En la teoría de número, un número de Heegner del es el positivo d del número entero (cuadrado-libre) de a tales que el campo cuadrático imaginario $\backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; d\})$ tiene número de clase 1. equivalente, su anillo de números enteros que tiene una facturización única .

La determinación de tales números es un caso especial del problema del número de clase, y son la base de teoría llamativa de varios resultados en gran número.

Según el teorema Rígido-Heegner hay exacto nueve números de Heegner:, Este resultado fue conjeturado por el gauss y probado por el Kurt Heegner en el 1952 .

Polinomio de primero-generación de Euler

polinómico de primero-generación del
de Euler $n^2\; +\; n\; +\; 41,$ cuál da (distinto) prepara para $n=0,\; \backslash \; puntea,\; 39$, se relaciona con el número de Heegner $163\; =\; 4\; \backslash \; cdot\; 41\; -\; 1$.

Rabinowitz probó ese $n^2\; +\; n\; +\; p$ da prepara para $n=0,\; \backslash \; puntea,\; p-2$ si y solamente si su $1-4p$ discriminante es un número de Heegner.

(La nota que $p-1$ rinde a $p^2$, así que $p-2$ es máximos.) 1, 2, y 3 no están de la forma required, tan los números de Heegner que trabajan son $7,\; 11,\; 19,\; 43,\; 67,\; 163$, rindiendo funciones de generación primeras de la forma de Euler para $2,3,5,11,17,41$; estos 3ultimos números son llamados los números afortunados del de Euler por Le Lionnais.

Casi números enteros y constante de Ramanujan

constante de Ramanujan es el $e^\; del\; número\; trascendental\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{163\}\}$, que casi es un número entero, en que es el muy cercano a un número entero : $del$ e^\; del$$

l {\ pi \ raíz cuadrada {163}} = 262.999 \ 999 \ 999 \ 999 \ 25 \ ldots \ aproximadamente 640,320^3+744

Esta coincidencia es explicada por la multiplicación compleja y la extensión '' q '' - J-invariante.

Detalle

Breve, $j\; (\backslash raíz\; cuadrada\{-\; d\}\; /2)$ es un número entero para el d al número de Heegner, y $e^\; \{\backslash \}\; \backslash \; aproximadamente\; del\; pi\; \backslash \; de\; la\; raíz\; cuadrada\; \{d\}\; j\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; d\}\; /2)\; +\; 744$ vía el q - extensión.

Si el $\backslash \; el\; tau=\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{D\}$ es un irracional cuadrático, después el j - invariante es un número entero algebraico de $del\; grado|\backslash \; mbox\; \{Cl\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\backslash \; tau))|$, el número de clase del $\backslash \; del\; mathbf\; \{Q\}\; (\backslash \; tau)$ (el polinomio mínimo (del integral monic) que satisface se llama la clase polinómico de Hilbert del ).

Así si el $de\; la\; extensión\; \backslash \; el\; mathbf\; cuadráticos\; imaginarios\; \{Q\}\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{D\})$ tiene clase número 1 (así que $D$ es un número de Heegner), el j - invariante es un número entero.

El '' q '' - la extensión del j (la extensión de la serie de Fourier Del, escrito como serie de Lorenzo en términos de $q=\; \backslash \; exp\; (2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; tau)$) comienza: = \ frac {+ \ cdots de 1} {q} + 744 + 196.884 del $j\; del\; (q)\; qCoeficiente$ c\_n$asintótico\; crecen\; como$ \backslash \; ln\; ()\; \backslash \; sim\; 4\; \backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{n\}\; del\; c\_n\; +\; O\; (\backslash \; ln\; (n))$,\; y\; los\; coeficientes\; de\; orden\; inferior\; crecen\; más\; lentamente\; que$ 200,000^n$,\; así\; que\; para\; el$ q\; \backslash \; gg\; 200,000$,\; j\; es\; aproximado\; muy\; bien\; por\; sus\; primeros\; dos\; términos.$

El $\backslash \; tau\; del\; ajuste\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 163\}\; /2$ rinde el $q=\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{163\})\; =\; \backslash \; exp\; (\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{163\})$ de y del $\backslash \; del\; frac\; \{1\}\; \{q\}.\; Ahora$ j\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 163\}\; /2)=\; (-\; 640.320)\; ^3$,\; tan$ del\; (-\; 640.320)\; ^3=e^\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{163\}\}\; +744+O\; (e^\; \{-\; \backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{163\}\})$El\; solucionar\; para\; el$ e^\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{163\}\}$rinde\; el$ e^\; del\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{163\}\}\; =640,320^3+744+O\; (e^\; \{-\; \backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{163\}\})$donde\; linear\; término\; de\; error\; está$

$-196,884/e^\; \{\backslash \; 163\}\}\; \backslash \; aproximadamente\; del\; pi\; \backslash \; de\; la\; raíz\; cuadrada\; \{196.884/(640,320^3+744)\; \backslash \; aproximadamente\; -.00000000000075$ Por lo tanto el $e^\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{163\}\}$ está dentro aproximadamente del antedicho de ser un número entero.

Otros números de Heegner

Para otros números de Heegner, las aproximaciones una obtienen están como sigue. el $del\; \backslash \; comienza\; \{alinear\}\; y\; \backslash \; aproximadamente\; del\; e^\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{19\}\}\; 96^3+744-.22\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; aproximadamente\; del\; e^\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{43\}\}\; 960^3+744-.00022\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; aproximadamente\; del\; e^\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{67\}\}\; 5,280^3+744-.0000013\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; aproximadamente\; del\; e^\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{163\}\}\; 640,320^3+744-.00000000000075\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$ Para el $d\; \backslash \; el\; leq\; 11$, $196,884/e^\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{d\}\}\; >\; 1$, así que uno casi no obtiene un número entero; incluso $d=19$ no es significativo.

El j - los invariants se asociaron al factor antedicho como el

Para $d=3$, el ajuste es razonablemente bueno, pero no sigue del antedicho:

$e^\; \{\backslash \; 3\}\}\; \backslash \; aproximadamente\; del\; pi\; \backslash \; de\; la\; raíz\; cuadrada\; \{(-\; 2^3)^3+744-1.2$

Consecutivo prepara

Dado impar prima $p$, si uno computa $k^2\; \backslash \; el\; pmod\; \{p\}$ para $k=0,1,\; \backslash \; puntea,\; (p-1)\; /2$ (esto es suficiente porque el $(PK)\; ^2\; \backslash \; k^2\; equivalente\; \backslash \; pmod\; \{p\}$), uno consigue los compuestos consecutivos, seguidos por consecutivo prepara, si y solamente si $p$ es un número de Heegner.

Para los detalles, ver el " Los polinomios cuadráticos que producen distinto consecutivo preparan y grupos de la clase de Fields" cuadrático complejo; de Richard Mollin.

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