F (&minus del n ; 1)

F (0) + F (1) + F (2) +… + F ( n ) = F ( n + 2) − 1

F (1) + 2 F (2) + 3 F del (3) +… + N-F ( n ) = N-F ( n + 2) − F ( n +

3) + 2 F (0) ² + F (1) ² + F (2) ² +… + F ( n ) ² = F ( n del F ( n ) + 1)

Estas identidades se pueden probar usar muchos diversos métodos. Pero, entre todos, deseamos presentar una prueba elegante para cada uno de ellos usar las discusiones combinatorias aquí. Particularmente, el F ( n ) se puede interpretar como el número de maneras que suman 1 y 2 al &minus del n ; 1, con la convención a que el F (0) = 0, no significando ninguna suma agregará para arriba al − 1, y ese F (1) = 1, significando la suma vacía " agregar el up" a 0. Aquí la pedido de las materias de los summands. Por ejemplo, 1 + 2 y 2 + 1 se considera dos diversas sumas y se cuenta dos veces.

Prueba de la primera identidad

sin la pérdida de la generalidad, podemos asumir el ≥ 1. Entonces F (el n + 1) cuenta el número de maneras que suman 1 y 2 al n .

Cuando el primer summand es 1, hay maneras del F ( n ) de terminar la cuenta para el &minus del n ; 1; y cuando el primer summand es 2, hay el F (&minus del n ; 1) maneras de terminar la cuenta para el &minus del n ; 2. Así, en total, hay el F ( n ) + el F (&minus del n ; 1) maneras de terminar la cuenta para el n .

Prueba de la segunda identidad

Contamos el número de maneras que suman 1 y 2 al n + 1 tales que por lo menos uno de los summands es 2.

Como antes, hay el F ( n + 2) las maneras que suman 1 y 2 al n + 1 cuando el ≥ 0 del n . Puesto que hay solamente una suma del n + 1 que no utilice ninguna 2, a saber 1 +… + 1 (el n + los términos 1), restamos 1 del F ( n + 2).

Equivalente, podemos considerar la primera ocurrencia de 2 como summand. Si, en una suma, el primer summand es 2, después hay maneras del F ( n ) al completo la cuenta para el &minus del n ; 1. Si el segundo summand es 2 pero el primer es 1, después hay el F (&minus del n ; 1) maneras de terminar la cuenta para el &minus del n ; 2. Proceder de este modo. Consideramos eventual (el n + 1) el summand del th. Si es 2 pero todos los summands anteriores del n son 1, después hay maneras del F (0) de terminar la cuenta para 0. Si una suma contiene 2 como summand, la primera ocurrencia de tal summand debe ocurrir entre la posición la primera y (el n + 1) del th. Así F ( n ) + F (&minus del n ; 1) +… + el F (0) da la cuenta deseada.

Prueba de la tercera identidad

Esta identidad se puede establecer en dos etapas. Primero, contamos el número de maneras que suman 1s y 2s al − 1, 0,…, o n + 1 tales que por lo menos uno de los summands es 2.

Por nuestra segunda identidad, hay el F ( n + 2) − maneras 1 que suman al n + 1; F ( n + 1) − maneras 1 que suman al n ; …; y, eventual, &minus del F (2); 1 manera que suma a 1. Como &minus del F (1); 1 = el F (0) = 0, podemos agregar para arriba todo el n + 1 suma y aplicar la segunda identidad otra vez para obtener el   del ;     + 2) − 1 + + 1) − 1 +… + − 1
= + 2) − 1 + + 1) − 1 +… + − 1 + − 1 + 0)
del F (= F ( n + 2) + + 1) +… + '' F '' (1) + 0) &minus de '' F '' (; ( n + 2)
= F ( n + 2) + F ( n + 3) − ( n + 2).

Por una parte, observamos de la segunda identidad que hay
F (0) + F (1) +… + F (&minus del n ; 1) + maneras del F ( n ) que suman al n + 1;
F (0) + F (1) +… + F (&minus del n ; 1) maneras que suman al n ;

.
0) maneras del F (que suman al − 1. Agregando encima de todo el n + 1 suma, vemos que hay
( n + 1) F (0) + del n F (1) +… + maneras del F ( n ) que suman al − 1, 0,…, o n + 1.

Puesto que los dos métodos de cuenta refieren al mismo número, tenemos ( n + 1) el F (0) + el del n F (1) +… + el F ( n ) = el F ( n + 2) + el F ( n + 3) − ( n + 2)

Finalmente, terminamos la prueba restando la identidad antedicha del n + las épocas 1 la segunda identidad.

Identidad para el de duplicación n

Hay una fórmula muy simple para el de duplicación n : $F\_\; \{2n\}\; =\; F\_\; \{n+1\}\; ^2\; -\; F\_\; \{n-1\}\; ^2\; =\; F\_n\; (F\_\; \{n+1\}\; +F\_\; \{n-1\})$.

Otra identidad útil para calcular el F_n para los valores grandes del n es el $F\_\; del\; \{2n+k\}\; =\; F\_k\; F\_\; \{n+1\}\; ^2\; +\; 2\; F\_\; \{k-1\}\; F\_\; \{n+1\}\; F\_n\; +\; F\_\; \{k-2\}\; F\_n^2$

para todo el n de los números enteros y el k . El Dijkstra precisa eso las identidades de duplicación de este tipo se puede utilizar para calcular el F_n usar operaciones aritméticas de O ( n del registro). Notar que, con la definición de los números de Fibonacci con n negativa dada en la introducción, esta fórmula reduce a la fórmula doble de n cuando k = 0.

(De punto de vista práctico debe ser notado que el cálculo implica la manipulación de los números que la longitud (número de dígitos) es el $\{\backslash \; rm\; \backslash \; theta\}\; (n)\; \backslash ,$. Así el funcionamiento real depende principalmente de la eficacia de la multiplicación larga ejecutada, y es generalmente $\{\backslash \; rm\; \backslash \; theta\}\; (n\; \backslash ,\; \backslash \; registro\; n)$ o $\{\backslash \; rm\; \backslash \; theta\}\; (^\; de\; n\; \{\backslash \; log\_2\; 3\})$.)

Otras identidades

Otras identidades incluyen relaciones a los números de Lucas que tienen las mismas características recurrentes pero comienzan con el L 0 =2 del _{de y L 1} =1. Estas características incluyen L n del n del _{del F del 2n} = del _{del F del de .}

También está escalando el identidad, que le llevan del F _n y del F _n+1 a una variedad de cosas del F _an+b de la forma; por ejemplo

$F\_\; \{3n\}\; =\; 2F\_n^3\; +\; 3F\_n\; F\_\; \{n+1\}\; F\_\; \{n-1\}\; =\; 5F\_\; \{n\}\; ^3\; +\; (-\; ^n\; 3\; de\; 1)\; F\_\; \{n\}$ por la identidad de Cassini.

$F\_\; \{3n+1\}\; =\; F\_\; \{n+1\}\; ^3\; +\; 3\; F\_\; \{n+1\}\; F\_n^2\; -\; F\_n^3$

$F\_\; \{3n+2\}\; =\; F\_\; \{n+1\}\; ^3\; +\; 3\; F\_\; \{n+1\}\; ^2F\_n\; +\; F\_n^3$

$F\_\; \{4n\}\; =\; 4F\_nF\_\; \{n+1\}\; (F\_\; \{n+1\}\; ^2\; +\; 2F\_n^2)\; -\; 3F\_n^2\; (F\_n^2\; +\; 2F\_\; \{n+1\}\; ^2)$

Éstos se pueden encontrar experimental usar la reducción del enrejado, y son útiles en la determinación que el tamiz del campo de número especial al descompone en factores un número de Fibonacci. Tales relaciones existen en un sentido muy general para los números definidos por relaciones de repetición, consideran la sección en fórmulas de la multiplicación bajo números de Perrin para los detalles.

Serie de energía

La función de generación de la secuencia de Fibonacci es los $s\; del\; de\; la\; serie\; de\; energía\; (^\; del\; x)=\; \backslash \; del\; sum\_\; \{k=0\}\; \{\backslash \; infty\}\; F\_k\; x^k.$

Esta serie tiene una solución simple e interesante de la forma cerrada para el x los

Esta solución puede ser probada usando la repetición de Fibonacci para ampliar cada coeficiente en la suma infinita que define los $s\; (x)$: el

Solucionar los $s\; de\; la\; ecuación\; (x)=x+xs\; (x)+x^2s\; (x)$ para los $s\; (resultados\; de\; x)$ en la solución de la forma cerrada.

Particularmente, los rompecabezas-libros de la matemáticas observan el $\backslash \; el\; frac\; curiosos\; \{s\; del\; valor\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{10\})\}\{10\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{89\}$, o más generalmente = \ frac {1} {10^ {2k + 2} - 10^ {k + 1} - 1} del ^ del $\backslash \; del\; sum\_\; del$

l {n = 1} {\ infty} {\ frac {F (n)} {10^ {(k + 1) (n + 1)}}}

para todo el >= 0 del $k\; de\; los\; números\; enteros.$

Inversamente,

$\backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^\; \backslash \; infty\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{\}\; \backslash ,\; de\; F\_n\}\; \{k^\; \{n\}\; =\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{k\}\; \{k^\; \{2\}\; -\; k-1\}.$

Sumas recíprocas

¡ Infinito suma sobre recíproco Fibonacci número podemos a veces estar evaluado en términos de theta función por ejemplo, podemos escribir suma de cada impar-puesto en un índice recíproco Fibonacci número como

$\backslash \; el\; sum\_\; \{k=0\}\; ^\; \backslash \; infty\; \backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{F\_\; \{2k+1\}\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{5\}\}\; \{4\}\; \backslash \; vartheta\_2^2\; \backslash \; nos\; fuimos\; (0,\; \backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho),$

y la suma de números de Fibonacci recíprocos ajustados como $del\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{k=1\}\; \backslash \; =\; infty\; \backslash \; del\; frac\; \backslash \; frac\; \{5\}\; \{24\}\; \backslash \; (\backslash \; vartheta\_2^4\; \backslash \; ido\; (0,\; \backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; -\; dejado\; \backslash \; vartheta\_4^4\; \backslash \; (0,\; \backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; 5\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; +\; 1\; dejado\; \backslash \; derecho)\; \{1\}\; \{F\_k^2\}.$

Si agregamos 1 a cada número de Fibonacci en la primera suma, hay también el ^ del $\backslash \; del\; sum\_\; del\; de\; la\; forma\; cerrada\; \{k=0\}\; \backslash \; =\; infty\; \backslash \; del\; frac\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{5\}\}\; \{2\},$ {1} {1+F_ {2k+1}}

y hay una suma jerarquizada agradable de de números de Fibonacci ajustados que dan el recíproco del cociente de oro, del $del\; \backslash \; del\; ^\; del\; sum\_\; \{k=1\}\; \backslash \; de\; infty\; \backslash \; del\; frac\; \{(-\; el\; ^\; de\; 1)\; \{k+1\}\}\; \{\backslash \; ^k\; del\; sum\_\; \{j=1\}\; \{F\_\; \{j\}\}\; ^2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{5\}\; -\; 1\}\; \{2\}.$

Los resultados tales como éstos hacen plausible que una fórmula cerrada para la suma llana de números de Fibonacci recíprocos podría ser encontrada, pero no se sabe ninguno todavía. A pesar de ese, recíproco Fibonacci constante

$\backslash \; PSI\; =\; \backslash \; sum\_\; \{k=1\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{F\_k\}\; =\; 3.359885666243\; \backslash \; dots$

ha estado el probado irracional por el Richard André-Jeannin .

Prepara y divisibilidad

considera también:

primero de Fibonacci Un Fibonacci primero es un número de Fibonacci que es el primero. Los primeros son:
2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229 del
,… Se ha encontrado Fibonacci prepara con millares de dígitos, pero no se sabe si hay infinitamente muchos. Deben todos tener un índice primero, excepto el F ₄ = 3.

Cualquier tres números de Fibonacci consecutivos, tomados dos a la vez, son el relativamente primero: es decir, gcd ( n +1 del _{del n} del, del F del _{del F ) = gcd ( n +2} del _{del n} , del F del _{del F ) = 1. Más generalmente, gcd del ( m} del _{del n} , del F del _{del F ) = gcd del F ( n, m ).}

Una prueba de este hecho llamativo está en línea en el sitio de la matemáticas de la diversión de la universidad de Harvey Mudd

Triángulos correctos

Comenzando con 5, cada segundo número de Fibonacci es la longitud de la hipotenusa de un triángulo correcto con los lados del número entero, o es decir del número más grande de un triple pitagórico . La longitud de la pierna más larga de este triángulo es igual a la suma de los tres lados del triángulo precedente en esta serie de triángulos, y la pierna más corta es igual a la diferencia entre el número de Fibonacci puenteado anterior y la pierna más corta del triángulo precedente.

El primer triángulo en esta serie tiene lados de la longitud 5, 4, y 3. 8 que saltan, el triángulo siguiente tiene lados de la longitud 13, 12 (5  +  4  +  3), y 5 (8  −   3). Saltando 21, el triángulo siguiente tiene lados de la longitud 34, 30 (13  +  12  +  5), y 16 (21  −   5). Esta serie continúa indefinidamente.

Magnitud de los números de Fibonacci

Puesto que $F\_n$ es el asintótico al $\backslash \; varphi^n/\backslash \; sqrt5$, el número de dígitos en la representación baja del b del $F\_n\; \backslash ,$ es asintótico al $n\; \backslash ,\; \backslash \; log\_b\; \backslash \; varphi$.

En la base 10, porque cada número entero mayor de 1 hay 4 o 5 números de Fibonacci con ese número de los dígitos, en la mayoría de los casos 5.

Usos

Los números de Fibonacci son importantes en el análisis run-time del algoritmo de Euclid determinar el divisor común más grande de dos números enteros: el peor caso entrado para este algoritmo es un par de números de Fibonacci consecutivos.

El Yuri Matiyasevich podía demostrar que los números de Fibonacci se pueden definir por una ecuación Diophantine, que llevó al su solución original problema de Hilbert del décimo.

Los números de Fibonacci ocurren en las sumas de " shallow" diagonales en el triángulo de Pascal y el triángulo de Lozanić (el considera el " " del coeficiente binomial ; ).

Cada número entero positivo se puede escribir en una manera única como la suma de uno o más números distintos de Fibonacci de una manera tal que la suma no incluya ninguna dos números de Fibonacci consecutivos. Esto se conoce como teorema de Zeckendorf, y una suma de números de Fibonacci que satisface estas condiciones se llama una representación de Zeckendorf.

Los números de Fibonacci son utilizados por algunos generadores del número pseudaleatorio. 2 -->

Los números de Fibonacci se presentan en el análisis de la estructura de datos del montón de Fibonacci.

Un método unidimensional de la optimización, llamado la técnica de la búsqueda de Fibonacci, utiliza los números de Fibonacci.

En la música, los números de Fibonacci se utilizan a veces para determinar tunings, y, como en arte visual, para determinar la longitud o el tamaño del contenido o de los elementos formales . Se piensa comúnmente que el primer movimiento música de s de Bartók Béla de 'para las secuencias, la percusión, y Celesta fue estructurado usar los números de Fibonacci.

Puesto que el factor 1.609344 de la conversión para las millas a los kilómetros está cercano al cociente de oro (φ denotado), la descomposición de la distancia en millas en una suma de números de Fibonacci se convierte en casi la suma del kilómetro cuando los números de Fibonacci son substituidos por sus sucesores. Este método asciende a un registro del número de la raíz 2 en el φ de oro de la base del cociente que es cambiado de puesto. Para convertir de kilómetros a las millas, cambiar de puesto el registro abajo de la secuencia de Fibonacci en lugar de otro.

Números de Fibonacci en naturaleza

Las secuencias de Fibonacci aparecen en ajustes biológicos, tales como ramificación en árboles, los fruitlets de una piña, un helecho que desenrosca y el arreglo de un cono del pino. Además, las demandas mal verificadas numerosas de los números de Fibonacci o de las secciones de oro en naturaleza se encuentran en fuentes populares, e. referentes la cría de conejos, los espirales de cáscaras, y a la curva de ondas.

El Przemyslaw Prusinkiewicz avanzó la idea que los casos verdaderos pueden estar en la parte entendida como la expresión de ciertos apremios algebraicos en los grupos libremente específicamente como ciertas gramáticas de Lindenmayer

Un modelo para el patrón de los floretes en el jefe de un girasol fue propuesto por H. Esto tiene el $del\; de\; la\; forma\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; de\; la\; theta\; \{\backslash \; phi^2\}\; n$, $r\; =\; c\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{n\}$ donde está el n el número de índice del florete y del c es un factor de escala constante; los floretes mienten así en el espiral de Fermat. El ángulo de la divergencia, aproximadamente 137.51°, es el ángulo de oro, dividiendo el círculo en el cociente de oro . Porque este cociente es irracional, ningún florete tiene un vecino exactamente al mismo ángulo del centro, así que los floretes embalan eficientemente. Porque las aproximaciones racionales al cociente de oro están de la forma F (j): F (j+1), los vecinos más cercanos del n del número del florete es ésos en el ±F del n (j) para un cierto j que depende del r, la distancia del índice del centro. Se dice a menudo que los girasoles y los arreglos similares tienen 55 espirales en una dirección y 89 en la otra (o ciertos otros pares de números de Fibonacci adyacentes), pero éste es verdad solamente de una gama de radios, típicamente el el exterior y así más visible.

Cultura popular

considera también: Números de Fibonacci en

la cultura popular Porque la secuencia de Fibonacci es fácil para que los no-matemáticos entiendan, hay muchos ejemplos de los números de Fibonacci que son utilizados en la cultura popular . ¡PRINCIPAL (números de Fibonacci en cultura popular) Y PUEDE YA ESTAR ALLÍ! -->

Generalizaciones

considera también: Generalizaciones los números de Fibonacci La secuencia de Fibonacci se ha generalizado en gran medida. Éstos incluyen:
Extendiendo al negativo n, satisfying F_n del índice = n del _{del F −1} + n −2 del _{del F y, equivalente, F-n = ( n} del _{del F de −1)ⁿ⁺¹
Generalización del índice de números enteros positivos a los números verdaderos usar una modificación de la fórmula de Binet.
El comenzar con otros números enteros. Los números de Lucas tienen el L 1 = 1, el L 2 = 3, y Ln = el L n del de −1 + el L n −2} del _{de . Uso de las secuencias de Primefree la repetición de Fibonacci con otros puntos de partida para generar las secuencias en las cuales todos los números son el compuesto.
Dejando un número ser una función linear (con excepción de la suma) de los 2 números precedentes. Los números de Pell tienen Pn = 2 el n del del P - 1 + el n del del P - 2.
Adición inmediatamente antes de los números. La secuencia de Padovan y los números de Perrin tienen P (n) = P (n - 2) + P (n - 3).
Generando el número siguiente agregando 3 números (números del tribonacci), 4 números (números del tetranacci), o más.
Agregando otros objetos que los números enteros, por ejemplo funciones o secuencias -- un ejemplo esencial es los polinomios de Fibonacci.}

Numera características

Divisibilidad por 11

^ del $\backslash \; del\; sum\_\; \{k=n\}\; \{n+9\}\; F\_\; \{k\}\; =\; 11\; F\_\; \{n+6\}$

Periodicidad de los dígitos pasados de n

Una característica de los números de Fibonacci es que los dígitos pasados de n tienen la periodicidad siguiente (período de Pisano de energías de 10):
n = 1: 60
n = 2: 300
n = 3: 1500
n = 4: 15000
n = 5: 150000 El matemático Dov Jarden probó que para n mayor de 2 la periodicidad es $15\; \backslash \; cdot10^\; \{n-1\}$.

Triples pitagóricos

Cualquier cuatro consecutivos n +3 del _{del n +2} y del F del _{del n +1}, del F del _{del n} , del F del del F de los números de Fibonacci se pueden utilizar para generar un triple pitagórico :

$a\; =\; F\_n\; F\_\; \{n+3\}\; \backslash ;\; \backslash ,\; b\; =\; 2\; F\_\; \{n+1\}\; F\_\; \{n+2\}\; \backslash ;\; \backslash ,\; c\; =\; F\_\; \{n+1\}\; ^2\; +\; F\_\; \{n+2\}\; ^2\; \backslash ;\; \backslash ,\; a^2\; +\; b^2\; =\; c^2\; \backslash .$ Ejemplo 1: dejar los números de Fibonacci ser 1, 2, 3 y 5. Entonces: $del\; a\; =\; 1\; \backslash \; épocas\; 5\; =$ del$$
5 b = 2 \ épocas 2 \ épocas 3 = $del$
12 $del$
c = 2^2 + 3^2 = 13 5^2 + 12^2 = 13^2 \. Ejemplo 2: dejar los números de Fibonacci ser 8, 13, 21 y 34. Entonces: $del\; a\; =\; 8\; \backslash \; épocas\; 34\; =$ del$$
272 b = 2 \ épocas 13 \ épocas 21 = $del$
546 $del$
c = 13^2 + 21^2 = 610 272^2 + 546^2 = 610^2 \.

El código de la ascendencia de la abeja

Los números de Fibonacci también aparecen en la descripción de la reproducción de una población de abejas idealizadas, según las reglas siguientes:
Si un huevo es puesto por una hembra unmated, trama un varón.
Si, sin embargo, un huevo fue fertilizado por un varón, trama una hembra.

Así, una abeja masculina tendrá siempre un padre, y una abeja femenina tendrá dos.

Si uno remonta la ascendencia de cualquier abeja masculina (1 abeja), él tiene 1 padre femenino (1 abeja). Esta hembra tenía 2 padres, un varón y una hembra (2 abejas). La hembra tenía dos padres, un varón y una hembra, y el varón tenía una hembra (3 abejas). Esas dos hembras cada los dos padres tenidos, y el varón tenían uno (5 abejas). Esta secuencia de números de padres es la secuencia de Fibonacci.

Ésta es una idealización que no describe ascendencias reales de la abeja del . En realidad, algunos antepasados de una abeja particular serán siempre hermanas o hermanos, así rompiendo el linaje de padres distintos.

Misceláneo

Los únicos cuadrados entre los números de Fibonacci son 0, 1, y 144.

Ver también

Espiral logarítmico
B: Programa del número de Fibonacci en el Wikibooks
la asociación de Fibonacci
&mdash trimestral de Fibonacci ; un diario académico dedicado al estudio de los números de Fibonacci
Números de Negafibonacci

.

Zenithic

Hornsby railway station, Sydney

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